Determinant er et grundlæggende begreb i lineær algebra, der bruges til at finde en enkelt skalarværdi for den givne matrix. Denne artikel vil forklare, hvad en 3 × 3 Matrix er, og hvordan man beregner Determinanten for en 3 × 3 Matrix trin for trin, såvel som dens anvendelser. Uanset om du er en elev, der lærer lineær algebra eller en entusiast, der søger en dybere forståelse af matrixoperationer, er det en værdifuld færdighed at tilegne sig determinanten for en 3 × 3 matrix.

Hvad er Matrixens Determinant?

Determinant af en matrix er et enkelt tal beregnet ud fra en kvadratisk matrix. Inden for lineær algebra findes determinanter ved at bruge værdierne inden for den kvadratiske matrix. Dette tal fungerer som en skaleringsfaktor, der påvirker, hvordan matrixen transformeres. Determinanter er værdifulde til at løse systemer af lineære ligninger, finde det inverse af en matrix og forskellige calculus operationer.

Hvad er 3 × 3 Matrix?

En 3 × 3 Matrix er en matrix hvor antallet af rækker og kolonner begge er lig med 3. Da antallet af rækker og kolonner er lige så er 3 × 3 en kvadratisk matrix af størrelsesordenen 3 × 3. En matrix er som en tabel lavet af tal, organiseret i rækker og kolonner. Det bruges til at gemme og arbejde med data inden for matematik og andre områder. Hvorimod en 3 × 3 matrix er en specifik type matrix, der består af tre rækker og tre kolonner. Det kan repræsenteres som:

3 × 3 Matrix

Egenskaber for 3 × 3 Matrix

Ligesom andre matricer har 3 × 3 matricer også nogle vigtige egenskaber.

• Firkantet matrix : En 3 × 3 matrix har tre rækker og tre kolonner, hvilket gør den til en kvadratisk matrix.

• Determinant: En 3 × 3 matrix har en determinant, en numerisk værdi, der er afgørende for at løse ligninger og finde inverse.

• Matrix multiplikation: Du kan gange en 3 × 3 matrix med en anden matrix, hvis antallet af kolonner i den første matrix svarer til antallet af rækker i den anden.

• Omvendt: En 3 × 3 matrix kan have en invers, hvis dens determinant er ikke-nul. Den inverse matrix, når den multipliceres med den oprindelige matrix, giver identitetsmatrixen.

Determinant af 3 × 3 Matrix Formel

Der findes forskellige metoder til at beregne en matrixs determinant. Den mest almindelige tilgang er at opdele en given 3 × 3 matrix i mindre 2 × 2 determinanter. Dette forenkler processen med at finde determinanten og er meget brugt i lineær algebra.

Lad os tage en 3 × 3 kvadratisk matrix, som er skrevet som,

For at beregne determinanten af ​​matrix A, dvs. |A|.

java streng sammenkædning

Udvid matrixen langs elementerne i første række.

Derfor,

Hvordan finder man determinanten for en 3 × 3 matrix?

Lad os forstå beregningen af ​​en 3 × 3 matrix med et eksempel. For den givne 3 × 3 matrix nedenfor.

egin{bmatrix} 2 & 1 & 3 4 & 0 & 1 2 & -1 & 2 end{bmatrix}

Trin 1: Vælg en referencerække eller -kolonne

Vælg en række og kolonne for at starte, antag at vi i dette eksempel tager det første element (2) som reference til at beregne determinanten for 3 × 3 matrix.

Så ekspanderende langs række R₁

Trin 2: Kryds række og kolonne ud

Fjern den valgte række og kolonne for at forenkle den i en 2 × 2 matrix.

