Sandsynlighedsformler er vigtige matematiske værktøjer, der bruges til at beregne sandsynligheden. Før vi kender sandsynlighedsformlerne, skal vi kort forstå begrebet Sandsynlighed. Muligheden for forekomsten af ​​en tilfældig hændelse er defineret ved sandsynlighed. En sandsynlighed er en chance for forudsigelse. Dens applikationer strækker sig på tværs af forskellige domæner, herunder spilstrategier, skabelse af prognoser baseret på sandsynlighed i erhvervslivet og det udviklende felt af kunstig intelligens.

I denne artikel lærer vi betydningen og definitionen af ​​sandsynlighedsformlen, og hvordan man bruger disse formler til at beregne sandsynlighed. Vi ser også forskellige udtryk relateret til Sandsynlighed og forskellige formler for nemt at løse matematiske problemer.

klyngedannelse

Indholdsfortegnelse

• Hvad er sandsynlighedsformlen?
• Begreber relateret til sandsynlighedsformel
• Hændelser i Sandsynlighedsformel
• Forskellige sandsynlighedsformler
• Eksempler på sandsynlighedsformel

Hvad er sandsynlighedsformlen?

Sandsynlighedsformler bruges til at bestemme mulighederne for en begivenhed ved at dividere antallet af gunstige udfald med de samlede mulige udfald. Ved at bruge denne formel kan vi estimere sandsynligheden forbundet med en specifik hændelse.

Matematisk kan vi skrive denne formel som:

P(A) = Antal gunstige resultater / Samlet antal mulige udfald

Sandsynlighedsformel beregner forholdet mellem gunstige resultater og hele sættet af mulige udfald. Sandsynlighedsværdien ligger inden for et interval på 0 til 1, hvilket betyder, at gunstige resultater ikke kan overgå de samlede resultater, og den negative værdi af gunstige resultater ikke er mulig.

Lære,

• Sandsynlighed i matematik
• Sandsynlighedsteori

Hvordan beregner man sandsynlighed?

Sandsynlighed for en begivenhed = (Antal gunstige udfald) / (Samlet antal mulige udfald for begivenheden)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Her betegner P(A) sandsynligheden for en begivenhed A, hvor n(E) er antallet af gunstige udfald, og n(S) er det samlede antal mulige udfald for begivenheden.

Når man betragter den komplementære hændelse, repræsenteret som P(A'), som angiver manglende forekomst af hændelse A. så vil formlen være:

P(A') = 1- P(A)

P(A'), er det modsatte af hændelse A, hvilket indikerer, at enten hændelse P(A) indtræffer, eller at dens komplement P(A') indtræffer.

Derfor kan vi nu sige; P(A) + P(A') = 1

Lære,

• Hændelser i Sandsynlighed
• Typer af begivenheder i sandsynlighed

Begreber relateret til sandsynlighedsformel

Nogle af de mest almindelige udtryk relateret til sandsynlighedsformel er:

• Eksperiment: Et eksperiment er en handling eller procedure, der udføres for at generere et bestemt resultat.

• Eksempelplads: Sample Space inkluderer de komplette potentielle resultater, der kommer fra et eksperiment. Når du f.eks. slår en mønt, inkluderer prøverummet {head, tail}.

• Fordelagtigt resultat: Et gunstigt resultat er resultatet, der stemmer overens med den tilsigtede eller forventede konklusion. I tilfælde af at kaste to terninger, er eksempler på gunstige resultater, der resulterer i en sum på 4, (1,3), (2,2) og (3,1).

• Forsøg: Et forsøg betegner udførelsen af ​​et tilfældigt eksperiment.

• Tilfældigt eksperiment: EN Tilfældigt eksperiment er kendetegnet ved et veldefineret sæt af mulige udfald. Eksemplet på et tilfældigt eksperiment er at kaste en mønt, hvor resultatet kan være enten hoveder eller haler. Det betyder, at resultatet ville være usikkert.

• Begivenhed: En hændelse angiver de samlede resultater, der kommer fra et tilfældigt eksperiment.

• Lige sandsynlige begivenheder: Lige sandsynlige hændelser er de hændelser, som har identiske sandsynligheder for at indtræffe. Udfaldet af en begivenhed påvirker ikke udfaldet af en anden.

• Udtømmende begivenheder: En udtømmende hændelse opstår, når sættet af alle mulige udfald dækker hele prøverummet.

• Gensidigt eksklusive begivenheder: Gensidigt eksklusive arrangementer er dem, der ikke kan forekomme samtidigt. For eksempel, når vi kaster mønten, vil resultatet være enten hoved eller hale, men vi kan ikke få begge dele på samme tid.

