Bayes' sætning bruges til at bestemme den betingede sandsynlighed for en begivenhed. Det blev opkaldt efter en engelsk statistiker, Thomas Bayes som opdagede denne formel i 1763. Bayes sætning er en meget vigtig sætning i matematik, der lagde grundlaget for en unik statistisk inferensmetode kaldet Bayes' konklusion. Det bruges til at finde sandsynligheden for en begivenhed, baseret på forudgående viden om forhold, der kan være relateret til den pågældende begivenhed.

For eksempel, hvis vi vil finde sandsynligheden for, at en hvid marmor tegnet tilfældigt kom fra den første pose, givet at en hvid marmor allerede er tegnet, og der er tre poser, der hver indeholder nogle hvide og sorte kugler, så kan vi bruge Bayes' Teorem.

Denne artikel udforsker Bayes-sætningen, herunder dens erklæring, bevis, afledning og formel for sætningen, såvel som dens anvendelser med forskellige eksempler.

søgealgoritmer

Hvad er Bayes' sætning?

Bayes-sætning (også kendt som Bayes-reglen eller Bayes-loven) bruges til at bestemme den betingede sandsynlighed for begivenhed A, når begivenhed B allerede har fundet sted.

Den generelle udtalelse om Bayes' sætning er Den betingede sandsynlighed for en begivenhed A, givet forekomsten af ​​en anden begivenhed B, er lig med produktet af begivenheden af ​​B, givet A og sandsynligheden for A divideret med sandsynligheden for begivenhed B. dvs.

P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)

hvor,

• P(A) og P(B) er sandsynligheden for hændelser A og B
• P(A|B) er sandsynligheden for begivenhed A, når begivenhed B sker
• P(B|A) er sandsynligheden for begivenhed B, når A sker

Kontrollere: Bayes' sætning for betinget sandsynlighed

Bayes sætningserklæring

Bayes' sætning for n sæt begivenheder er defineret som,

Lad E₁, OG₂,…, OG_nvære et sæt af hændelser forbundet med prøverummet S, hvor alle hændelser E₁, OG₂,…, OG_nhar en sandsynlighed for forekomst, der ikke er nul. Alle begivenheder E₁, OG₂,…, E danner en partition af S. Lad A være en begivenhed fra rum S, som vi skal finde sandsynlighed for, så ifølge Bayes' sætning,

P(E _jeg |A) = P(E _jeg )P(A|E _jeg ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

for k = 1, 2, 3, …., n

Bayes sætningsformel

For to begivenheder A og B er formlen for Bayes-sætningen givet ved: (billedet nedenfor giver Bayes-sætningsformlen)

Bayes' sætningsformel

hvor,

• P(A) og P(B) er sandsynligheden for hændelser A og B også P(B) er aldrig lig med nul.
• P(A|B) er sandsynligheden for begivenhed A, når begivenhed B sker
• P(B|A) er sandsynligheden for begivenhed B, når A sker

Bayes sætning afledning

Beviset for Bayes' sætning er givet som, ifølge den betingede sandsynlighedsformel,

P(E _jeg |A) = P(E _jeg ∩A) / P(A)…..(i)

Så ved at bruge multiplikationsreglen for sandsynlighed får vi

P(E _jeg ∩A) = P(E _jeg )P(A|E _jeg )……(ii)

Nu, ved den samlede sandsynlighedssætning,

P(A) = ∑ P(E _k )P(A|E _k )…..(iii)

Erstatning af værdien af ​​P(E_jeg∩A) og P(A) fra eq (ii) og eq(iii) i eq(i) får vi,

P(E _jeg |A) = P(E _jeg )P(A|E _jeg ) / ∑ P(E _k )P(A|E _k )

Bayes' sætning er også kendt som formlen for sandsynlighed for årsager . Som vi ved, er E _jeg 's er en partition af prøverummet S, og på ethvert givet tidspunkt kun en af ​​begivenhederne E _jeg opstår. Således konkluderer vi, at Bayes' sætningsformel giver sandsynligheden for en bestemt E_jeg, givet hændelsen A er indtruffet.

Begreber relateret til Bayes sætning

Efter at have lært om Bayes sætning i detaljer, lad os forstå nogle vigtige udtryk relateret til de begreber, vi dækkede i formel og afledning.

