Kendskab til matricer er nødvendig for forskellige grene af matematikken. Matricer er et af de mest kraftfulde værktøjer i matematik. Fra matricer kommer der Determinanter, Nu ser vi en af ​​Determinantens egenskaber i denne artikel.

I denne artikel ser vi, hvordan du finder Adjoint af en Matrix. At vide om Adjoint af en Matrix vi skal vide om Cofaktor af en matrix.

Indholdsfortegnelse

• Adjoint af en Matrix Definition
• Mindre af en Matrix
• Cofaktor af en matrix
• Transponering af Matrix
• Hvordan finder man adjoint af en matrix?
• Egenskaber for Adjoint af en matrix
• Find invers ved hjælp af adjoint af en matrix

Adjoint af en Matrix Definition

Adjointen af ​​en matrix er transponeringsmatrixen af ​​cofaktoren for den givne matrix. For enhver kvadratisk matrix A beregner dens adj. matrix skal vi først beregne cofaktormatrixen for den givne matrix og derefter finde dens determinant. Følg følgende trin for at beregne Ajoint af en matrix:

Trin 1 : Beregn minor af alle elementerne i den givne matrix A.

Trin 2: Find cofaktormatricen C ved hjælp af de mindre elementer.

Trin 3: Find Adjoint-matrixen af ​​A ved at tage transponeringen af ​​cofaktormatrixen C.

For enhver 2×2 matrix A er billedet af dens adjoint vist nedenfor,

Lad os nu lære om Matrixens Minor, Cofactor og Transponering.

Mindre af en Matrix

Matricens minor er matrixen eller elementet, der beregnes ved at skjule rækken og kolonnen i matricen for det element, som den minor beregnes for. For 2×2-matricen er minor det element, der vises ved at skjule rækken og kolonnen for det element, som minor er beregnet for.

Lær mere om, Mindreårige og kofaktorer

Cofaktor af en matrix

Cofaktoren er det tal, vi får, når vi fjerner kolonnen og rækken af ​​et udpeget element i en matrix. Det betyder at tage et element fra en matrix og slette hele rækken og kolonnen af ​​det element fra matrixen, så hvilke elementer der er til stede i den matrix, det kaldes cofaktor.

Sådan finder du cofactor af en matrix

For at finde cofaktoren for et element i en matrix kan vi bruge følgende trin:

Trin 1: Slet hele rækken og kolonnen, der indeholder element under overvejelse.

Trin 2: Tag de resterende elementer, som de er i matrixen efter trin 1.

Trin 3: Find determinanten for matrixen dannet i trin 2, som kaldes mindre af elementet.

Trin 4: Brug nu formlen for cofaktoren for element a_ijdvs. (-1)^i+jM_ijhvor Mij er minor af elementet i i'et^thrække og j^thkolonne, som allerede er beregnet i trin 3.

Trin 5: Resultatet af trin 4 er cofaktoren for det element, der overvejes, og på samme måde kan vi beregne cofaktoren for hvert element i matricen for at finde cofaktormatrixen for den givne matrix.

Eksempel: Find Cofactor Matrix af old{A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Løsning:

Givet matrix erA =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix}

Lad os finde cofaktoren for element i første række tredje kolonne, dvs. 3.

Trin 1: Slet hele rækken og kolonnen, der indeholder element under overvejelse.

dvs. egin{bmatrix} sout{1} & sout{2} & sout{3} 7 & 4 & sout{5} 6 & 8 & sout{9} end{bmatrix}

Trin 2: Tag de resterende elementer, som de er i matrixen efter trin 1.

dvs.egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix}

Trin 3: Find determinanten for matricen dannet i trin 2, som kaldes elementets minor.

