Sætsymboler er en samlebetegnelse, der bruges for alle de symboler, der bruges i mængdelære, som er den gren af matematikken, der beskæftiger sig med samlingen af objekter og deres forskellige egenskaber. Et sæt er en veldefineret samling af objekter, hvor hvert objekt i samlingen kaldes et element, og hvert element i sættet følger en meget specifik regel. Generelt bruges stort bogstav i engelske alfabeter til at betegne mængder, og nogle bogstaver angiver nogle specifikke sæt i mængdeteori.
Der er mange symboler brugt gennem studiet af denne gren af matematik, nogle af de almindelige symboler er {}, |, :, ∈, ∉, ⊆, U, Ø osv. Vi vil diskutere alle disse symboler i detaljer i artiklen herunder historien om disse symboler også. Så lad os starte vores rejse med at lære om forskellige forskellige sætsymboler, der bruges i mængdeteori.
Indholdsfortegnelse
- Hvad er sætsymboler?
- Sætsymbolers historie
- Grundlæggende koncepter for sæt symboler
- Indstil symboler i matematik
- Sætteorisymboler
- Løste eksempler på sæt symboler
- Øvelsesspørgsmål for sæt symboler
- Ofte stillede spørgsmål
Hvad er sætsymboler?
Sætsymboler er grundlæggende byggeklodser i matematik, der bruges til at repræsentere og beskrive grupper af objekter, tal eller elementer, der har lignende egenskaber. Disse symboler tilbyder en klar og konsekvent tilgang til at kommunikere vanskelige ideer om sæt og deres interaktioner. Det mest typiske sætsymbol er ∈, som står for medlemskab og udtales som tilhører. ∈ angiver, at et element er en del af et bestemt sæt.
I modsætning hertil betyder ∉, at et element ikke er en del af et sæt. ⊆, ⊂, ∪, ∩, ∅ osv. er nogle af de almindelige eksempler på symboler i mængdelære. Disse og andre symboler gør det muligt for matematikere at definere operationer, specificere operationer og formulere nøjagtige matematiske påstande, hvilket lægger grundlaget for en række matematiske specialer og praktiske anvendelser.
Læs mere om Sætteori .
Eksempel på sæt symboler
Lad os bruge symbolet, som står for skæringspunktet mellem sæt, som en illustration. Lad E og F være to mængder, således at sæt E = {1, 3, 5, 7} og sæt F = {3, 6, 9}. Så repræsenterer symbolet ∩ skæringspunktet mellem begge sæt, dvs. E ∩ F.
Her indeholder E ∩ F alle de elementer, der er fælles i begge mængder E og F, dvs. {3}.
Afslutningsvis bruges ∩-symbolet til at identificere de elementer, der deles af to eller flere sæt. Skæringspunktet producerer kun sæt, der har elementer, der deles af alle sæt, der skæres.
Lær mere om Skæring af sæt .
Sætsymbolers historie
Mellem 1874 og 1897 ringede en tysk matematiker Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor udviklet en abstrakt teori ved navn sætteori. Han foreslog det, mens han undersøgte nogle faktuelle bekymringer, der involverer specifikke former for uendelige sæt af reelle tal. Et sæt er ifølge begrebet en gruppering af bestemte definerede og distinkte observationsobjekter. Alle disse ting omtales som medlemmer eller komponenter af sættet. Egenskaben ved reelle algebraiske talkombinationer er grundlaget for Cantors teori.
Grundlæggende koncepter for sæt symboler
Forskellige ideer er dækket på forskellige niveauer af skolegang i mængdelære. Sætrepræsentation, sættyper, sætoperationer (såsom forening og skæring), sætkardinalitet og -relationer og så videre er blandt de væsentlige begreber. Nogle af de væsentlige begreber i mængdeteori er som følger:
Universal sæt
Det store bogstav 'U' bruges almindeligvis til at repræsentere et universelt sæt. Det er også lejlighedsvis symboliseret med ε(epsilon). Det er et sæt, der indeholder alle elementer fra andre sæt såvel som sine egne.
Komplement af sæt
Komplementet af et sæt omfatter alle det universelle sæts bestanddele undtagen elementerne i det undersøgte sæt. Hvis A er et sæt, vil dets komplementer indeholde alle medlemmerne af det angivne universelle sæt (U), som ikke er inkluderet i A. Et sæts komplement er angivet eller udtrykt som A' eller Acog er defineret som:
A'= {x ∈ U: x ≠ A}
Læs mere om Komplement af sæt .
Indstil Builder-notation
Set Builder-notation er metoden til at repræsentere sæt på en sådan måde, at hvor vi ikke behøver at liste alle elementer i sættet, skal vi blot specificere reglen, som efterfølges af alle elementer i sættet. Nogle eksempler på disse notationer er:
Hvis A er en samling af reelle tal.
