INTEGRATION AF TRIGONOMETRISKE FUNKTIONER

Integration er processen med at opsummere små værdier af en funktion i grænseområdet. Det er lige det modsatte af differentiering. Integration er også kendt som anti-derivat. Vi har forklaret integrationen af trigonometriske funktioner i denne artikel nedenfor.

Nedenfor er et eksempel på integration af en given funktion.

f.eks., Betragt en funktion, f(y) = y².

Denne funktion kan integreres som:

∫y²dig =frac{y^{2+1}}{2+1}~+~C

Dog en ubestemt integral er en funktion, der tager anti-derivatet af en anden funktion. Det er repræsenteret som et integralsymbol (∫), en funktion og en afledt af funktionen i slutningen. Det ubestemte integral er en nemmere måde at symbolisere et anti-derivat på.

Lad os lære, hvad der er matematisk integration, integrationen af en funktion f(x) er givet ved F(x), og den er repræsenteret ved:

∫f(x)dx = F(x) + C

Her er R.H.S. af ligningen betyder integral af f(x) i forhold til x, F(x) kaldes anti-afledt eller primitiv, f(x) kaldes integranden, dx kaldes den integrerende agent, C kaldes integrationskonstant eller vilkårlig konstant og x er integrationsvariablen.

Nogle vigtige integraler af trigonometriske funktioner

Følgende er listen over nogle vigtige formler for ubestemte integraler på grundlæggende trigonometriske funktioner skal huskes som følger:

∫ sin x dx = -cos x + C
∫ cos x dx = sin x + C
∫ sek²x dx = tan x + C
∫ cosec²x dx = -seng x + C
∫ sek x tan x dx = sek x + C
∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
∫ tan x dx = ln | sek x | +C
∫ barneseng x dx = ln | synd x | + C
∫ sek x dx = ln | sek x + tan x | + C
∫ cosec x dx = ln | cosec x – barneseng x | + C

Hvor dx er den afledede af x, C er integrationskonstanten og ln repræsenterer logaritme af funktionen inde i modul (| |).

Generelt løses problemerne med ubestemte integraler baseret på trigonometriske funktioner ved substitutionsmetoden. Så lad os diskutere mere om integration ved substitution-metoden som følger:

Integration ved substitution

I denne metode integration ved substitution , ethvert givet integral omdannes til en simpel form for integral ved at substituere den uafhængige variabel med andre. Lad os overveje et eksempel for bedre forståelse.

Eksempel: Forenkling ∫ 3x ² synd (x ³ ) dx.

Svar:

Lad I = ∫ 3x²synd (x³) dx.

For at evaluere det givne integral lader vi erstatte enhver variabel med en ny variabel som:

Lad x³være t for det givne integral.

Derefter er dt = 3x²dx

Derfor,

I = ∫ 3x²synd (x³) dx = ∫ sin (x³) (3x²dx)

Erstat nu x med t³og dt for 3x²dx i ovenstående integral.

I = ∫ sin (t) (dt)
stjernetopologi

Som ∫ sin x dx = -cos x + C, altså

I = -cos t + C

Igen, erstatte tilbage x³for t i udtrykket som:

I = ∫ 3x ² synd (x ³ ) dx = -cos x ³ + C

Hvilket er det nødvendige integral.

Derfor er den generelle form for integration ved substitution:

∫ f(g(x)).g'(x).dx = f(t).dx

hvor t = g(x)

Normalt er metoden til integration ved substitution yderst nyttig, når vi foretager en substitution for en funktion, hvis afledte også er til stede i integranden. Ved at gøre det forenkles funktionen, og så kan de grundlæggende integrationsformler bruges til at integrere funktionen.

I calculus er integrationen efter substitutionsmetoden også kendt som den omvendte kæderegel eller U-substitutionsmetoden. Vi kan bruge denne metode til at finde en integralværdi, når den er sat op i den særlige form. Det betyder, at det givne integral har formen:

Læs mere,

Regning i matematik
Integraler
Integralregning
Differentiering af trig-funktioner
Trigonometriske ligninger

Prøveproblemer om integration af trigonometriske funktioner

Opgave 1: Bestem integralet af følgende funktion: f(x) = cos ³ x.

Løsning:

Lad os betragte integralet af den givne funktion som,
rj12 vs rj11

I = ∫ cos³x dx

Det kan omskrives som:

I = ∫ (cos x) (cos²x) dx

Brug af trigonometrisk identitet; cos²x = 1 – synd²x, vi får

I = ∫ (cos x) (1 – sin²x) dx

⇒ I = ∫ cos x – cos x sin²x dx

⇒ I = ∫ cosx dx – ∫ cosx sin²x dx

Da ∫ cos x dx = sin x + C,

Således er I = sin x – ∫ sin²x cos x dx. . . (1)

Lad, sin x = t

⇒ cos x dx = dt.

