Egenværdier og egenvektorer er de skalar- og vektormængder, der er forbundet med Matrix bruges til lineær transformation. Vektoren, der ikke ændrer sig selv efter at have anvendt transformationer, kaldes egenvektoren, og den skalarværdi, der er knyttet til egenvektorer, kaldes Egenværdier . Egenvektorer er de vektorer, der er forbundet med et sæt lineære ligninger. For en matrix kaldes egenvektorer også for karakteristiske vektorer, og vi kan kun finde egenvektoren for kvadratiske matricer. Egenvektorer er meget nyttige til at løse forskellige problemer med matricer og differentialligninger.

I denne artikel vil vi lære om egenværdier, egenvektorer for matricer og andre med eksempler.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er egenværdier?
• Hvad er egenvektorer?
• Egenvektorligning
• Hvad er egenværdier og egenvektorer?
• Hvordan finder man en egenvektor?
• Typer af egenvektor
• Højre egenvektor
• Venstre egenvektor
• Egenvektorer af en kvadratisk matrix
• Egenvektor af en 2 × 2 matrix
• Egenvektor af en 3 × 3 Matrix
• Egenrum
• Anvendelser af egenværdier
• Diagonaliser matrix ved hjælp af egenværdier og egenvektorer
• Løste eksempler på egenvektorer
• Ofte stillede spørgsmål om egenvektorer

Hvad er egenværdier?

Egenværdier er de skalære værdier forbundet med egenvektorerne i lineær transformation. Ordet 'Eigen' er af tysk oprindelse, hvilket betyder 'karakteristisk'. Derfor er disse den karakteristiske værdi, der angiver den faktor, hvormed egenvektorer strækkes i deres retning. Det involverer ikke ændringen i vektorens retning undtagen når egenværdien er negativ. Når egenværdien er negativ, er retningen bare vendt. Ligningen for egenværdi er givet ved

Off = λv

Hvor,

• A er matrixen,
• v er tilknyttet egenvektor, og
• λ er skalar egenværdi.

Hvad er egenvektorer?

Egenvektorer for kvadratiske matricer er defineret som vektorværdier, der ikke er nul, som, når de ganges med kvadratmatricerne, giver skaleringsmultiplet af vektoren, dvs. vi definerer en egenvektor for matrix A til at være v, hvis den specificerer betingelsen, Off = λv

Skaleringsmultiplen λ i ovenstående tilfælde kaldes egenværdien af ​​kvadratmatricen. Vi skal altid først finde egenværdierne af kvadratmatricen, før vi finder matricens egenvektorer.

For enhver kvadratisk matrix er A af orden n × n egenvektoren kolonnematrixen af ​​orden n × 1. Hvis vi finder egenvektoren for matricen A ved, Av = λv, kaldes v i denne den højre egenvektor af matricen A og ganges altid til højre, da matrixmultiplikation ikke er kommutativ af natur. Generelt, når vi finder egenvektoren, er det altid den rigtige egenvektor.

Vi kan også finde venstre egenvektor for kvadratmatricen A ved at bruge relationen, vA = vl

Her er v den venstre egenvektor og ganges altid til venstre. Hvis matrix A er af størrelsesordenen n × n, så er v en kolonnematrix af størrelsesordenen 1 × n.

Egenvektorligning

Egenvektorligningen er den ligning, der bruges til at finde egenvektoren for enhver kvadratisk matrix. Egenvektorligningen er,

Off = λv

Hvor,

• EN er den givne kvadratmatrix,
• i er egenvektoren for matrix A, og
• l er en hvilken som helst skaleringsmultipel.

Hvad er egenværdier og egenvektorer?

Hvis A er en kvadratisk matrix af størrelsesordenen n × n, så kan vi nemt finde egenvektoren for kvadratmatricen ved at følge metoden beskrevet nedenfor,

Vi ved, at egenvektoren er givet ved hjælp af ligningen Av = λv, for identitetsmatrixen af ​​samme orden som rækkefølgen af ​​A, dvs. n × n bruger vi følgende ligning,

(A-λI)v = 0

Ved at løse ovenstående ligning får vi forskellige værdier af λ som λ₁, l₂, ..., l_ndisse værdier kaldes egenværdierne og vi får individuelle egenvektorer relateret til hver egenværdi.

Ved at simplificere ovenstående ligning får vi v som er en søjlematrix af orden n × 1 og v skrives som,

v = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}

Hvordan finder man en egenvektor?