A = {x : x ∈ R}
Hvis A er en samling af naturlige tal.
A = {x : x> 0 og x ∈ Z]
Hvor MED er et sæt af heltal.
Læs mere, Repræsentation af sæt .
Indstil symboler i matematik
For at henvise til forskellige ting og mængder, bruger sætsymbolet ofte en foruddefineret liste over variable symboler. For at læse og oprette sæt notation skal du først forstå, hvordan du bruger symboler i forskellige situationer. Lad os se på alle mængdeteoretisk notation og symboler relateret til operationer, relationer og så videre, sammen med deres betydninger og eksempler, under denne kategori.
Symboler, der bruges i talsystemet
De symboler, der bruges i talsystemer, er inkluderet i nedenstående tabel:
| Symbol | Navn | Betydning/definition | Eksempel |
|---|---|---|---|
| W eller 𝕎 | Hele Tal | Det er de naturlige tal. | Vi kender N = {1, 2, 3, . . . } 1 ∈ N |
| N eller ℕ | Naturlige tal | Naturlige tal omtales nogle gange som tælletal, der begynder med 1. | Vi kender W = {1, 2, 3, 4, 5, . . . } 0 ∈ W |
| Z eller ℤ | Heltal | Heltal er sammenlignelige med hele tal, bortset fra at de også inkluderer negative værdier. | Vi kender Z = {. . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3. . .} -6 ∈ Z |
| Q eller ℚ | Rationelle tal | Rationelle tal er dem, der er angivet som a/b. I dette tilfælde er a og b heltal med b ≠ 0. | Q= x=a/b, a, b ∈ Z og b ≠ 0 2/6 ∈ Q |
| P eller ℙ | Irrationelle tal | De tal, der ikke kan repræsenteres i form af a/b, kaldes irrationelle tal, dvs. alle reelle tal, som ikke er rationelle. bellford algoritme | P = x π, og ∈ P |
| R eller ℝ | Reelle tal | Hele tal, rationelle tal og irrationelle tal udgør reelle tal. | R= x 6,343434 ∈ R |
| C eller ℂ | Komplekse tal | Et komplekst tal er en kombination af et reelt tal og et imaginært tal. | C= z = a + bi, a, b ∈ R 6 + 2 jeg ∈ C |
Sætteorisymboler
Afgrænsningstegn er specialtegn eller sekvenser af tegn, der angiver begyndelsen eller slutningen af en bestemt sætning eller funktionstekst i et bestemt sæt. Følgende er afgrænsningssætteoriens symboler og betydninger:
| Symbol | Navn | Betydning/definition | Eksempel |
|---|---|---|---|
| {} | Sæt | Inden for disse parenteser er en masse elementer/tal/alfabeter i et sæt. | {15, 22, c, d} |
| | | Sådan det | Disse bruges til at konstruere et sæt ved at specificere, hvad der er indeholdt i det. | q> 6 Udsagnet specificerer samlingen af alle q'er, således at q er større end 6. |
| : | Sådan at | Symbolet : bruges nogle gange i stedet for | symbol. | Ovenstående sætning kan alternativt skrives som q . |
Mængder og relationssymboler i mængdeteori
Sæteorisymboler bruges til at identificere et specifikt sæt samt til at bestemme/vise et forhold mellem forskellige mængder eller relationer inde i et sæt, såsom forholdet mellem et sæt og dets bestanddele. Tabellen nedenfor viser sådanne relationssymboler sammen med deres betydninger og eksempler:
| Symbol | Navn | Betydning/definition | Eksempel |
|---|---|---|---|
| a ∈ A | Er en komponent af | Dette angiver, at et element er medlem af et bestemt sæt. | Hvis en mængde A={12, 17, 18, 27} kan vi sige, at 27 ∈ a. |
| b ∉ B | Er ikke en komponent af | Dette indikerer, at et element ikke tilhører et bestemt sæt. | Hvis et sæt B={c, d, g, h, 32, 54, 59}, så hører ethvert andet element end det i sættet ikke til dette sæt. Som et eksempel, 18 ∉ B. |
| A = B | Ligestillingsforhold | De medfølgende sæt er ækvivalente i den forstand, at de har de samme komponenter. | Hvis du sætter P={16, 22, a} og Q={16, 22, a}, så P=Q. |
| A ⊆ B | Undersæt | Når alle elementerne i A er til stede i B, er A en delmængde af B. | A= {31, b} og B={a, b, 31, 54} række af strukturer i c-sprog {31, b} ⊆ {a, b, 31, 54} |