Mindre på 3 tommerA = egin{vmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{vmatrix} = 56 – 24 = 32

Trin 4: Brug nu formlen for cofaktoren for element a_ijdvs. (-1)^i+jM_ij

Kofaktor for element 3 = (-1)¹⁺³(32) = 32

Trin 5: Fortsæt proceduren for alle elementerne for at finde cofaktormatrixen for A,

dvs. kofaktormatrix af A =egin{bmatrix} -4&-33&32 6&9&4-2&16&-10 end{bmatrix}

Transponering af Matrix

Transponering af en matrix er den matrix, der dannes ved at ændre rækkerne og kolonnerne i matrixen med hinanden. Transponeringen af ​​matrix A er betegnet som A^Teller A^'. Hvis rækkefølgen af ​​matricen A er m×n, så er rækkefølgen af ​​transponeringsmatrixen n×m.

Lær mere om, Transponering af en matrix

Hvordan finder man adjoint af en matrix?

For at finde adjointen af ​​en matrix skal vi først finde cofaktoren for hvert element og derefter finde 2 yderligere trin. se nedenstående trin,

Trin 1: Find cofaktoren for hvert element, der er til stede i matricen.

Trin 2: Opret en anden matrix med cofaktorerne som elementer.

Trin 3: Find nu transponeringen af ​​matricen, som kommer fra efter trin 2.

Sådan finder du Adjoint af en 2×2 Matrix

Lad os overveje et eksempel for at forstå metoden til at finde adjointen af ​​2×2-matricen.

Eksempel: Find Adjoint af old{ ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}} .

Løsning:

Givet matrix er ext{A} =egin{bmatrix}2&3 4&5 end{bmatrix}

Trin 1: Find cofaktoren for hvert element.

Cofaktor for element ved A[1,1]: 5

Cofaktor for element ved A[1,2]: -4

Cofaktor for element ved A[2,1]: -3

Kofaktor for element ved A[2,2]: 2

Trin 2: Opret matrix fra Cofactors

dvs.old{egin{bmatrix}5&-4 -3&2 end{bmatrix}}

Trin 3: Transponering af cofaktor matrix,

old{Adj(A) = egin{bmatrix}5&-3 -4&2 end{bmatrix}}

Sådan finder du Adjoint af en 3×3 Matrix

Lad os tage et eksempel på en 3×3 Matrix for at forstå, hvordan man beregner Adjoint af denne matrix.

Eksempel: Find Adjoint af old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Løsning:

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

Trin 1: Find cofaktoren for hvert element.

C_{12} = (-1)^{1+2} egin{vmatrix} 4 & 6 7 & 9 end{vmatrix} = – (36 – 42) = 6 C_{13} = (-1)^{1+3} egin{vmatrix} 4 & 5 7 & 8 end{vmatrix} = 3 – 28 = -25 C_{21} = (-1)^{2+1} egin{vmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{vmatrix} = – (18 – 24) = 6 C_{22} = (-1)^{2+2} egin{vmatrix} 1 & 3 7 & 9 end{vmatrix} = 9 – 21 = -12 C_{23} = (-1)^{2+3} egin{vmatrix} 1 & 2 7 & 8 end{vmatrix} = – (8 – 14) = 6 C_{31} = (-1)^{3+1} egin{vmatrix} 2 & 3 5 & 6 end{vmatrix} = 12 – 15 = -3 C_{32} = (-1)^{3+2} egin{vmatrix} 1 & 3 4 & 6 end{vmatrix} = – (6 – 12) = 6 C_{33} = (-1)^{3+3} egin{vmatrix} 1 & 2 4 & 5 end{vmatrix} = 5 – 8 = -3

Trin 2: Opret matrix fra Cofactors

burak ozcivit

C = egin{bmatrix} -3 & 6 & -25 6 & -12 & 6 -3 & 6 & -3 end{bmatrix}

Trin 3: Transponer Matrix C til adjoint af given matrix.

operatorname{adj}(A) = C^{T}= egin{bmatrix} -3 & 6 & -3 6 & -12 & 6 -25 & 6 & -3 end{bmatrix}

Som er adjoint af givet matrix A.

