Omvendt af en 3 × 3 matrix er en matrix som multipliceret med den oprindelige Matrix giver identitetsmatrix som produktet. Invers af en matrix er et grundlæggende aspekt af lineær algebra. Denne proces spiller en afgørende rolle i løsning af systemer af lineære ligninger og forskellige matematiske anvendelser. For at beregne den inverse, er det nødvendigt at beregne den adjoint matrix, kontrollere matrixens inverterbarhed ved at undersøge dens determinant (som ikke bør være lig med nul), og anvende en formel til at udlede den inverse matrix.

Denne artikel dækker de forskellige begreber af den inverse af 3 × 3 matrix og hvordan man finder den inverse af 3 × 3 matrix ved at beregne cofaktorer, adjoints og determinanter af 3 × 3 matrix. Senere i denne artikel finder du også løste eksempler for bedre forståelse, og der er også givet øvelsesspørgsmål for at tjekke, hvad vi har lært af dette.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er det omvendte af 3 × 3 Matrix?
• Hvordan finder man det omvendte af 3 × 3 matrix?
• Elementer, der bruges til at finde invers af 3 × 3 matrix
• Omvendt af 3 × 3 Matrix Formel
• Find invers af 3 × 3 matrix ved hjælp af rækkeoperationer

Hvad er det omvendte af 3 × 3 Matrix?

Det omvendte af en 3 × 3 matrix er en matrix, der, når den ganges med den oprindelige matrix, resulterer i identitetsmatrixen. For at finde den inverse, kan du beregne den adjoint matrix, bestemme om matrixen er inverterbar (ikke-singular) ved at kontrollere dens determinant (som ikke skal være lig med nul), og derefter anvende formlen A^-1= (adj A) / (det A). Den inverse matrix giver dig mulighed for at løse systemer af lineære ligninger og udføre forskellige matematiske operationer.

Hvordan finder man det omvendte af 3 × 3 matrix?

Følg trinene nedenfor for at finde den inverse af 3 × 3 Matrix:

Trin 1: For det første skal du kontrollere, om matrixen kan vendes. For at gøre dette skal du beregne determinanten for matricen. Hvis determinanten ikke er nul, så fortsæt til næste trin.

Trin 2: Beregn determinanten for mindre 2 × 2 matricer inden for den større matrix.

Trin 3: Opret cofaktormatrixen.

Trin 4: Få Adjugatet eller Adjoint af matrixen ved at foretage transponering af cofaktormatrixen.

Trin 5: Til sidst divideres hvert element i adjugatmatricen med determinanten af ​​den oprindelige 3 gange 3 matrix.

Relateret læsning

• Cofactor og Minors of Matrix
• Transponering af Matrix

Elementer, der bruges til at finde invers af 3 × 3 matrix

Der er hovedsageligt to elementer, der bruges til at finde det omvendte af en 3 × 3 matrix:

funktioner i en panda-serie

• Adjoint af Matrix
• Determinant af Matrix

Sammenhæng af en 3 × 3 Matrix

Det tilknytning til en matrix A findes ved at tage transponeringen af ​​cofaktormatrixen af ​​A. For at beregne adjointen af ​​en matrix i detaljer, følg instruktionerne.

For en 3 × 3 matrix er cofaktoren for ethvert element determinant af en 2 × 2 matrix dannet ved at fjerne rækken og kolonnen, der indeholder det pågældende element. Når man finder cofaktorer, veksler man mellem positive og negative fortegn.

For eksempel givet matrix A:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Den mindre matrix opnås som følger:

egin{bmatrix} egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} & egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} end{bmatrix}

Beregn determinanterne for 2 × 2-matricerne dannet ved at gange diagonalt og trække produkterne fra venstre mod højre, dvs. Minor.

egin{vmatrix} 2 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (2×2) – (4×1) = 4 – 4 = 0

egin{vmatrix} 0 & 4 1 & 2 end{vmatrix} = (0×2) – (4×1) = 0 – 4 = -4

egin{vmatrix} 0 & 2 1 & 1 end{vmatrix} = (0×1) – (2×1) = 0 – 2 = -2

egin{vmatrix} 1 & 3 1 & 2 end{vmatrix} = (1×2) – (3×1) = 2 – 3 = -1

egin{vmatrix} 2 & 3 1 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (3×1) = 4 – 3 = 1

egin{vmatrix} 2 & 1 1 & 1 end{vmatrix} =(2×2) – (1×1) = 4 – 1 = 3

egin{vmatrix} 1 & 3 2 & 4 end{vmatrix} =(1×4) – (3×2) = 4 – 6 = -2

egin{vmatrix} 2 & 3 0 & 4 end{vmatrix} =(2×4) – (3×0) = 8 – 0 = 8

egin{vmatrix} 2 & 1 0 & 2 end{vmatrix} =(2×2) – (1×0) = 4 – 0 = 4

Så cofaktormatrixen er:

egin{bmatrix} +(0) & -(-4) & +(-2) -(-1) & +(1) & -(1) +(-2) & -(8) & +(4) end{bmatrix} = egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

egin{bmatrix} 0 & 4 & -2 1 & 1 & -1 -2 & -8 & 4 end{bmatrix}

Ved at transponere cofaktormatrixen får vi den adjoint matrix.

