Determinant af 4×4 Matrix: Determinant af en matrix er et grundlæggende koncept i lineær algebra, der er afgørende for at udlede en enkelt skalarværdi fra matrixen. 4×4 er en kvadratisk matrix med 4 rækker og 4 kolonner, hvis determinant kan findes af en formel, som vi vil diskutere.

Denne artikel vil udforske definitionen af ​​en 4 × 4 matrix og guide gennem den trinvise proces med at beregne determinanten for 4 × 4 matrix. Derudover udforsker den de praktiske anvendelser af denne matematiske operation.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er determinanten for en matrix?
• Determinant af 4×4 Matrix
• Egenskaber for 4×4 Matrix
• Determinant af 4 × 4 Matrix Formel
• Hvordan finder man determinanten for en 4 × 4 matrix?
• Determinant af 4×4 Matrix Eksempler
• Determinant af 4×4 Matrix Practice Spørgsmål

Hvad er determinanten for en matrix?

Det determinant af en matrix er en skalarværdi, der kan beregnes ud fra elementerne i en kvadratisk matrix . Det giver vigtige oplysninger om matrixen, såsom om den er inverterbar og skaleringsfaktoren for lineære transformationer repræsenteret af matrixen.

Forskellige metoder, som f.eks cofaktor udvidelse eller rækkereduktion, kan anvendes til at finde determinanten af ​​en matrix, afhængigt af størrelsen og strukturen af ​​matrixen. Når først den er beregnet, er determinanten angivet med det-symbolet eller lodrette streger, der omslutter matrixen.

Determinant af 4×4 Matrix

En 4×4 matrix er en rektangulær matrix af tal arrangeret i fire rækker og fire kolonner. Hvert element i matrixen identificeres ved dets række- og kolonneposition. Den generelle form for en 4×4 matrix ser sådan ud:

egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix}

indeholder understreng java

Hvor en_ijrepræsenterer elementet placeret i i^thrække og j^thsøjle i matrixen.

4×4-matricer er almindeligt forekommende inden for forskellige områder såsom computergrafik, fysik, teknik og matematik. De bruges til at repræsentere transformationer, løse systemer af lineære ligninger og udføre operationer i lineær algebra.

Egenskaber for 4×4 Matrix

Her er nogle egenskaber ved en 4×4 matrix forklaret i forenklede termer:

• Square Matrix: En 4×4 matrix har lige mange rækker og kolonner, hvilket gør den til en kvadratisk matrix.
• Determinant: Determinanten for en 4×4 matrix kan beregnes ved hjælp af metoder som kofaktorudvidelse eller rækkereduktion. Det giver information om matrixens invertibilitet og skaleringsfaktor for lineære transformationer.
• Omvendt: En 4×4 matrix er invertibel hvis dens determinant er ikke-nul. Det omvendte af en 4×4 matrix tillader løsning af systemer af lineære ligninger og fortryder transformationer repræsenteret af matrixen.
• Transponer: Transponeringen af ​​en 4×4 matrix opnås ved at udskifte dens rækker og kolonner. Det kan være nyttigt i visse beregninger og transformationer.
• Egenværdier og egenvektorer: 4×4-matricer kan analyseres for at finde deres egenværdier og egenvektorer , som repræsenterer egenskaber af matrixen under lineære transformationer.
• Symmetri: Afhængigt af den specifikke matrix kan den udvise symmetriegenskaber, såsom at være symmetrisk, skævsymmetrisk eller ingen af ​​delene.
• Matrix operationer: Forskellige operationer såsom addition, subtraktion, multiplikation og skalar multiplikation kan udføres på 4×4 matricer efter specifikke regler og egenskaber.

Læs i detaljer: Determinanters egenskaber

Determinant af 4 × 4 Matrix Formel

Determinant af enhver 4 × 4 Matrix, dvs.egin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} end{bmatrix} , kan beregnes ved hjælp af følgende formel:

it(A) = a _elleve · det (A _elleve ) – en ₁₂ · det (A ₁₂ ) + a ₁₃ · det (A ₁₃ ) – en ₁₄ · det (A ₁₄ )

Hvor en_ijbetegner submatrixen ved at slette i^thrække og j^thkolonne.

Hvordan finder man determinanten for en 4 × 4 matrix?

For at finde determinanten for en 4×4 matrix, kan du bruge forskellige metoder såsom udvidelse med mindre, rækkereduktion eller anvendelse af specifikke egenskaber.