Egenvektoren for den følgende kvadratiske matrix kan let beregnes ved at bruge nedenstående trin,

Trin 1: Find egenværdierne for matricen A ved hjælp af ligningen det |(A – λI| =0, hvor I er identitetsmatrixen af ​​samme orden som matrix A

Trin 2: Værdien opnået i trin 2 er navngivet som, λ₁, l₂, l₃….

Trin 3: Find egenvektoren (X) forbundet med egenværdien λ₁ved hjælp af ligningen, (A – λ₁I) X = 0

Trin 4: Gentag trin 3 for at finde egenvektoren forbundet med andre resterende egenværdier λ₂, l₃….

Ved at følge disse trin får du egenvektoren relateret til den givne kvadratmatrix.

Typer af egenvektor

Egenvektorerne beregnet for kvadratmatricen er af to typer, som er,

• Højre egenvektor
• Venstre egenvektor

Højre egenvektor

Egenvektoren, der ganges med den givne kvadratmatrix fra højre side, kaldes den højre egenvektor. Det beregnes ved at bruge følgende ligning,

AF _R = λV _R

Hvor,

• EN er givet kvadratisk matrix af orden n×n,
• l er en af ​​egenværdierne, og
• I _R er kolonnevektormatrixen

Værdien af ​​V_Rer,

old{V_{R} = egin{bmatrix} v_{1} v_{2} v_{3} . . v_{n} end{bmatrix}}

Venstre egenvektor

Egenvektoren, der ganges med den givne kvadratiske matrix fra venstre side, kaldes venstre egenvektor. Det beregnes ved at bruge følgende ligning,

I _L A = V _L l

Hvor,

• EN er givet kvadratisk matrix af orden n×n,
• l er en af ​​egenværdierne, og
• I _L er rækkevektormatrixen.

Værdien af ​​V_Ler,

I _L = [v ₁ , i ₂ , i ₃ ,…, i _n ]

Egenvektorer af en kvadratisk matrix

Vi kan nemt finde egenvektoren for kvadratiske matricer af orden n × n. Lad os nu finde følgende kvadratiske matricer:

• Egenvektorer af en 2 × 2 matrix
• Egenvektorer af en 3 × 3 matrix.

Egenvektor af en 2 × 2 matrix

Egenvektoren for 2 × 2-matricen kan beregnes ved hjælp af ovennævnte trin. Et eksempel på det samme er,

Eksempel: Find egenværdierne og egenvektoren for matricen A = egin{bmatrix} 1 & 2 5& 4 end{bmatrix}

Løsning:

Hvis egenværdier er repræsenteret ved hjælp af λ, og egenvektoren er repræsenteret som v =egin{bmatrix} a end{bmatrix}

Derefter beregnes egenvektoren ved at bruge ligningen,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}1 & 2 5& 4end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 0& 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 1 – λ& 2 5& 4 – λ end{bmatrix} = 0

(1-λ)(4-λ) – 2,5 = 0

⇒ 4 – λ – 4λ + λ²– 10 = 0

⇒ l²-5l -6 = 0

⇒ l²-6λ + λ – 6 = 0

⇒ λ(λ-6) + 1(λ-6) = 0

⇒ (λ-6)(λ+1) = 0

λ = 6 og λ = -1

Egenværdierne er således 6 og -1. Så er de respektive egenvektorer,

For λ = 6

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – 6& 2 5& 4 – 6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-5& 2 5& -2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ -5a + 2b = 0

⇒ 5a – 2b = 0

Forenklet ovenstående ligning får vi,

5a=2b

Den nødvendige egenvektor er,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}

For λ = -1

(A-λI)v = 0

⇒egin{bmatrix}1 – (-1)& 2 5& 4 – (-1)end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2 5& 5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = 0

⇒ 2a + 2b = 0

⇒ 5a + 5b = 0

forenkling af ovenstående ligning får vi,

a = -b

Den nødvendige egenvektor er,

egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix} 1-1end{bmatrix}

Så er egenvektorerne for den givne 2 × 2 matrixegin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}25end{bmatrix}, egin{bmatrix}aend{bmatrix} = egin{bmatrix}1-1end{bmatrix}

Dette er to mulige egenvektorer, men mange af de tilsvarende multipla af disse egenvektorer kan også betragtes som andre mulige egenvektorer.