egin{bmatrix} 0 & 1 & -2 4 & 1 & -8 -2 & -1 & 4 end{bmatrix}

Determinant af en 3 × 3 Matrix

Ved at bruge det samme eksempel, som vi har diskuteret ovenfor, kan vi beregne Determinanten af ​​Matrix A

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Beregn determinanten af ​​matrix ved hjælp af den første række,

Det A = 2(kofaktor af 2) + 1(kofaktor af 1) + 3(kofaktor af 3)

At A = 2(0) + 1(4) + 3(-2)

At A = 2 + 4 – 6

At A = 0

Du kan tjekke Trick til at beregne determinant af en 3×3 matrix

Omvendt af 3 × 3 Matrix Formel

For at finde det omvendte af en 3 × 3 Matrix A, kan du bruge formlen A-1 = (adj A) / (det A), hvor:

• adj A er den adjunkte matrix af A.
• det A er determinanten for A.

For at A-1 skal eksistere, bør det A ikke være lig med nul. Det betyder:

• EN^-1eksisterer, når det A ikke er nul (A er ikke-ental).
• EN^-1eksisterer ikke, når det A er nul (A er ental).

Her er trinene til at finde det omvendte af en 3 × 3 matrix ved at bruge det samme eksempel:

A = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Trin 1: Beregn den adjoint matrix (adj A).

For at finde den adjunkte matrix skal du erstatte elementerne i A med deres tilsvarende cofaktorer.

adj A= egin{bmatrix} 0 & -1 & -2 -4 & 1 & 8 -2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Trin 2: Find determinanten for A (det A).

For at beregne determinanten af ​​A kan du bruge formlen for en 3 × 3 matrix. I dette tilfælde er det A = -8.

Trin 3: Anvend formlen A^-1= (adj A) / (det A) for at finde den inverse matrix A^-1.

mamta kulkarni

Divider hvert element i den adjoint matrix med determinanten af ​​A:

EN ^-1 = adj A/ Det A

A^{-1} = egin{bmatrix} -frac{0}{8} & -frac{-1}{8} & -frac{-2}{8} -frac{-4}{8} & -frac{1}{8} & -frac{8}{8} -frac{-2}{8} & -frac{1}{8} & -frac{4}{8} end{bmatrix}

For at forenkle brøkerne,

A^{-1} = egin{bmatrix} {0} & frac{1}{8} & frac{1}{4} frac{1}{2} & -frac{1}{8} & -{1} frac{1}{4} & -frac{1}{8} & -frac{1}{2} end{bmatrix}

Find invers af 3 × 3 matrix ved hjælp af rækkeoperationer

For at finde det omvendte af en 3×3 Matrix, kan du følge disse trin:

Trin 1: Start med den givne 3×3 Matrix A og opret en identitetsmatrix I af samme størrelse, og placer A på venstre side og I på højre side af en udvidet matrix, adskilt af en linje.

Trin 2: Anvend en række rækkeoperationer på den udvidede matrix i venstre side for at transformere den til identitetsmatrix I. Matrixen på højre side af linjen, som bliver til A^-1, er det omvendte af den oprindelige matrix A.

Lær mere, Elementær drift af matricer

Tjek også

• Typer af matricer
• Inverterbar matrix
• Spor af en matrix

Løste eksempler på invers af 3 × 3 Matrix

Eksempel 1: Find det omvendte af

D = egin{bmatrix} 3 & 0 & 2 2 & 1 & 0 1 & 4 & 2 end {bmatrix}

Løsning:

Minor Matrix af D = egin{bmatrix}egin{pmatrix}1&04&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&01&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&11&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&24&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&21&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&01&4end{pmatrix}\begin{pmatrix}0&21&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&22&0end{pmatrix}&egin{pmatrix}3&02&1end{pmatrix}end{bmatrix}

Minor Matrix af D =egin{bmatrix}left(2-0 ight)&left(4-0 ight)&left(8-1 ight)\left(0-8 ight)&left(6-2 ight)&left(12-0 ight)\left(0-2 ight)&left(0-4 ight)&left(3-0 ight)end{bmatrix}

Kofaktor for Matrix, dvs. X =egin{bmatrix}+2&-left(-4 ight)&+7-left(-8 ight)&+4&-left(12 ight)+2&-left(-4 ight)&+3end{bmatrix}

Transponering af Matrix X = Adj D =egin{bmatrix}2&8&2-4&4&47&-12&3end{bmatrix}

Nu vil vi finde Determinanten af ​​D ved hjælp af den første række:

At D = 3(2) + 0(-4) + 2(7)