• Hypoteser: Begivenheder, der sker i prøverummet OG ₁ , OG ₂ ,… OG _n kaldes hypoteserne

• Priori sandsynlighed: Priori Sandsynlighed er den oprindelige sandsynlighed for, at en hændelse indtræffer, før der tages højde for nye data. P(E_jeg) er priori-sandsynligheden for hypotese E_jeg.

• Posterior sandsynlighed: Posterior Sandsynlighed er den opdaterede sandsynlighed for en hændelse efter overvejelse af ny information. Sandsynlighed P(E_jeg|A) betragtes som den bageste sandsynlighed for hypotese E_jeg.

Betinget sandsynlighed

• Sandsynligheden for en begivenhed A baseret på forekomsten af ​​en anden begivenhed B betegnes betinget Sandsynlighed .
• Det er betegnet som P(A|B) og repræsenterer sandsynligheden for A, når begivenhed B allerede er sket.

Fælles Sandsynlighed

Når sandsynligheden for, at yderligere to hændelser sker sammen og samtidig måles, markeres den som fælles sandsynlighed. For to hændelser A og B er det angivet ved fælles sandsynlighed er angivet som, P(A∩B).

Tilfældige variable

Variabler med reelle værdier, hvis mulige værdier bestemmes af tilfældige eksperimenter, kaldes tilfældige variable. Sandsynligheden for at finde sådanne variable er den eksperimentelle sandsynlighed.

Bayes' sætningsapplikationer

Bayesiansk slutning er meget vigtig og har fundet anvendelse i forskellige aktiviteter, herunder medicin, videnskab, filosofi, teknik, sport, jura osv., og bayesiansk slutning er direkte afledt af Bayes' sætning.

Eksempel: Bayes' teorem definerer nøjagtigheden af ​​den medicinske test ved at tage højde for, hvor sandsynligt en person er for at have en sygdom, og hvad er testens overordnede nøjagtighed.

Forskellen mellem betinget sandsynlighed og Bayes-sætning

Forskellen mellem betinget sandsynlighed og Bayes sætning kan forstås ved hjælp af tabellen nedenfor,

Sætning om total sandsynlighed

Lad E₁, OG₂, . . ., OG_ner gensidigt udelukkende og udtømmende hændelser forbundet med et tilfældigt eksperiment og lader E være en hændelse, der forekommer med nogle E_jeg. Så bevis det

P(E) = ⁿ ∑ _i=1 P(E/E _jeg ). P(E _j )

Bevis:

Lad S være prøverummet. Derefter,

S = E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ En and E_jeg∩ E_j= ∅ for i ≠ j.

E = E ∩ S

⇒ E = E ∩ (E₁∪ E₂∪ E₃∪ . . . ∪ E_n)

⇒ E = (E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂) ∪ . . . ∪ (E ∩ E_n)

P(E) = P{(E ∩ E₁) ∪ (E ∩ E₂)∪ . . . ∪(E ∩ E_n)}

⇒ P(E) = P(E ∩ E₁) + P(E ∩ E₂) + . . . + P(E ∩ E_n)

{Derfor, (E ∩ E₁), (E ∩ E₂), . . . ,(E ∩ E_n)} er parvis usammenhængende}

⇒ P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + . . . + P(E/E_n). P(E_n) [ved multiplikationssætning]

⇒ P(E) =ⁿ∑_i=1P(E/E_jeg). P(E_jeg)

Artikler relateret til Bayes' sætning

• Sandsynlighedsfordeling
• Bayes' sætning for betinget sandsynlighed
• Permutationer og kombinationer
• Binomialsætning

Konklusion - Bayes' sætning

Bayes' Teorem tilbyder en kraftfuld ramme til opdatering af sandsynligheden for en hypotese baseret på ny evidens eller information. Ved at inkorporere forudgående viden og opdatere den med observerede data giver Bayes' sætning mulighed for mere præcis og informeret beslutningstagning på en lang række områder, herunder statistik, maskinlæring, medicin og økonomi. Dets applikationer spænder fra medicinsk diagnose og risikovurdering til spamfiltrering og naturlig sprogbehandling.

Forståelse og anvendelse af Bayes' sætning gør os i stand til at lave bedre forudsigelser, estimere usikkerheder og drage meningsfuld indsigt fra data, hvilket i sidste ende forbedrer vores evne til at træffe informerede beslutninger i komplekse og usikre situationer.

