Delmængder i matematik er et kernebegreb i studiet af mængdeteori, svarende til sæt. En gruppe af elementer, objekter eller medlemmer omsluttet af krøllede klammeparenteser, såsom {x, y, z} kaldes en Sæt , hvor hvert medlem af sættet er unikt. Så for et sæt af {x, y, z} er de mulige delmængder {}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {y, z}, {z, x} eller { x, y, z}. Mens man definerer et sæt, kan dets elementer også være reelle tal, konstanter, variabler eller andre objekter.

Denne artikel udforsker begrebet undersæt i detaljer og gør det let at forstå for alle læsere af artiklen uden hensyntagen til deres akademiske niveau. Alle underemner såsom deres betydning, definition, symbol, eksempel og mange mange flere er dækket i artiklen med masser af eksempler. Så lad os starte vores rejse til mængdeteoriens land og forstå dette begreb om delmængder.

I denne artikel har vi givet detaljerede oplysninger om hvad er delmængder i matematik, supersæt i matematik, korrekt undermængde og ukorrekt delmængde med eksempler og ofte stillede spørgsmål.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er delmængder i matematik?
• Eksempel på delmængder
• Power Set af et sæt
• Typer af undermængder
• Korrekt delmængde
• Forkert undersæt
• Korrekte og ukorrekte undergrupper
• Undersæt vs supersæt

Hvad er delmængder i matematik?

Et sæt 'A' er en delmængde af mængden 'B', hvis alle elementerne i mængden A falder ind under sæt B. En delmængde kan også være lig med en mængde i et bestemt tilfælde, når alle elementerne i en undermængde er indeholdt i sæt.

For bedre at forstå en delmængde, lad os betragte et sæt A er en samling af ulige tal, og sæt B består af {1,3,5}, så her er B en delmængde af A og A er et supersæt af B.

For eksempel: Hvis sæt A indeholder {æble, banan} og sæt B indeholder {alle frugter}, så er A delmængden af ​​B.

Lad os overveje endnu et eksempel for bedre forståelse.

Eksempel: Bestem, hvilken delmængde, og hvilken der er supersæt, hvis A = {a, e, i, o, u} og B = { Alle alfabeter}.

Svar:

np prik

Her indeholder A alle vokalelementer, som er en del af alfabeter. Så her er A delmængde af B, og B er supermængde af A.

Definition af delmængde

Matematisk formodes et sæt A at være en delmængde af sæt B, hvis alle komponenterne i sæt A også findes i sæt B. Så delmængde er en undergruppe af ethvert sæt. Sæt A er med andre ord indeholdt i sæt B.

For eksempel: Hvis sæt A = {1, 2, 3} og sæt B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, kan vi sige, at sæt A er en delmængde af sæt B, da alle elementerne i sæt A er tilgængelige i sæt B.

Undersæt Betydning

Et sæt, hvis elementer alle er elementer i et inkluderende sæt, er betydningen af ​​delmængde. Overvej et sæt X, således at X omfatter navnene på alle floder i et land. Et andet sæt Y inkluderer navnene på floder i dit nordlige Indien. Her vil y være en delmængde af x, fordi alle floder i Nordindien også ville være floder i vores land; derfor er Y en delmængde af X. Der er kun et bestemt antal distinkte eller unikke delmængder for enhver mængde, derfor er de resterende irrelevante og gentagne.

Eksempel: List alle delmængderne, som mængden Q = {1, 2, 3}.

Svar:

Undersættene af Q er { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3} og {1, 2, 3}

Undersætsymbol

En delmængde er angivet med symbolet og læses som 'er en delmængde af' i mængdeteori . En delmængde er repræsenteret ved et symbol givet ved ⊆. Undersæt kan udtrykkes ved hjælp af dette symbol som følger:

A ⊆ B dette betyder, at sæt A er en delmængde af sæt B.

java indeks

Eksempel på delmængder

Det eneste behov for, at et sæt A er en delmængde af et sæt B, er, at hvert element i A er til stede i B. Her er nogle eksempler på undermængder baseret på dette.