⇒ At D = 6+0+14

⇒ At D = 20

Omvendt af Matrix D eller D^-1= Adj D / Det D

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{2}{20}&frac{8}{20}&frac{2}{20}-frac{4}{20}&frac{4}{20}&frac{4}{20}\frac{7}{20}&-frac{12}{20}&frac{3}{20}end{bmatrix}

⇒ D^-1=egin{bmatrix}frac{1}{20}&frac{2}{5}&frac{1}{10}-frac{2}{5}&frac{2}{5}&frac{2}{5}\frac{7}{20}&-frac{3}{5}&frac{3}{20}end{bmatrix}

Eksempel 2: Find det omvendte af

E = egin{bmatrix} 1 & 1 & 1 2 & 3 & 2 1 & 2 & 1 end{bmatrix}

Minor af matricen E =egin{bmatrix}egin{pmatrix}3&22&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&21&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}2&31&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&12&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&1end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&11&2end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&13&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&2end{pmatrix}&egin{pmatrix}1&12&3end{pmatrix}end{bmatrix}

Cofaktor for Matrix E, dvs. X =egin{bmatrix}left(3-4 ight)&left(2-2 ight)&left(4-3 ight)\left(1-2 ight)&left(1-1 ight)&left(2-1 ight)\left(2-3 ight)&left(2-2 ight)&left(3-2 ight)end{bmatrix}

X=egin{bmatrix}-1&0&11&0&-1-1&0&1end{bmatrix}

Adj E =egin{bmatrix}-1&1&-1&0&01&-1&1end{bmatrix}

Lad os nu finde Determinant af Matrix E ved at bruge den første række:

At E = 1(-1) + 1(0) + 1(1)

At E= -1 + 0 + 1

At E = 0

∴ Da determinanten af ​​matricen E er ækvivalent med 0, er den inverse af matrix E eller E^-1er ikke muligt.

pandas loc

Øvespørgsmål om invers af 3 × 3 Matrix

Q1. Beregn det omvendte af følgende 3×3 matrix:

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 2 2 & 1 & 3 1 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Find det omvendte af Matrix B:

B = egin{bmatrix} 3 & 1 & 1 2 & 0 & 1 1 & 2 & 2 end{bmatrix}

Q3. Bestem, om Matrix C er inverterbar, og hvis ja, find dens inverse:

C = egin{bmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 2 & 4 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Beregn det omvendte af matricen D:

D = egin{bmatrix} 1 & 2 & 0 3 & 1 & 2 0 & 2 & 1 end{bmatrix}

Q5. For matrix E skal du kontrollere, om den er inverterbar, og hvis den er, find dens omvendte:

E = egin{bmatrix} 2 & 1 & 2 0 & 3 & 1 1 & 2 & 0 end{bmatrix}

Omvendt af 3×3 Matrix – ofte stillede spørgsmål

1. Hvad er det omvendte af en 3×3 Matrix?

Det omvendte af en 3×3 matrix er en anden matrix, der, når den multipliceres med den oprindelige matrix, giver identitetsmatrixen.

2. Hvorfor er det vigtigt at finde den omvendte?

Det er vigtigt for at løse systemer af lineære ligninger, transformationer og forskellige matematiske operationer.

3. Hvordan beregner man det omvendte af en 3×3 Matrix?

Du finder typisk den adjoint matrix, kontrollerer determinantens værdi, der ikke er nul, og anvender en specifik formel.

4. Hvornår eksisterer det omvendte af en 3×3 Matrix ikke?

Det eksisterer ikke, når determinanten af ​​matricen er nul, hvilket gør den ental.

5. Kan enhver 3×3 Matrix have en Invers?

Nej, kun ikke-singulære matricer med en ikke-nul determinant har invers.

6. Hvilken rolle spiller Adjoint Matrix i at finde den inverse?

Den tilstødende matrix hjælper med at beregne det inverse ved at give cofaktorer for hvert element.

7. I hvilke felter er begrebet 3×3 Matrix-inversion meget brugt?

Konceptet med 3×3 Matrix-inversion bruges i teknik, fysik, computergrafik og forskellige matematiske discipliner.

8. Hvordan får man invers af 3×3 Matrix?

For at finde det omvendte af en 3×3 matrix, kan du følge disse trin:

• Beregn først matrixens determinant.
• Hvis determinanten ikke er lig med 0, fortsæt til næste trin. Hvis det er 0, har matrixen ikke en invers.
• Find matrixen af ​​mindreårige ved at oprette 3×3-matricer for hvert element i den originale matrix, undtagen rækken og kolonnen for det element, du fokuserer på.
• Beregn matrixen af ​​kofaktorer ved at anvende et mønster af plus- og minustegn på elementerne i matrixen af ​​mindreårige.
• Transponer matrixen af ​​cofaktorer ved at bytte rækker med kolonner.
• Til sidst divider du den transponerede matrix af cofaktorer med determinanten for at få det inverse af 3×3-matricen.