Erstat t for sin x og dt for cos x dx i andet led af ovenstående integral.

I = sin x – ∫ t²dt

⇒ I = sin x – t³/3 + C

Igen skal du erstatte tilbage sin x med t i udtrykket.

Derfor er ∫ cos ³ x dx = sin x – sin ³ x/3 + C.

Opgave 2: Hvis f(x) = sin ² (x) cos ³ (x) Bestem derefter ∫ sin ² (x) cos ³ (x) dx.

Løsning:

Lad os betragte integralet af den givne funktion som,

I = ∫synd²(x) cos³(x) dx

Brug af trigonometrisk identitet; cos²x = 1 – synd²x, vi får

I = ∫synd²x (1 – synd²x) cos x dx

Lad da sin x = t,

⇒ dt = cos x dx

Erstat disse i ovenstående integral som,

I = ∫ t²(1 – t²) dt

⇒ I = ∫ t²– t⁴dt

⇒ I = t³/ 3 – t⁵/ 5 + C

Erstat værdien af t i ovenstående integral som,

Derfor er jeg = synd ³ x / 3 – uden ⁵ x/5 + C.

Opgave 3: Lad f(x) = sin ⁴ (x) find derefter ∫ f(x)dx. dvs. ∫ synd ⁴ (x) dx.

Løsning:

Lad os betragte integralet af den givne funktion som,

I = ∫synd⁴(x) dx

⇒ I = ∫ (uden²(x))²dx

Brug af trigonometrisk identitet; synd²(x) = (1 – cos (2x)) / 2, får vi

I = ∫ {(1 – cos (2x)) / 2}²dx

⇒ I = (1/4) × ∫ (1+cos²(2x)- 2 cos2x) dx

⇒ I = (1/4) × ∫ 1 dx + ∫ cos²(2x) dx – 2 ∫ cos2x dx

⇒ I = (1/4) × [ x + ∫ (1 + cos 4x) / 2 dx – 2 ∫ cos2x dx ]

⇒ I = (1/4) × [ 3x / 2 + sin 4x / 8 – sin 2x ] + C

⇒ I = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C

Derfor ∫ synd ⁴ (x) dx = 3x / 8 + sin 4x / 32 – sin 2x / 4 + C
hvorfor markørgrænseflade i java

Opgave 4: Find integrationen af old{intfrac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx} .

Løsning:

Lad os betragte integralet af den givne funktion som,

I =int frac{e^{tan^{-1}x}}{1+x^2} dx

Lad t = tan^-1x . . . (1)

Nu skal du differentiere begge sider med hensyn til x:

dt = 1 / (1+x²) dx

Derfor bliver det givne integral:

I = ∫ e^tdt

⇒ I = e^t+ C. . . (2)
karakter.sammenlign java

Erstat værdien af (1) i (2) som:

⇒I = e^{tan^{-1}x} + C

Hvilket er den nødvendige integration for den givne funktion.

Opgave 5: Find integralet af funktionen f (x) defineret som,

f(x) = 2x cos (x ² – 5) dx

Løsning:

Lad os betragte integralet af den givne funktion som,

I = ∫ 2x cos (x²– 5) dx

Lad (x²– 5) = t . . . (1)

Differentier nu begge sider med hensyn til x som,

2x dx = dt

Ved at erstatte disse værdier i ovenstående integral,

I = ∫ cos (t) dt

⇒ I = sin t + C . . . (2)

Erstat værdiligningen (1) i ligning (2) som,

⇒ I = synd (x²– 5) + C

Dette er den nødvendige integration for den givne funktion.

Opgave 6: Bestem værdien af det givne ubestemte integral, I = ∫ barneseng (3x +5) dx.

Løsning:

Det givne integral kan skrives som,

I = ∫ barneseng (3x +5) dx

⇒ I = ∫ cos (3x +5) / sin (3x +5) dx

Lad, t = sin(3x + 5)

⇒ dt = 3 cos (3x+5) dx

⇒ cos (3x+5) dx = dt / 3

Dermed,

I = ∫ dt / 3 sin t

⇒ I = (1 / 3) ln | t | + C

Erstat t med sin (3x+5) i ovenstående udtryk.

I = (1 / 3) ln | sin (3x+5) | + C

Dette er den nødvendige integration for den givne funktion.