• A = {2, 3, 10} er en delmængde af B = {1, 2, 3, 4, 10},
• P = Sæt af alle primtal er en delmængde af N = Sæt af alle naturlige tal, og
• X = {a, e, i, o ,u} er samling af vokaler og er en delmængde af Y = Sæt af alle alfabeter.

Det er værd at bemærke, at hvert sæt er en delmængde af sig selv, ligesom det tomme sæt ().

Eksempel: Kan null-sæt være en delmængde af ethvert sæt?

Svar:

Null er en delmængde af hvert sæt. Som standard betragter vi dette faktum, at alle sæt indeholder et element kaldet nulsæt.

Delmængder af reelt tal

Reelle tal, der kan udtrykkes som decimaltal, falder i en række kategorier. Fra din daglige tilværelse er du utvivlsomt allerede bekendt med brøker, decimaler og tælletal. Følgende tal betragtes som en delmængde af reelle tal:

• Rationelle tal : Ethvert tal, der kan udtrykkes som en brøk, p/q, hvor p og q begge er positive heltal. Disse er ikke-afsluttende, gentagne decimaler og afsluttende decimaler i decimalform. Eks: -5/9, 1/8
• Irrationelle tal : Disse tal slutter eller gentages ikke, når de udtrykkes i decimalform. Eks: e.
• Heltal : Alle tælletal, inklusive nul og deres modsætninger. Eks: -2,-1,0,3
• Hele Tal : Nul og alle positive tælletal. Ex- 0, 2, 500
• Naturlige tal : Alle positive tælletal. Eks- 1,2,40

Eksempel: Hvilke delmængder af de reelle tal hører -5 til?

Svar:

-5 er et rationelt tal og et heltal.

Power Set af et sæt

Et sæt strømsæt består af hver delmængde såvel som det originale sæt og det tomme sæt. P(A) står for potensmængden af ​​en given mængde A. For eksempel, hvis A = {1, 2}, så er P(A) = {{ }, {1}, {2}, {1, 2} }. Her kan vi tydeligt se, at alle delmængderne af A er indeholdt i P(A), dvs. potensmængden af ​​A.

Antal delmængder af et sæt

For ethvert sæt A er antallet af seusets angivet ved hjælp af følgende formel

Antal delmængder = 2 ⁿ

Hvor n er antallet af elementer i sættet.

Da potensmængden indeholder alle delmængderne af enhver mængde, så for et sæt A, som har 'n' elementer, har P(A) 2ⁿelementer.

Eksempel: Hvor mange elementer af potensmængde kan dannes, hvis der er fire elementer i en mængde?

Svar:

Antallet af elementer af effektsæt med tre elementer er 2⁴= 16.

Typer af undermængder

Der er to typer undersæt, der er:

git status

• Korrekt delmængde
• Forkert undersæt

Lad os diskutere disse typer i detaljer som følger:

Korrekt delmængde

EN korrekt delmængde omfatter kun nogle få medlemmer af det originale sæt. Korrekt delmængde kan aldrig være lig med det oprindelige sæt. I korrekt delmængde er delmængden, der udgør det originale sæt, udelukket.

Korrekt undersætsymbol

En korrekt delmængde er angivet med ⊂,

Vi kan udtrykke en korrekt delmængde for mængde A og mængde B som;

A ⊂ B

Eksempel på korrekte delmængder

Lad sættet A = {1, 3, 5}, så er korrekte delmængder af A {}, {1}, {3}, {5}, {1, 3} {3, 5} {1, 5}. Desuden er {1, 3, 5} en delmængde af A, men det er ikke en korrekt delmængde af A.

Korrekt delmængdeformel

Antallet af korrekte delmængder af et sæt med 'n' elementer er 2ⁿ- 1.

Eksempel: Et sæt indeholder 3 elementer, hvad bliver antallet af korrekte delmængder?