En almindelig metode er at bruge udvidelse med mindre, hvor du udvider langs en række eller kolonne ved at gange hvert element med dets kofaktor og summere resultaterne. Denne proces fortsætter rekursivt, indtil du når en 2×2 submatrix, som du direkte kan beregne determinanten for. For at forstå, hvordan man finder determinanten af ​​en 4×4 matrix, overveje et eksempel.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 & 4 0 & -1 & 2 & 1 3 & 2 & 0 & 5 -1 & 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

Trin 1: Udvid langs den første række:

it(A) = 2 · it(A _elleve ) – 1 · it(A ₁₂ ) + 3 · it(A ₁₃ ) – 4 · it(A ₁₄ )

Hvor en_ijangiver submatrixen opnået ved at slette den i-te række og den j-te kolonne.

Trin 2: Beregn determinanten for hver 3×3 submatrix.

For A_elleve

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 1 2 & 0 & 5 3 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A_elleve| = (-1)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(2)(1)-(5)(3)] + 1[(2)(2)-(0) (3)]

⇒ |A_elleve| = (-1)[(-10)] – 2[(2)-(15)] + 1[(4)-(0)]

⇒ |A_elleve| = 10 – 2(-13) + 4

⇒ |A_elleve| = 10 + 26 + 4 = 40

For A₁₂

A_{12} = egin{bmatrix} 0 & 2 & 1 3 & 0 & 5 -1 & 2 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 0 & 5 2 & 1 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 1 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₂| = (0)[(0)(1)-(5)(2)] – 2[(3)(1)-(5)(-1)] + 1[(3)(2)-(0) (-1)]

⇒ |A₁₂| = (0)[(-10)] – 2[(3)+(5)] + 1[(6)-(0)]

⇒ |A₁₂| = 0 – 2(8) + 6

⇒ |A₁₂| = 0 – 16+ 6= 10

For A₁₃

A_{13} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 1 3 & 2 & 5 -1 & 3 & 1 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 3 & 1 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 5 -1 & 1 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)(1)-(3)(5)] – (-1)[(3)(1)-(5)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₃| = (0)[(2)-(15)] – (-1)[(3)+(5)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₃| = 0 – (-1)(8) + 2(11)

⇒ |A₁₃| = 8 + 22 = 30

For A₁₄

A_{14} = egin{bmatrix} 0 & -1 & 2 3 & 2 & 0 -1 & 3 & 2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 0 3 & 2 end{bmatrix} ight) – (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 0 -1 & 2 end{bmatrix} ight) + 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 3 & 2 -1 & 3 end{bmatrix} ight)

⇒ |A₁₄| = (0)[(2)(2)-(3)(0)] – (-1)[(3)(2)-(0)(-1)] + 2[(3)(3)- (2)(-1)]

⇒ |A₁₄| = (0)[(4)-(0)] – (-1)[(6)-(0)] + 2[(9)-(-2)]

⇒ |A₁₄| = 0 – (-1)(6) + 2(11)

⇒ |A₁₄| = 6 + 22 = 28

Trin 3: Erstat determinanterne for 3×3 submatricerne i ekspansionsformlen:

(A) = 2 · 40 – 1 · 10 + 3 · 30 – 4 · 28

Trin 4: Beregn den endelige determinant:

it(A) = 80 – 10 + 90 – 112

it(A) = 48

Så determinanten for den givne 4×4 matrix er 48.

Tjek også

• Determinant af 2×2 Matrix
• Determinant af 3×3 Matrix

Determinant af 4×4 Matrix Eksempler

Eksempel 1: A =egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 4 & -1 & 2 & 0 -3 & 2 & 1 & 5 1 & 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

Løsning:

støb snor til int

Først Udvid langs den første række:

ext{det}(A) = 2 cdot ext{det}(A_{11}) – 1 cdot ext{det}(A_{12}) + 0 cdot ext{det}(A_{13}) – 3 cdot ext{det}(A_{14})

Beregn nu determinanten for hver 3×3 submatrix.

For (A _elleve ):

A_{11} = egin{bmatrix} -1 & 2 & 0 2 & 1 & 5 0 & -2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{11}) = (-1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 -2 & 3 end{bmatrix} ight) – 2 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) + 0 cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight)

= (-1)((1)(3)-(5)(-2)) – 2((2)(3)-(5)(0)) + 0((2)(-2)-( 1)(0))

= (-1)((3)+(10)) – 2((6)-(0)) + 0((-4)-(0))

= (-1)(13) – 2(6) + 0(-4)

= -13 – 12

= -25

For (A ₁₂ ):

A_{12} = egin{bmatrix} 2 & 0 & 3 -3 & 1 & 5 1 & 2 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{12}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 1 & 5 2 & 3 end{bmatrix} ight) – (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & 2 end{bmatrix} ight)