Hændelser i Sandsynlighedsformel

I sandsynlighedsteori repræsenterer en begivenhed et sæt mulige udfald afledt af et eksperiment. Det danner ofte en delmængde af det samlede prøverum. Hvis vi repræsenterer sandsynligheden for en hændelse E som P(E), gælder følgende principper:

Når hændelse E er umulig, så er P(E) = 0.

Når begivenhed E er sikker, så er P(E) = 1.

Sandsynligheden P(E) ligger mellem 0 og 1.

Overvej to hændelser, A og B. Sandsynligheden for hændelse A, betegnet som P(A), som er større end sandsynligheden for hændelse B, P(B).

For en bestemt hændelse E vil sandsynlighedsformlen være:

P(E)= n(E)/ n(S)

Her repræsenterer n(E) antallet af udfald, der er gunstige for begivenhed E.

n(S) angiver det samlede antal resultater inden for prøverummet.

Forskellige sandsynlighedsformler

De forskellige sandsynlighedsformler diskuteres nedenfor:

Klassisk sandsynlighedsformel

P(A) = Antal gunstige resultater/samlet antal mulige resultater

Formel for tilføjelsesregel

Når vi beskæftiger os med en begivenhed, der er foreningen af ​​to separate begivenheder, for eksempel A og B, vil sandsynligheden for foreningen være:

P(A eller B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

Fælles sandsynlighedsformel

Det repræsenterer de fælles elementer, der udgør de distinkte delmængder af både begivenheder A og B. Formlen kan udtrykkes som:

P (A ∩ B) = P (A).P (B)

Tilføjelsesregler for gensidigt eksklusive arrangementer

Hvis begivenheder A og B udelukker hinanden, betyder det, at de ikke kan ske på samme tid, sandsynligheden for, at en af ​​begivenhederne indtræffer, er lig med summen af ​​deres respektive sandsynligheder.

P(A eller B)=P(A)+P(B)

Komplementær regelformel

Hvis A er en begivenhed, så er sandsynligheden for ikke A udtrykt ved en komplementær regel:

P(ikke A) = 1 – P(A) eller P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

Nogle sandsynlighedsformler baseret på dem er som følger:

P(A.A’) = 0

P(A.B) + P (A'.B') = 1

cp kommando i linux

P(A'B) = P(B) – P(A.B)

P(A.B’) = P(A) – P(A.B)

P(A+B) = P(AB') + P(A'B) + P(A.B)

Formel for betinget regel

I det tilfælde, hvor forekomsten af ​​begivenhed A allerede er kendt, vil sandsynligheden for begivenhed B indtræffe, kaldet betinget sandsynlighed. Det kan beregnes ved hjælp af formel:

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Sandsynlighed (betinget) for hændelse B, når hændelse A er indtruffet.

P (A/B): Sandsynlighed (betinget) for hændelse A, når hændelse B er indtruffet.

Relativ frekvensformel

Relativ frekvensformel er baseret på frekvenser observeret i data fra den virkelige verden. Denne formel er givet som

P(A) = antal gange hændelse A opstår/samlet antal forsøg eller observationer

Sandsynlighedsformel med multiplikationsreglen

I situationer, hvor en hændelse repræsenterer den samtidige forekomst af to andre hændelser, betegnet som hændelser A og B, kan sandsynligheden for, at begge hændelser sker samtidigt, beregnes ved at bruge disse formler:

P(A ∩ B) = P(A)⋅P(B) (i tilfælde af uafhængige begivenheder)

P(A∩B) = P(A)⋅P(B∣A) (i tilfælde af afhængige hændelser)

Usammenhængende begivenhed

Usammenhængende begivenheder er begivenheder, der aldrig indtræffer på samme tid. Disse er også kendt som gensidigt udelukkende begivenheder.

P(A∩B) = 0

Bayes' sætning

Bayes' sætning beregner sandsynligheden for begivenhed A givet forekomsten af ​​begivenhed B. Bayes sætningsformel er givet som

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Lære, Bayes' sætning

Afhængig sandsynlighedsformel

Afhængig sandsynlighed er begivenheder, der påvirkes af forekomsten af ​​andre begivenheder. Formlen for den afhængige sandsynlighed er,

P(B og A) = P(A)×P(B | A)

Uafhængig sandsynlighedsformel

Uafhængig sandsynlighed er begivenheder, der ikke påvirkes af forekomsten af ​​andre begivenheder. Formlen for den uafhængige sandsynlighed er,

P(A og B) = P(A)×P(B)

Binominal sandsynlighedsformel

Den binomiale sandsynlighedsformel er givet som

P(x) = ⁿ C _x · s ^x (1 − p) ^n−x eller P(r) = [n!/r!(n−r)!]· s ^r (1 − p) ^n−r

Hvor, n = Samlet antal hændelser

r eller x = Samlet antal vellykkede begivenheder.

p = Sandsynlighed for succes i et enkelt forsøg.