2×2 Matrix

Trin 3: Find determinanten for 2 × 2-matricen

Find determinanten for 2 × 2 matrixen ved hjælp af formlen

Determinant = (a × d) – (b × c)

Cross Multiplikér

Her er a = 0, b = 1, c = -1, d = 2

sætte disse værdier i ovenstående formel for determinant, får vi

Determinant = (0 × 2) – (1 × -1)

Determinant = 0- (-1)

Determinant = 0+1

∴ Determinant af 2 × 2 matrixen = 1

Trin 4: Multiplicer med det valgte element

Multiplicer determinanten af ​​2 × 2-matricen med det valgte element fra referencerækken (som er 2,1 og 3 i dette tilfælde):

første element = 2 × 1 = 2

Trin 5: Gentag denne proces for det andet element i den valgte referencerække

Til andet element

Find Determinanten for det andet element 1 ved at sætte værdierne af 2×2 matrix i formel

Determinant = (a × d) – (b × c)

Her er a = 4, b= 1, c= 2, d= 2

Determinant = (4 × 2) – (1 × 2)

Determinant = 8 – 2

Determinant = 6

Multiplicer nu determinanten af ​​2 × 2-matricen med det valgte element fra referencerækken (som er 1 i dette tilfælde):

andet element = 1 × 6 = 6

Trin 6: Gentag denne proces for det tredje element i den valgte referencerække

Til det tredje element

Find Determinanten for det tredje element 3 ved at sætte værdierne af 2×2 matrix i formel

Determinant = (a × d) – (b × c)

Her er a = 4, b= 0, c= 2, d= -1

Determinant = (4 × -1) – (0 × 2)

Determinant = -4 – 0

Determinant = -4

Multiplicer nu determinanten af ​​2×2-matricen med det valgte element fra referencerækken (som er 3 i dette tilfælde):

andet element = 3 × (-4) = -12

Trin 7: Brug af formel

Læg alle resultaterne fra trin 4, 5 og 6 sammen

2 – 6 + (-12) = (-16)

∴ -16 er determinanten for 3 × 3 matrixen.

Anvendelse af determinant af en 3 × 3 matrix

Determinant af en matrix kan bruges til at finde det inverse og løse systemet med lineær ligning. Derfor lærer vi at finde den inverse af 3 × 3 Matrix og også løse system af lineær ligning ved hjælp af Cramer's Rule, som involverer brugen af ​​determinant af 3 × 3 Matrix.

Omvendt af 3 × 3 Matrix

Formlen til at finde det inverse af en kvadratisk matrix A er:

A^{-1} = frac{1}{ ext{det}(A)} cdot ext{adj}(A)

Hvor,

• A-1 er invers af matrix A .
• Det(A) repræsenterer determinanten af ​​matrix A.
• adj(A) står for adjugatet af matrix A

Enkelt sagt kan du følge disse trin for at finde det omvendte af en matrix:

Trin 1. Beregn determinanten af ​​matrix A.

Trin 2. Find adjugatet af matrix A.

Trin 3. Multiplicer hvert element i adjugatet med 1/det(A).

Denne formel bruges til kvadratiske matricer (matricer med samme antal rækker og kolonner) og antager, at determinanten er ikke-nul, hvilket er en nødvendig betingelse for, at en matrix har en invers.

Cramers regel

Cramers regel giver en formel til at løse et system af lineære ligninger ved hjælp af determinanter. For et system af lineære ligninger med n variable er givet i form af

AX=B

Hvor,

• A = Koefficient for kvadratmatricen
• X = Kolonnematrix med variable
• B = Kolonnematrix med konstanter

Overvej følgende lineære ligningssystem

-en₁x + b₁y + c₁z + . . . = d₁

-en₂x + b₂y + c₂z + . . . = d₂

. . .

-en_nx + b_ny + c_nz + . . . = d_n

Variablerne x, y, z, … bestemmes ved hjælp af følgende formler:

• x = D_x/D
• y = D_og/D
• z = D_Med/D

Hvor:

• D er determinanten for koefficientmatrixen.
• D_xer determinanten for matrixen opnået ved at erstatte koefficienterne for x med konstanterne på højre side.
• D_oger determinanten for matrixen opnået ved at erstatte koefficienterne for y
• D_Meder determinanten for matrixen opnået ved at erstatte koefficienterne for z

Cramers regel er anvendelig, når determinanten af ​​koefficientmatricen D er ikke-nul. Hvis D = 0, kan reglen ikke anvendes, som angiver enten ingen løsning eller uendeligt mange løsninger afhængig af det konkrete tilfælde.