Svar:

Antal korrekte delmængder = 2ⁿ- 1

Her er n = 3

N = 2³– 1 = 7

Forkert undersæt

An ukorrekt delmængde indeholder inkluderer både nul-sættet og hvert medlem af det indledende sæt. Ukorrekt delmængde kan være lig med det originale sæt. I ukorrekt delmængde er delmængden, der udgør det originale sæt, inkluderet. Dette er repræsenteret ved symbolet ⊆ .

Eksempel: Hvad vil være den ukorrekte delmængde af sæt A = {1, 3, 5}?

Svar:

Forkert undersæt: {}, {1}, {3}, {5}, {1,3}, {1,5}, {3,5} og {1,3,5}

sammenlignelig grænseflade i java

Forkert undergruppeformel

For en samling af 'n' elementer er antallet af ukorrekte delmængder altid 1. Med andre ord er antallet af ukorrekte delmængder af et sæt uafhængigt af antallet af dets elementer.

Lær mere, Sætteoriformler

Korrekte og ukorrekte undergrupper

De vigtigste forskelle mellem korrekte undersæt og ukorrekte undermængder er angivet i følgende tabel:

Eksempel: For et sæt P = {1,2}, find korrekt og ukorrekt delmængde.

Løsning:

syreegenskaber

Korrekt sæt er givet af { }, {1} og {2}

Forkert sæt er givet af { }, {1}, {2} og {1,2}

Undersæt vs supersæt

De vigtigste forskelle mellem begge delmængder og supersæt er anført i følgende tabel:

Delmængdeformel

Alle formlerne relateret til delmængder er angivet nedenfor.

• Antallet af delmængder af et sæt med n elementer er 2ⁿ. Dette inkluderer både korrekte og ukorrekte undersæt.
• Antallet af korrekte delmængder af et sæt med n elementer er 2ⁿ- 1.
• Antallet af ukorrekte undersæt af et sæt er altid 1.

Læs også

• Repræsentation af sæt
• Typer af sæt
• Universal sæt

Løste problemer på delmængder

Opgave 1: Hvor mange delmængder i en mængde med 4 elementer?

Løsning:

Et sæt med 4 elementer vil have 2⁴elementer i den = 16.

Opgave 2: Hvor mange delmængder i en mængde med 5 elementer?

Løsning:

Et sæt med 5 elementer vil have 2⁵elementer i den = 32.

Ofte stillede spørgsmål om undersæt

Hvad er delmængder i matematik?

Hvis hver komponent af sæt A også er til stede i sæt B, så siges sæt A at være en delmængde af sæt B. For at sige det på en anden måde, så indeholder sæt B sæt A.

Hvad er korrekte undersæt?

En delmængde af en mængde A, der ikke er lig med A, er en egentlig delmængde af A. Med andre ord, hvis B er en korrekt delmængde af A, så har A mindst ét ​​element, der ikke er i B, men alle B's elementer er i en.

Hvad er ukorrekte undersæt?

En delmængde, der inkluderer hver komponent i det originale sæt, betragtes som en upassende delmængde.

Kan en delmængde være lig med sig selv?

Hvert sæt er tænkt som en delmængde af sig selv. Den korrekte delmængde af intet sæt er sig selv. Hvert sæt har det tomme sæt som en delmængde.

Kan et undersæt være et universelt sæt?

Vi kan sige, at mængden A er delmængden af ​​mængden B, hvis hvert element i mængden A også er et element i mængden B. Så kan enhver given universel mængde bruges til at producere delmængderne. Det er også vigtigt at huske på, at ethvert universelt sæt faktisk er en delmængde af sig selv.

Kan en delmængde være nul?

Ja, et nulsæt er som standard undersæt af ethvert sæt.

Hvad er de to klassifikationer af undergruppe?

Klassifikationerne af delmængder er:

• Korrekt delmængde
• Ukorrekt delmængde