Egenskaber for Adjoint af en matrix

Adjoint af en matrix har forskellige egenskaber, nogle af disse egenskaber er som følger:

• A(Adj A) = (Adj A)A = |A| jeg_n
• Adj(BA) = (Adj B) (Adj A)
• |Adj A| = |A|^n-1
• Adj(kA) = k^n-1(Adj A)

Find invers ved hjælp af adjoint af en matrix

At finde det omvendte er en af ​​de vigtige anvendelser af Adjoint of the Matrix. For at finde det omvendte af en Matrix ved hjælp af Adjoint kan vi bruge følgende trin:

Trin 1: Find determinant for matricen .

Trin 2: Hvis determinanten er nul, er matrixen ikke inverterbar, og der er ingen invers.

Trin 3: Hvis determinanten er ikke-nul, så find adjointen af ​​matricen.

Trin 4: Divider adjointen af ​​matrixen med determinanten af ​​en matrix.

Trin 5: Resultatet af trin 4 er det omvendte af den givne matrix.

Eksempel: Find det omvendte af old{A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}} .

Løsning:

Givet matrixA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

|A| = 1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)

⇒ |A| = -3 -2(-6)+3(-3)

⇒ |A| = -3 + 12 – 9 = 0

Således eksisterer omvendt af A ikke.

Lær mere om, Omvendt af en matrix

Løste eksempler på adjoint af en matrix

Eksempel 1: Find adjointen af ​​den givne matrix A =egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 7 & 4 & 5 6 & 8 & 9 end{bmatrix} .

Løsning:

Trin 1: For at finde cofaktoren for hvert element

For at finde cofaktoren for hvert element skal vi slette rækken og kolonnen for hvert element en efter en og tage de nuværende elementer efter sletning.

Kofaktor for elementer ved A[0,0] = 1 : +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} = +(4×9 – 8×5) = -4

Kofaktor for elementer ved A[0,1] = 2 : -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} = -(7×9 – 6×5) = -33

Kofaktor for elementer ved A[0,2] = 3 : +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} = +(7×8 – 6×4) = 32

Kofaktor for elementer ved A[2,0] = 7 : -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} = -(2×9 – 8×3) = 6

Cofaktor for elementer ved A[2,1] = 4 : +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} = +(1×9 – 6×3) = -9

Kofaktor for elementer ved A[2,2] = 5 : -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} = -(1×8 – 6×2) = 4

Kofaktor for elementer ved A[3,0] = 6 : +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} = +(2×5 – 4×3) = -2

Kofaktor for elementer ved A[3,1] = 8 : -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} = -(1×5 – 7×3) = 16

Kofaktor for elementer ved A[3,2] = 9 : +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} = +(1×4 – 7×2) = -10

Matrixen ser ud som med cofaktorerne:

A =egin{bmatrix} +egin{bmatrix} 4 & 5 8 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 7 & 5 6 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 7 & 4 6 & 8 end{bmatrix} -egin{bmatrix} 2 & 3 8 & 9 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 3 6 & 9 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 2 6 & 8 end{bmatrix} +egin{bmatrix} 2 & 3 4 & 5 end{bmatrix} & -egin{bmatrix} 1 & 3 7 & 5 end{bmatrix} & +egin{bmatrix} 1 & 2 7 & 4 end{bmatrix} end{bmatrix}

Den endelige cofaktormatrix:

A =egin{bmatrix} -4 & -33 & 32 6 & -9 & 4 -2 & 16 & -10 end{bmatrix}

Trin 2: Find transponeringen af ​​matrixen opnået i trin 1

adj(A) =egin{bmatrix} -4 & 6 & -2 -33 & -9 & 16 32 & 4 & -10 end{bmatrix}

Dette er Adjoint af matricen.