Tjek også:

js base64 afkode

• Bayes' sætning i Data Mining
• Bayes sætning i kunstig intelligens
• Bayes sætning i maskinlæring

Eksempler på Bayes sætning

Eksempel 1: En person har påtaget sig et arbejde. Sandsynligheden for at udføre jobbet til tiden med og uden regn er henholdsvis 0,44 og 0,95. Hvis sandsynligheden for, at det vil regne, er 0,45, så bestem sandsynligheden for, at jobbet bliver udført til tiden.

Løsning:

Lad E₁være tilfældet, at minearbejdet vil blive afsluttet til tiden og E₂være den begivenhed, at det regner. Vi har,

P(A) = 0,45,

P(ingen regn) = P(B) = 1 − P(A) = 1 − 0,45 = 0,55

Ved multiplikationsloven om sandsynlighed,

P(E₁) = 0,44, og P(E₂) = 0,95

Da hændelser A og B danner partitioner af prøverummet S, har vi ved total sandsynlighedssætning

P(E) = P(A) P(E₁) + P(B) P(E₂)

⇒ P(E) = 0,45 × 0,44 + 0,55 × 0,95

⇒ P(E) = 0,198 + 0,5225 = 0,7205

Så sandsynligheden for, at jobbet vil blive afsluttet til tiden, er 0,7205

Eksempel 2: Der er tre urner indeholdende 3 hvide og 2 sorte kugler; 2 hvide og 3 sorte kugler; 1 sort og 4 hvide kugler hhv. Der er lige stor sandsynlighed for, at hver urne bliver valgt. En bold er lige sandsynlighed valgt tilfældigt. hvad er sandsynligheden for, at der trækkes en hvid kugle?

Løsning:

Lad E₁, OG₂, og E₃være begivenhederne ved valg af henholdsvis første, anden og tredje urne. Derefter,

P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = 1/3

Lad E være begivenheden, hvor der trækkes en hvid kugle. Derefter,

P(E/E₁) = 3/5, P(E/E₂) = 2/5, P(E/E₃) = 4/5

Ved sætning om total sandsynlighed har vi

P(E) = P(E/E₁). P(E₁) + P(E/E₂). P(E₂) + P(E/E₃). P(E₃)

⇒ P(E) = (3/5 × 1/3) + (2/5 × 1/3) + (4/5 × 1/3)

⇒ P(E) = 9/15 = 3/5

Eksempel 3: Et kort fra en pakke med 52 kort er tabt. Fra de resterende kort i pakken trækkes to kort, som viser sig at være begge hjerter. find sandsynligheden for, at det tabte kort er et hjerte.

Løsning:

npm rense cache

Lad E₁, OG₂, OG_3,og E₄være begivenhederne med at miste et kort med henholdsvis hjerter, kløver, spar og ruder.

Derefter P(E₁) = P(E₂) = P(E₃) = P(E₄) = 13/52 = 1/4.

Lad E være tilfældet med at trække 2 hjerter fra de resterende 51 kort. Derefter,

P(E|E₁) = sandsynlighed for at trække 2 hjerter, givet at der mangler et hjertekort

⇒ P(E|E₁) =¹²C₂/⁵¹C₂= (12 × 11)/2! × 2!/(51 × 50) = 22/425

P(E|E₂) = sandsynlighed for at trække 2 køller, givet at et kort med køller mangler

⇒ P(E|E₂) =¹³C₂/⁵¹C₂= (13 × 12)/2! × 2!/(51 × 50) = 26/425

P(E|E₃) = sandsynlighed for at trække 2 spar, givet at der mangler et hjertekort

⇒ P(E|E₃) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

P(E|E₄) = sandsynlighed for at trække 2 diamanter, givet at et kort med diamanter mangler

⇒ P(E|E₄) =¹³C₂/⁵¹C₂= 26/425

Derfor,

P(E₁|E) = sandsynligheden for, at det tabte kort er et hjerte, da de 2 hjerter trækkes fra de resterende 51 kort

⇒ P(E₁|E) = P(E₁). P(E|E₁)/P(E₁). P(E|E₁) + P(E₂). P(E|E₂) + P(E₃). P(E|E₃) + P(E₄). P(E|E₄)

⇒ P(E₁|E) = (1/4 × 22/425) / {(1/4 × 22/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425) + (1/4 × 26/425)}

⇒ P(E₁|E) = 22/100 = 0,22

Derfor er den nødvendige sandsynlighed 0,22.