Egenvektor af en 3 × 3 Matrix

Egenvektoren for 3 × 3-matricen kan beregnes ved hjælp af ovennævnte trin. Et eksempel på det samme er,

Eksempel: Find egenværdierne og egenvektoren for matricen A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Løsning:

Hvis egenværdier er repræsenteret ved hjælp af λ, og egenvektoren er repræsenteret som v =egin{bmatrix} ac end{bmatrix}

Derefter beregnes egenvektoren ved at bruge ligningen,

|A- λI| = 0

egin{bmatrix}2 & 2 & 2 2 & 2 & 2 2 & 2 & 2end{bmatrix} -λegin{bmatrix}1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 & 1end{bmatrix} = egin{bmatrix}0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0end{bmatrix}

egin{bmatrix} 2 – λ & 2 & 2 2 & 2 – λ & 2 2 & 2 & 2- λend{bmatrix} = 0

Forenkling af ovenstående determinant får vi

⇒ (2-l)(l²) + 2 min²+ 2 min²= 0

⇒ (-l³) + 6 min²= 0

⇒ l²(6 – λ) = 0

⇒ λ = 0, λ = 6

For λ = 0

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 0& 2& 2 2& 2 – 0&22 & 2 & 2-0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}2& 2& 2 2& 2 &22 & 2 & 2end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Forenkling af ovenstående ligning får vi

2a + 2b + 2c = 0

⇒ 2(a+b+c) = 0

⇒ a+b+c = 0

Lad b = k₁og c = k₂

a + k₁+ k₂= 0

a = -(k₁+ k₂)

Egenvektoren er således,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-(k_{1}+k_{2}) k_{1}k_{2}end{bmatrix}

tager k₁= 1 og k₂= 0

egenvektoren er,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 1end{bmatrix}

tager k₁= 0 og k₂= 1

egenvektoren er,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}-1 01end{bmatrix}

For λ = 6

(A – λI) v = 0

⇒egin{bmatrix}2 – 6& 2& 2 2& 2 -6&22 & 2 & 2-6end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

⇒egin{bmatrix}-4& 2& 2 2& -4 &22 & 2 & -4end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = 0

Forenklet ovenstående ligning får vi,

-4a +2b +2c = 0

⇒ 2 (-2a + b + c) = 0

⇒ -2a = – (b + c)

⇒ 2a = b + c

Lad b = k₁og c = k₂og tager k₁= k₂= 1,

vi får,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Egenvektoren er således,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}1 11end{bmatrix}

Egenrum

Vi definerer egenrummet for en matrix som mængden af ​​alle matricens egenvektorer. Alle vektorerne i egenrummet er lineært uafhængige af hinanden.

For at finde matricens egenrum skal vi følge de følgende trin

Trin 1: Find alle egenværdierne af den givne kvadratmatrix.

Trin 2: Find den tilsvarende egenvektor for hver egenværdi.

Trin 3: Tag mængden af ​​alle egenvektorerne (f.eks. A). Den således dannede resulterende mængde kaldes egenrummet for den følgende vektor.

Fra ovenstående eksempel på givet 3 × 3 matrix A er det således dannede egenrum {egin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix} }

Anvendelser af egenværdier

Nogle af de almindelige anvendelser af egenværdier er:

Lineær algebra

Diagonalisering: Egenværdier bruges til at diagonalisere matricer, forenkle beregninger og løse lineære systemer mere effektivt.

Matrixeksponentiering: Egenværdier spiller en afgørende rolle i beregningen af ​​en matrixs eksponentiering.

Kvantemekanik

Schrödinger-ligning: Egenværdier af Hamilton-operatoren svarer til energiniveauerne i kvantesystemer, der giver information om mulige tilstande.

Vibrationer og strukturel analyse:

Mekaniske vibrationer: Egenværdier repræsenterer de naturlige frekvenser af vibrationssystemer. I strukturel analyse hjælper de med at forstå strukturers stabilitet og adfærd.

Statistikker

Kovariansmatrix: I multivariat statistik bruges egenværdier i analysen af ​​kovariansmatricer, der giver information om spredning og orientering af data.

Computer grafik

Principal Component Analysis (PCA): Egenværdier bruges i PCA til at finde de vigtigste komponenter i et datasæt, hvilket reducerer dimensionaliteten, samtidig med at væsentlig information bevares.

Kontrolsystemer

Systemstabilitet: Systemmatricens egenværdier er kritiske for at bestemme stabiliteten af ​​et kontrolsystem. Stabilitetsanalyse hjælper med at sikre, at systemets respons er afgrænset.

Diagonaliser matrix ved hjælp af egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer bruges til at finde diagonale matricer. EN diagonal matrix er en matrix, der kan skrives som,

A = XDX ^-1

Hvor,

• D er den matrix, som dannes ved at erstatte 1'erne i identitetsmatrixen med egenværdier, og
• x er matrixen dannet af egenvektorer.

Vi kan forstå konceptet med en diagonal matrix ved at tage følgende eksempel.