= (2)((1)(3)-(5)(2)) – (0)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)(-3)(2) -(1)(1))

= (2)((3)-(10)) – (0)((-9)-(5)) + (3)((-6)-(1))

= (2)(-7) – (0)(-14) + (3)(-7)

= -14 – 0 – 21

= -35

For (A ₁₃ ):

A_{13} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 -3 & 2 & 5 1 & 0 & 3 end{bmatrix}

ext{det}(A_{13}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 5 0 & 3 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 5 1 & 3 end{bmatrix} ight) + (3) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(3)-(5)(0)) – (1)((-3)(3)-(5)(1)) + (3)((-3)(0) ) )-(2)(1))

= (2)((6)-(0)) – (1)((-9)-(5)) + (3)((0)-(2))

= (2)(6) – (1)(-14) + (3)(-2)

= 12 + 14 – 6

= 20

For (A ₁₄ ):

A_{14} = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 -3 & 2 & 1 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

ext{det}(A_{14}) = (2) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} 2 & 1 0 & -2 end{bmatrix} ight) – (1) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 1 1 & -2 end{bmatrix} ight) + (0) cdot ext{det}left(egin{bmatrix} -3 & 2 1 & 0 end{bmatrix} ight)

= (2)((2)(-2)-(1)(0)) – (1)((-3)(-2)-(1)(1)) + (0)((-3) (0)-(2)(1))

= (2)((-4)-(0)) – (1)((6)-(1)) + (0)((0)-(2))

= (2)(-4) – (1)(5) + (0)(-2)

= -8 – 5 + 0

= -13

Erstat nu determinanterne for 3×3 submatricerne i ekspansionsformlen:

det(A) = 2 cdot (-25) – 1 cdot (-35) + 0 – 3 cdot (-13)

= -50 + 35 + 0 + 39

= -50 + 35 + 39

= 24

Så determinanten for matrix (A) er 24.

Eksempel 2: Beregn determinanten af ​​matricenA = egin{bmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 -1 & 0 & 2 & 5 3 & 2 & 1 & 0 4 & -2 & 3 & 1 end{bmatrix}

Løsning:

For at finde determinanten for matricen (A) bruger vi metoden med udvidelse af mindreårige langs den første række:

ext{det}(A) = 2 cdot egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} – 3 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} + 4 cdot egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix}

Lad os nu beregne determinanterne for 3×3-undermatricerne:

ext{det}left( egin{vmatrix} 0 & 2 & 5 2 & 1 & 0 -2 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = 2 cdot (0 cdot (1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (2 cdot 1 – 0 cdot (-2)) + 5 cdot (2 cdot 3 – 2 cdot (-2)))

= 2 · (0 – 4 + 30) = 52

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 2 & 5 3 & 1 & 0 4 & 3 & 1 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((1 cdot 1 – 0 cdot 3) – 2 cdot (3 cdot 1 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot 3 – 1 cdot 4))

= -1 · (1 – 6 + 45) = 60

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 5 3 & 2 & 0 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 0 cdot (-2)) – 0 cdot (3 cdot 5 – 0 cdot 4) + 5 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (6 – 0 – 50) = 44

ext{det}left( egin{vmatrix} -1 & 0 & 2 3 & 2 & 1 4 & -2 & 3 end{vmatrix} ight) = -1 cdot ((2 cdot 3 – 1 cdot (-2)) – 0 cdot (2 cdot 3 – 1 cdot 4) + 2 cdot (3 cdot (-2) – 2 cdot 4))

= -1 · (8 – 0 + 0) = -8

Erstat nu disse determinanter tilbage i ekspansionsformlen:

it(A) = 2 · 52 – 1 · 60 – 3 · 44 + 4 · (-8) = 104 – 60 – 132 – 32 = -120

Så determinanten for matrix (A) er det(A) = -120.