Eksempel 4: Antag, at 15 mænd ud af 300 mænd og 25 kvinder ud af 1000 er gode talere. En taler vælges tilfældigt. Find sandsynligheden for, at en mandlig person er udvalgt. Antag, at der er lige mange mænd og kvinder.

Løsning:

Gievn,

• Mænd i alt = 300
• Kvinder i alt = 1000
• Gode ​​talere blandt mænd = 15
• Gode ​​talere blandt kvinder = 25

Samlet antal gode talere = 15 (fra mænd) + 25 (fra kvinder) = 40

Sandsynlighed for at vælge en mandlig taler:

P(Male Orator) = Antal mandlige talere / totalt antal talere = 15/40

Eksempel 5: En mand er kendt for at tale løgnene 1 ud af 4 gange. Han kaster en terning og melder, at det er en sekser. Find sandsynligheden, der faktisk er en sekser.

Løsning:

I et terningkast, lad

OG₁= begivenhed med at få en sekser,

OG₂= begivenhed for ikke at få en sekser og

E = hændelse, at manden melder, at det er en sekser.

Derefter P(E₁) = 1/6, og P(E₂) = (1 – 1/6) = 5/6

P(E|E₁) = sandsynlighed for, at manden rapporterer, at seks opstår, når seks faktisk er indtruffet

array længde java

⇒ P(E|E₁) = sandsynlighed for, at manden taler sandt

⇒ P(E|E₁) = 3/4

P(E|E₂) = sandsynlighed for, at manden rapporterer, at seks opstår, når seks faktisk ikke er indtruffet

⇒ P(E|E₂) = sandsynlighed for, at manden ikke taler sandt

⇒ P(E|E₂) = (1 – 3/4) = 1/4

Sandsynlighed for at få en sekser, givet at manden rapporterer, at det er seks

P(E₁|E) = P(E|E₁) × P(E₁)/P(E|E₁) × P(E₁) + P(E|E₂) × P(E₂) [ved Bayes' sætning]

⇒ P(E₁|E) = (3/4 × 1/6)/{(3/4 × 1/6) + (1/4 × 5/6)}

⇒ P(E₁|E) = (1/8 x 3) = 3/8

Derfor er den nødvendige sandsynlighed 3/8.

Ofte stillede spørgsmål om Bayes' Teorem

Hvad er Bayes' sætning?

Bayes, sætning, som navnet antyder, er en matematisk sætning, som bruges til at finde betingelsessandsynligheden for en begivenhed. Betinget sandsynlighed er sandsynligheden for den begivenhed, der vil finde sted i fremtiden. Det beregnes ud fra de tidligere resultater af begivenhederne.

Hvornår bruges Bayes' sætning?

Bayes' sætning har en bred vifte af anvendelser, især inden for områder, der omhandler opdatering af sandsynligheder baseret på nye data. Bayes-reglen lader dig beregne posterior (eller opdateret) sandsynlighed. Det bruges til at beregne betinget sandsynlighed for hændelser.

Hvad er nogle nøgleudtryk for at forstå Bayes' sætning?

Nogle af nøglebegreberne er:

• Forudgående sandsynlighed (P(A))
• Posterior sandsynlighed (P(A | B))
• Sandsynlighed (P(B | A))
• Marginal sandsynlighed (P(B))

Hvornår skal man bruge Bayes' sætning?

Bayes' sætning er anvendelig, når den betingede sandsynlighed for en begivenhed er givet, den bruges til at finde den omvendte sandsynlighed for begivenheden.

Hvordan adskiller Bayes' sætning sig fra betinget sandsynlighed?

Bayes' sætning bruges til at definere sandsynligheden for en begivenhed baseret på de tidligere betingelser for begivenheden. Hvorimod Bayes' Teorem bruger betinget sandsynlighed til at finde den omvendte sandsynlighed for begivenheden.

Hvad er formlen for Bayes' sætning?

Bayes sætningsformel er forklaret nedenfor,

P(A|B) = [P(B|A) P(A)] / P(B)