| A ⊂ B | Korrekt delmængde | P siges at være en egentlig delmængde af B, når den er en delmængde af B og ikke lig med B. | A= {24, c} og B={a, c, 24, 50} A ⊂ B |
| A ⊄ B | Ikke en undergruppe | Som et resultat er sæt A ikke en delmængde af sæt B. | A = {67,52} og B = {42,34,12} A ⊄ B |
| A ⊇ B | Supersæt | A er et supersæt af B, hvis sæt B er en delmængde af A. Sæt A kan være det samme som eller større end sæt B. | A = {14, 18, 26} og B={14, 18, 26} {14, 18, 26} ⊇{14, 18, 26} |
| A ⊃ B | Ordentlig supersæt | Sæt A har flere elementer end sæt B, da det er et supersæt af B. | {14, 18, 26, 42} ⊃ {18,26} |
| A ⊅ B | Ikke et supersæt | Når alle elementerne i B ikke er til stede i A, er A ikke et sandt supersæt af B. | A = {11, 12, 16} og B ={11, 19} {11, 12, 16} ⊅ {11, 19} |
| Ø | Tomt sæt | Et tomt eller nullsæt er et, der ikke indeholder nogen elementer. | {22, y} ∩ {33, a} = Ø |
| I | Universal sæt | Et sæt, der indeholder elementer fra alle relevante sæt, inklusive dets egne. | Hvis A = {a,b,c} og B = {1,2,3,b,c}, så er U = {1,2,3,a,b,c} |
| |A| eller n{A} | Kardinalitet af et sæt | Kardinalitet refererer til antallet af genstande i en bestemt samling. | Hvis A= {17, 31, 45, 59, 62}, så |A|=5. |
| P(X) | Strømsæt | Et effektsæt er sættet af alle delmængder af mængde X, inklusive selve sættet og nulsættet. | Hvis, X = {12, 16, 19} P(X) = {12, 16, 19}={{}, {12}, {16}, {19}, {12, 16}, {16, 19}, {12, 19}, {12, 16, 19}} |
Operatørbaserede symboler i mængdeteori
Med eksempler vil vi studere mængdeteoretiske symboler og betydninger for adskillige operationer såsom forening, komplement, skæringspunkt, forskel og andre.
| Symbol | Navn | Betydning/definition | Eksempel |
|---|---|---|---|
| A ∪ B | Sammenslutning af sæt | Sammenlægningen af sæt skaber et helt nyt sæt ved at kombinere alle komponenterne i de medfølgende sæt. | A = {p, q, u, v, w} B = {r, s, x, y} A ∪ B (A forening B) = {p, q, u, v, w, r, s, x, y} |
| A ∩ B | Skæring af sæt | Den fælles komponent i begge sæt er inkluderet i krydset. | A = { 4, 8, a, b} og B = {3, 8, c, b}, derefter A ∩ B = {8, b} |
| xcELLERX' | Komplement til et sæt | Et sæts komplement omfatter alle ting, der ikke hører til det leverede sæt. | Hvis A er universel mængde og A = {3, 6, 8, 13, 15, 17, 18, 19, 22, 24} og B = {13, 15, 17, 18, 19} X′ = A – B ⇒ X′ = {3, 6, 8, 22, 24} |
| A - B | Indstil forskel | Differencesættet er et sæt, der indeholder elementer fra et sæt, som ikke findes i et andet. | A = {12, 13, 15, 19} og B = {13, 14, 15, 16, 17} A – B = {12, 19} |
| A × B | Kartesisk produkt af sæt | Et kartesisk produkt er produktet af de bestilte komponenter i sættene. | A = {4, 5, 6} og B = {r} Nu, A × B ={(4, r), (2, r), (6, r)} |
| A ∆ B | Symmetrisk forskel på sæt | A Δ B = (A – B) U (B – A) angiver den symmetriske forskel. | A = {13, 19, 25, 28, 37}, B = {13, 25, 55, 31} A ∆ B = { 19, 28, 37, 55, 31} |
Læs mere
- Typer af sæt
- Betjening på sæt
Løste eksempler på sæt symboler
Eksempel 1: Givet to sæt med P={21, 32, 43, 54, 65, 75} og Q={21, 43, 65, 75, 87, 98} hvad er værdien af P∪Q?
Svar:
P={21, 32, 43, 54, 65, 75} og Q={21, 43, 65, 75, 87, 98}
P∪Q={21, 32, 43, 54, 65, 75, 87, 98}
Eksempel 2: Hvad er værdien af |Y| hvis Y={13, 19, 25, 31, 42, 65}?
Svar:
|Y| = Kardinalitet af mængden=antal elementer i mængden er løsningen.
|Y| = n(Y)=6, da mængden Y har 6 elementer.
Eksempel 3: Givet to sæt med værdierne P={a,c,e} og Q={4,3}, bestemme deres kartesiske produkt.
Svar:
Kartesisk produkt = P × Q
Hvis P={b, d, f} og Q={5, 6}
Så P × Q={(b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d,6), (b,5), (d ,6), (b,5), (d,6)}
Eksempel 4: Antag P = {x: x er et naturligt heltal og et multiplum af 24, og Q = {x: x er et naturligt tal mindre end 8}. Bestem P ∪ Q.