ⁿC_r= [n!/r!(n−r)]!

1 – p = Sandsynlighed for fejl.

Lære, Binomial fordeling

Normal sandsynlighedsformel

Den normale sandsynlighedsformel er givet ved:

P(x) = (1/√2П) e ^{(-x^2/2)}

Lære, Normal fordeling

Eksperimentel sandsynlighedsformel

Formlen for den eksperimentelle sandsynlighed er;

Sandsynlighed P(x) = Antal gange en hændelse indtræffer / Samlet antal forsøg.

Teoretisk sandsynlighedsformel

Den teoretiske sandsynlighedsformel er,

P(x) = Antal gunstige resultater/ Antal mulige udfald.

Standardafvigelsessandsynlighedsformel

Standardafvigelsessandsynlighedsformlen er givet som

P(x) = (1/σsqrt{2Pi}) e^{-(x-μ)^2/2σ^2}

Bernoulli Sandsynlighedsformel

En stokastisk variabel X vil have Bernoulli-fordeling med sandsynlighed p, formlen er,

P(X = x) = p ^x (1 – p) ^1-x , for x = 0, 1 og P(X = x) = 0 for andre værdier af x

Her er 0 fiasko og 1 er succes.

Lære, Bernoulli distribution

Sandsynlighedsformel klasse 10

I klasse 10 skal vi studere grundlæggende sandsynlighed såsom sandsynlighed for at kaste en mønt, kaste 2 mønter, kaste 3 mønter, kaste en terning, kaste to terninger, sandsynligheden for at trække et kort fra et godt blandet spil. Alle disse spørgsmål kan løses med kun én formel. Sandsynlighedsformlen Klasse 10 er givet som

P(E) = n(E)/n(s)

Hvor,

P(E) er sandsynlighed for en begivenhed

n(E) er antallet af forsøg, hvor hændelsen opstod

n(S) er antallet af prøverum

Sandsynlighedsformel for klasse 12

De forskellige formler, der bruges i Sandsynlighedsklasse 12, er tabel nedenfor:

Tjek også

• Sandsynlighed for møntkast
• Kortsandsynlighed
• Statistik formler

Eksempler på sandsynlighedsformel

Eksempel 1: Vælg et tilfældigt kort fra en standardbunke. Hvad er sandsynligheden for at trække et kort med et feminint ansigt?

Løsning:

I et standardspil indeholdende 52 kort: Samlet mulige udfald = 52

Antallet af gunstige begivenheder (kun betragter dronninger som feminine ansigter) = 4

Derfor beregnes sandsynligheden P(A) ved hjælp af formlen:

P(A) = Antal gunstige resultater ÷ Samlet antal resultater

= 4/52

= 1/13.

Eksempel 2: Hvis sandsynligheden for hændelse E, angivet som P(E)=0,35, hvad er sandsynligheden for komplementhændelsen 'ikke E'?

Løsning:

Givet at P(E)=0,35, kan vi bruge den komplementære sandsynlighedsformel:

P(E) + P(ikke E) = 1

Erstatning af den kendte værdi:

P(ikke E) = 1 – P(E)

P(ikke E) = 1 – 0,35

Derfor er P(ikke E) = 0,65

Eksempel 3: Farlige brande er meget sjældne omkring 1 %, men røgen er ret almindelig omkring 20 % på grund af grill. Find den farlige brand, når 80 % af de farlige brande producerer røg.

Løsning:

Sandsynlighed for farlig brand, når der er røg ved at bruge Bayes sætning:

P(Ild|Røg) = {P(Ild)P(Røgbrand)}/P(Røg)

P(Ild)=0,01(1%) og P(Røg|Ild)=0,80 (80%), kan vi erstatte disse værdier:

P(Ild | Røg)=( 0,02×0,90)/ 0,30

(Ild | Røg)=0,018/0,30

(Ild | Røg)= 0,06 = 6%.