Eksempel 3: Find determinanten for matricen B =egin{bmatrix} -2 & 3 & 1 & 0 4 & 1 & -3 & 2 0 & -1 & 2 & 5 3 & 2 & 0 & -4 end{bmatrix}

Løsning:

For at finde determinanten for matrix ( B ), bruger vi metoden med udvidelse af mindreårige langs den første række:

js onclick

ext{det}(B) = -2 cdot egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} + 3 cdot egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} – 1 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} + 0 cdot egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & 1 end{vmatrix}

Lad os nu beregne determinanterne for 3×3-undermatricerne:

ext{det}left( egin{vmatrix} 1 & -3 & 2 -1 & 2 & 5 2 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = -2 cdot (1 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (-1 cdot (-4) – 5 cdot 2) + 2 cdot (-1 cdot 0 – 2 cdot 2))

= -2 ⋅ (1 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (4 – 10) + 2 ⋅ (-4))

= -2 ⋅ (-8 + 18 – 8) = -2 ⋅ 2 = -4

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & -3 & 2 0 & 2 & 5 3 & 0 & -4 end{vmatrix} ight) = 3 cdot (4 cdot (2 cdot (-4) – 5 cdot 0) – (-3) cdot (0 cdot (-4) – 5 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 0 – 2 cdot 3))

= 3 ⋅ (4 ⋅ (-8) – (-3) ⋅ (0 – 15) + 2 ⋅ (0 – 6))

= 3 ⋅ (-32 + 45 – 12) = 3 ⋅ 1 = 3

ext{det}left( egin{vmatrix} 4 & 1 & 0 0 & -1 & 2 3 & 4 & -4 end{vmatrix} ight) = -1 cdot (4 cdot (-4) – 2 cdot 4) – 1 cdot (0 cdot (-4) – 2 cdot 3) + 2 cdot (0 cdot 4 – (-1) cdot 3)

= -1 ⋅ (-16 – 8) – 1 ⋅ (0 – 6) + 2 ⋅ (0 + 3)

= -1 ⋅ (-24) – 1 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 3

= 24 + 6 + 6

= 36

Erstat nu disse determinanter tilbage i ekspansionsformlen:

det(B) = -2 ⋅ (-4) + 3 ⋅ 3 – 1 ⋅ 36 + 0 ⋅ hvad som helst

= 8 + 9 – 36 + 0

= -19

Så determinanten for matrix (B) er det(B) = -19

Determinant af 4×4 Matrix Practice Spørgsmål

Q1: Beregn determinanten for følgende 4×4 matrix:A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 1 & 3 -1 & 2 & 2 & 0 3 & -2 & 0 & 1 1 & 1 & 2 & -1 end{bmatrix}

Q2: Find determinanten for matricen:B = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 0 & 1 & 0 & 1 1 & 0 & 1 & 0 2 & 3 & 4 & 5 end{bmatrix}

Q3: Beregn determinanten for følgende 4×4 matrix:C = egin{bmatrix} 2 & 1 & 0 & -1 3 & 2 & -1 & 0 0 & -3 & 2 & 1 1 & 0 & 3 & -2 end{bmatrix}

Q4: Bestem determinanten for matricen:D = egin{bmatrix} 4 & 2 & 1 & 0 -1 & 3 & 0 & 2 0 & 2 & 1 & -3 2 & 0 & -1 & 4 end{bmatrix}

Q5: Find determinanten for matricen: E = egin{bmatrix} 3 & 1 & -2 & 0 2 & 0 & 1 & 1 -1 & 2 & 3 & -2 0 & 3 & -1 & 1 end{bmatrix}

Ofte stillede spørgsmål om Determinant of 4×4 Matrix

Hvordan finder man determinanten for en 4×4 matrix?

For at finde determinanten for en 4×4 matrix kan du bruge forskellige metoder som kofaktorudvidelse eller rækkereduktionsteknikker.

Hvad er determinanten for en 4×4 identitetsmatrix?

Determinanten for en 4×4 identitetsmatrix er 1, da det er et specialtilfælde, hvor alle diagonale elementer er 1, og resten er 0.

Hvordan finder man determinanten for en 4×4 matrix ved hjælp af kofaktorudvidelse?

Bestemmelse af determinanten for en 4×4 matrix ved hjælp af kofaktorudvidelse involverer at nedbryde den i mindre 3×3 matricer, anvende kofaktorformlen og summere produkterne.

Hvad er formlen for determinant?

Formlen for determinanten involverer at summere produkterne af elementer og deres cofaktorer i hver række eller kolonne under hensyntagen til deres tegn.

Kan en determinant være negativ?

Ja, determinanter kan være negative, positive eller nul, afhængigt af den specifikke matrix og dens egenskaber.

Kan en 4×4 matrix have en invers?

En 4×4 matrix kan have en invers, hvis dens determinant ikke er nul; ellers er den ental og mangler en invers.

Hvordan viser man, at en 4×4 matrix er inverterbar?

For at vise, at en 4×4 matrix er inverterbar, skal du bekræfte, at dens determinant ikke er nul, hvilket indikerer eksistensen af ​​en invers, og bruge yderligere kriterier som rækkereduktion til at verificere invertibilitet.