Svar:
I betragtning af det
P = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
android versionshistorikQ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Som et resultat er P ∪ Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 12, 24}
Eksempel 5: Antag P = {3, 5, 7}, Q = {2, 3, 4, 6}. Find (P ∩ Q)’.
Svar:
Givet, P = {4, 6, 8}, Q = {3, 4, 5, 7}
P ∩ Q = {4}
Derfor,
(P ∩ Q)' = {3, 5, 6, 7, 8}
Eksempel 6: Hvis P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} og Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}, bestemmes
(i) P-Q og (ii) P-Q.
Svar:
givet,
P = {4, 5, 7, 8, 9, 10} og Q = {3, 5, 7, 9, 12, 14}
(i) P – Q = {4, 8, 10}
(ii) Q – P = {3, 12, 14}
Øvelsesspørgsmål til sæt symboler
Spørgsmål 1: I betragtning af sættene:
- A = {2, 4, 6, 8}
- B = {4, 8, 12, 16}
Bestem elementerne i foreningen af sæt A og B.
Spørgsmål 2: Lad os overveje sættene:
- X = {1, 2, 3, 4, 5}
- Y = {3, 4, 5, 6, 7}
Find skæringspunktet mellem mængderne X og Y.
Spørgsmål 3: Antag at du har sættene:
- P = {a, b, c, d}
- Q = {c, d, e, f}
Beregn elementerne i mængden P – Q samt Q – P.
Spørgsmål 4: Lad os sige, at du har sættene:
- U = {1, 2, 3, 4, 5}
- V = {4, 5, 6, 7}
Find ud af, om mængde V er en delmængde af mængde U.
Spørgsmål 5: Overvej sættene:
- S = {æble, banan, appelsin, pære}
- T = {pære, mango, kirsebær}
Find det kartesiske produkt af sættene S og T.
Spørgsmål 6: Antag at du har det universelle sæt:
- U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j}
Og sættene:
- E = {b, d, f, h, j}
- F = {a, c, e, g, i}
Beregn komplementet af mængden E og F med hensyn til det universelle sæt U.
Ofte stillede spørgsmål om sæt symboler
1. Definer sætsymbol.
Sætsymbolet er en gren, der studerer grupperinger af entiteter/numre/objekter, deres relationer til andre sæt, forskellige operationer (forening, skæringspunkt, komplement og forskel) og tilhørende funktioner.
2. Hvad repræsenterer dette symbol ⊆?
Symbolet ⊆ betyder er en delmængde af. Et undersæt er et sæt, hvis elementer er blevet tilføjet, som om de alle var elementer i et andet sæt.
3. Hvad betyder ∪ i mængder?
'∪' er tegnet for den indstillede forening. A ∪ B er en mængde, der indeholder alle elementerne i sættene A og B.
4. Hvad repræsenterer P = Q?
Hvis mængden P er lig med mængden Q, så er medlemmerne af P og Q de samme. For eksempel:
P = {4,5,6} og Q = {6,5,4}
Som et resultat er P = Q.
5. Hvad betyder ∩ i matematik?
'∩' betyder foreningen af to sæt. A ∩ B er et sæt, der indeholder elementer, der deles af både A og B.
6. Hvad er ∈ i mængder?
∈ er et tegn, der betyder 'tilhører'. Hvis b ∈ B, indikerer det, at b er et element af B.
7. Hvad er mængden N ={1, 2, 3, 4, 5, . . .} kendt som?
Sættet af naturlige tal er defineret som N = {1, 2, 3, 4, 5, …} Det indeholder alle positive tal, der spænder fra 1 til et uendeligt tal. Denne samling er afgørende for matematikken og danner en ramme for både bestilling og optælling.
8. Hvad er A × B i mængder?
Det kartesiske produkt af sættene A og B er vist som A x B i sætsymbolet. Det er sættet, der inkluderer alle mulige ordnede parringer, hvor det første element er trukket fra sæt A og det andet fra sæt B.
9. Hvordan vil du læse A ∩ B?
A∩B udtales A skæringspunkt B. Det står for mængden, der indeholder elementer, som er fælles i begge mængder.
10. Hvad betyder Ø i mængdelære?
I mængdeteorien er ideen om en tom mængde, som ikke har nogen elementer, betegnet med symbolet Ø (udtales tom mængde).
11. Hvad er AUB?
AUB i matematik står for foreningen af mængderne A og B. Det refererer til mængden, der omfatter hvert element fra både sæt A og B.
12. Er ∅ det samme som {}?
Ja, ∅ og {} repræsenterer begge den tomme mængde i matematik. Således er begge de forskellige notationer af samme ting.