Eksempel 4: I en pose er der 2 grønne pærer, 4 orange pærer og 6 hvide pærer. Når en pære er tilfældigt valgt fra posen, hvad er sandsynligheden for at vælge enten en grøn pære eller en hvid pære?

Løsning:

Samlet antal pærer i posen er 2 grønne + 4 orange + 6 hvide = 12 pærer

Antal grønne pærer = 2, og antallet af hvide pærer = 6

Sandsynlighed = (Antal grønne pærer + Antal hvide pærer) / Samlet antal pærer

Sandsynlighed = (2+6)/12

Sandsynlighed = 8/12

Sandsynlighed = 2/3.

Praksisspørgsmål om sandsynlighedsformel

Q1. Fra en samling af kugler i en pose - 8 røde, 9 blå og 6 grønne - er to kugler tilfældigt udvalgt uden udskiftning. Hvad er sandsynligheden for, at begge de valgte kugler er blå?

Q2. I en skuffe, der indeholder 6 sorte kuglepenne, 4 blå kuglepenne og 7 røde kuglepenne, trækkes en kuglepen tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at pennen enten er sort eller blå?

Q3. Træk et kort fra et grundigt blandet spil med 52 kort, og bestem sandsynligheden for, at kortet vil:

• Vær en konge.
• Ikke være en konge.

Q4. Ifølge en undersøgelse nyder 70 % af individerne chokolade, og blandt disse chokoladeentusiaster har 60 % også en forkærlighed for vanilje. Hvad er sandsynligheden for, at en person kan lide vanilje, givet deres forkærlighed for chokolade?

Q5. Bestem sandsynligheden for at kaste et ulige tal, når en seks-sidet terning kastes.

Sandsynlighedsformel – ofte stillede spørgsmål

1. Hvad er betydningen af ​​sandsynlighed?

Muligheden for forekomst af en tilfældig hændelse er defineret ved sandsynlighed. En sandsynlighed er en chance for forudsigelse.

2. Hvad er meningen med sandsynlighedsformel?

Sandsynlighedsformler bruges til at bestemme mulighederne for en begivenhed ved at dividere antallet af gunstige udfald med de samlede mulige udfald. Sandsynlighedsværdien ligger inden for et område fra 0 til 1, hvilket betyder, at gunstige resultater ikke kan overgå de samlede resultater, og den negative værdi af gunstige resultater ikke er mulig.

3. Hvad er betydningen af ​​notation U og ∩ betyder i Sandsynlighed?

Symbolet U angiver i sandsynlighed en ensartet fordeling. På den anden side betegner symbolet ∩ skæringspunktet mellem mængder. I enklere vendinger er skæringspunktet mellem to sæt det mest omfattende sæt, der involverer alle elementer, der deles af begge sæt.

4. Hvad er den konventionelle formel til at beregne sandsynligheden?

Sandsynligheden for en begivenhed = (Antal gunstige udfald) / (Samlet antal mulige udfald for begivenheden)

P(A) = n(E) / n(S)

P(A) <1

Her betegner P(A) Sandsynligheden for en begivenhed A, hvor n(E) er antallet af gunstige udfald, og n(S) er det samlede antal mulige udfald for begivenheden.

5. Hvad er komplementær formel?

Hvis A er en begivenhed, så er sandsynligheden for ikke A udtrykt ved en komplementær regel:

P(ikke A) = 1 – P(A) eller P(A’) = 1 – P(A).

P(A) + P(A′) = 1.

6. Hvad er Disjoint Event?

Usammenhængende begivenheder er begivenheder, der aldrig indtræffer på samme tid. Disse er også kendt som gensidigt udelukkende begivenheder.

P(A∩B) = 0.

7. Hvad er Bayes’ sætning?

P(A∣B)= P(B∣A)×P(A)/ P(B)

Bayes' sætning beregner sandsynligheden for begivenhed A givet forekomsten af ​​begivenhed B.

8. Hvad er betinget formel?

I det tilfælde, hvor forekomsten af ​​begivenhed A allerede er kendt, vil sandsynligheden for begivenhed B indtræffe, kaldet betinget sandsynlighed. Det kan beregnes ved hjælp af formel:

css fed

P(B∣A) = P(A∩B)/P(A)

P (B/A): Sandsynlighed (betinget) for hændelse B, når hændelse A er indtruffet.

P (A/B): Sandsynlighed (betinget) for hændelse A, når hændelse B er indtruffet.

9. Hvad er nogle af de virkelige eksempler på Sandsynlighed?

Vejrudsigt, kortspil, politisk afstemning, terningespil og vend en mønt osv. er nogle eksempler på Sandsynlighed