Eksempel 2: Find adjointen af ​​den givne matrix A =egin{bmatrix} -1 & -2 & -2 2 & 1 & -2 2 & -2 & 1 end{bmatrix} .

Løsning:

Trin 1: For at finde cofaktoren for hvert element

For at finde cofaktoren for hvert element skal vi slette rækken og kolonnen for hvert element en efter en og tage de nuværende elementer efter sletning.

Cofaktor for element ved A[0,0] = -1 :+egin{bmatrix} 1 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = +(1×1 – (-2)x(-2)) = -3

Kofaktor for elementer ved A[0,1] = -2 :-egin{bmatrix} 2 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = -(2x1 – 2x(-2)) = -6

Kofaktor for elementer ved A[0,2] = -2 :+egin{bmatrix} 2 & 1 2 & -2 end{bmatrix} = +(2x(-2) – 2x1) = -6

Kofaktor for elementer ved A[2,0] = 2:-egin{bmatrix} -2 & -2 -2 & 1 end{bmatrix} = -((-2)x1 – (-2)x(-2)) = 6

Kofaktor for elementer ved A[2,1] = 1: +egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x1 – 2x(-2)) = 3

Kofaktor for elementer ved A[2,2] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor for elementer ved A[3,0] = 2:+egin{bmatrix} -2 & -2 1 & -2 end{bmatrix} = +((-2)x(-2) – 1x(-2)) = 6

Kofaktor for elementer ved A[3,1] = -2 :-egin{bmatrix} -1 & -2 2 & -2 end{bmatrix} = -((-1)x(-2) – 2x(-2)) = -6

Kofaktor for elementer ved A[3,2] = 1:+egin{bmatrix} -1 & -2 2 & 1 end{bmatrix} = +((-1)x(-1)- 2x(-2)) = 3

Den endelige cofaktormatrix:

A =egin{bmatrix} -3 & -6 & -6 6 & 3 & -6 6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Trin 2: Find transponeringen af ​​matrixen opnået i trin 1

adj(A) =egin{bmatrix} -3 & 6 & 6 -6 & 3 & -6 -6 & -6 & 3 end{bmatrix}

Dette er Adjoint af matricen.

Ofte stillede spørgsmål om Adjoint of a Matrix

Hvad er Adjoint af en Matrix?

Adjointen af ​​en kvadratisk matrix er transponeringen af ​​matrixen af ​​kofaktorer af den oprindelige matrix. Det er også kendt som adjugatmatrixen.

Hvordan beregnes adjoint af en matrix?

For at beregne adjointen af ​​en matrix skal du finde cofaktormatrixen for den givne matrix og derefter transponere den.

Hvad er brugen af ​​adjoint af en matrix?

Nøgleapplikationen eller brugen af ​​adjointen af ​​en matrix er at finde det inverterbare af inverterbare matricer.

Hvad er forholdet mellem invers af en matrix og dens adjoint?

Den inverse af en matrix opnås ved at dividere dens adjoint med dens determinant. Det vil sige, hvis A er en kvadratisk matrix og det(A) er ikke-nul, så

EN ^-1 = adj(A)/det(A)

Hvad er Adjugate Matrix?

Adjoint matrix kaldes også Adjugate Matrix. Det er transponeringen af ​​cofaktoren for den givne matrix.

Hvad er forskellen mellem adjoint og transponering af en matrix?

Adjointen af ​​en matrix er transponeringen af ​​matrixen af ​​cofaktorer, mens transponeringen af ​​en matrix opnås ved at udskifte dens rækker og kolonner.

Er en kvadratisk matrix altid inverterbar?

Nej, kvadratisk matrix er ikke altid inverterbar. En kvadratisk matrix er kun inverterbar, hvis den har en ikke-nul determinant.

Kan adjointen af ​​en ikke-kvadratisk matrix beregnes?

Nej, adjointen af ​​en matrix kan kun beregnes for en kvadratisk matrix på grund af definitionen af ​​den.