Eksempel: Diagonaliser matrixen A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Løsning:

Vi har allerede løst for egenværdierne og egenvektorerne for A = egin{bmatrix} 2 & 2 & 2 2 & 2 & 22 & 2 & 2 end{bmatrix}

Egenværdierne af A er λ = 0, λ = 0 og λ = -8

Egenvektorerne til A eregin{bmatrix}0 0end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 0-1end{bmatrix},egin{bmatrix}-1 -1end{bmatrix}

Dermed,

D =egin{bmatrix}0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -8end{bmatrix}

X =egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Vi kan nemt finde det omvendte af X som,

x^-1=egin{bmatrix}0 & -1 & -1 & 0 & -1 & -1 & 0end{bmatrix}

Læs mere,

• Elementær operation på matricer
• Identitetsmatrix
• Omvendt af en matrix

Løste eksempler på egenvektorer

Eksempel 1: Find egenvektorerne for matricen A = egin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1end{bmatrix}

Løsning:

Matricens egenværdier findes ved hjælp af,

|A – λI| = 0

skuespiller zeenat aman

egin{bmatrix}1-λ & 1 & 0 & 1-λ & 1 & 0 & 1-λend{bmatrix} = 0

(1 – l)³= 0

Egenværdierne er således,

λ = 1, 1, 1

Da alle egenværdierne er ens, har vi tre identiske egenvektorer. Vi finder egenvektorerne for λ = 1 ved hjælp af (A – λI)v = O

egin{bmatrix}1-1 & 1 & 0 & 1-1 & 1 & 0 & 1-1end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

egin{bmatrix}0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bcend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

ved at løse ovenstående ligning får vi,

• a = K
• y = 0
• z = 0

Så er egenvektoren,

egin{bmatrix}a bcend{bmatrix}= egin{bmatrix}k 0end{bmatrix} = kegin{bmatrix}1 0end{bmatrix}

Eksempel 2: Find egenvektorerne for matricen A = egin{bmatrix}5 & 0 & 5 end{bmatrix}

Løsning:

Matricens egenværdier findes ved hjælp af,

|A – λI| = 0

egin{bmatrix}5-λ & 0 & 5-λ end{bmatrix} = 0

(5 – l)²= 0

Egenværdierne er således,

λ = 5,5

Da alle egenværdierne er ens, har vi tre identiske egenvektorer. Vi finder egenvektorerne for λ = 1 vha

(A – λI)v = O

egin{bmatrix}5-5 & 0 0 & 5-5end{bmatrix}.egin{bmatrix}a bend{bmatrix} = egin{bmatrix}0 0end{bmatrix}

Blot ovenstående får vi,

• a = 1, b = 0
• a = 0, b = 1

Så er egenvektoren,

egin{bmatrix}a bend{bmatrix}= egin{bmatrix}1 0end{bmatrix} , egin{bmatrix}0 1end{bmatrix}

Ofte stillede spørgsmål om egenvektorer

Hvad er egenvektorer?

Vi definerer egenvektoren for enhver matrix som den vektor, der ved multiplikation med matrixen resulterer i matrixens skaleringsmultipel.

Hvordan finder man egenvektorer?

Egenvektor for enhver matrix A er betegnet med i . Egenvektor for matricen beregnes ved først at finde egenværdien af ​​matricen.

• Egenværdien af ​​matrixen findes ved hjælp af formlen |A-λI| = 0 hvor λ giver egenværdierne.
• Efter at have fundet egenværdi fandt vi egenvektor ved formlen Av = λv, hvor v giver egenvektoren.

Hvad er forskellen mellem egenværdi og egenvektor?

For enhver kvadratisk matrix A er egenværdierne repræsenteret af λ, og den beregnes med formlen |A – λI| = 0. Efter at have fundet egenværdien finder vi egenvektoren ved, Av = λv.

Hvad er den diagonaliserbare matrix?

Enhver matrix, der kan udtrykkes som produktet af de tre matricer som XDX^-1er en diagonaliserbar matrix her kaldes D den diagonale matrix.

Er egenværdier og egenvektorer de samme?

Nej, egenværdier og egenvektorer er ikke ens. Egenværdier er skaleren, der bruges til at finde egenvektorer, mens egenvektorer er de vektorer, der bruges til at finde matrixvektortransformationer.

Kan egenvektor være en nulvektor?

Vi kan have egenværdier til nul, men egenvektoren kan aldrig være en nulvektor.

Hvad er egenvektorformel?

Egenvektoren for enhver matrix beregnes ved hjælp af formlen,

Off = λv

hvor,
l er egenværdien
i er egenvektoren