Tjek også

• Typer af matricer
• System af lineære ligninger med tre variable
• Matrix operationer

Determinant af 3 × 3 Matrix løste eksempler

Eksempel 1: Find determinanten for matrix A egin{vmatrix} 2 & 3 & 1 0 & 4 & 5 1 & 6 & 2 end{vmatrix}

Determinant for A = 2 (4×2 – 5×6) – 3(0×2 – 5×1) + 1(0×6 – 4×1)

⇒ Determinant af A = 2(8-30) – 3(0-5) +1(0-4)

⇒ Determinant af A =2(-22) – 3(-5) +1(-4)

⇒ Determinant af A = (-44) +15 – 4

⇒ Determinant for A =-44+11

∴ Determinant af A, dvs. |A| = (-33)

Eksempel 2: Find determinant for matrix B = egin{vmatrix} 1 & 2 & 1 0 & 3 & 0 4 & 1 & 2 end{vmatrix}

Determinant af B = 1(3×2 – 0×1) – 2(0×2 – 0×4) + 1(0×1 – 3×4)

⇒ Determinant af B = 1(6-0) – 2(0) + 1(-12)

⇒ Determinant af B = 1(6) – 0 – 12

knn

⇒ Determinant af B =6-12

⇒ Determinant af B = (-6)

∴ Determinant af B, dvs. |B| = 6

Eksempel 3: Find determinant for matrix C egin{vmatrix} 3 & 1 & 2 0 & 2 & 5 2 & 0 & 4 end{vmatrix}

Determinant af matrix C = 3(2×4 – 5×0) – 1(0×4 – 5×2) + 2(0×0 – 2×2)

⇒ Determinant af C = 3(8-0) – 1(0-10) + 2(0-4)

⇒ Determinant af C =3(8) – 1(-10) + 2(-4)

⇒ Determinant af C = 24 + 10 -8

⇒ Determinant af C = 26

∴ Determinant af C, dvs. |C| = 26

Eksempel 4: Løs det givne ligningssystem ved hjælp af Cramers regel

2x + 3y – z = 7
4x – 2y + 3z = 8
x + y + 2z = 10

Løsning:

Trin 1: Find først Determinanten D af koefficientmatrix.

D = egin{vmatrix} 2 & 3 & -1 4 & -2 & 3 1 & 1 & 2 end{vmatrix}

Om løsning af denne determinant D

D= 2(-2×2-3×1) – 3(4×2-1×3) – (-1)(4×1-(-2)×3)

⇒ D= 2(-4-3) – 3(8-3) – (-1)(4+6)

⇒ D= 2(-7) – 3(5) – (-1)(10)

⇒ D= -14-15+10

⇒ D= -19

Trin 2: Find nu determinanterne for D_x, D_ogog D_Med

Ford_x, erstatter vi koefficienterne for x med konstanterne på højre side:

Dx = egin{vmatrix} 7 & 3 & -1 8 & -2 & 3 10 & 1 & 2 end{vmatrix}

Ford_og, erstatter vi koefficienterne for y med konstanterne:

Dy = egin{vmatrix} 2 & 7 & -1 4 & 8 & 3 1 & 10 & 2 end{vmatrix}

Ford_Med, erstatter vi koefficienterne for z med konstanterne:

Dz = egin{vmatrix} 2 & 3 & 7 4 & -2 & 8 1 & 1 & 10 end{vmatrix}

Om løsning af determinanten D_x

D_x= 7(-2×2 – 3×1) – 3(8×2 – 3×10) – (-1)(8×1 – (-2×10)

⇒ D_x= 7(-4 – 3) – 3(16 – 30) – (-1)(8 + 20)

⇒ D_x= 7(-7) – 3(-14) + 28

⇒ D_x= -49 + 42 + 28

git kommandoer til push

Således D_x= 21

Om løsning af determinanten D_og

D_og= 2(-2×2 – 3×10) – 7(4×2 – 1×10) – (-1)(4×1 – (-2×10)

⇒ D_og= 2(-4 – 30) – 7(8 – 10) – (-1)(4 + 20)

⇒ D_og= 2(-34) – 7(-2) + 24

⇒ D_og= -68 + 14 + 24

⇒ D_og= -30

Om løsning af determinanten D_Med

D_Med= 2(-2×(-2) – 3×(-2)) – 3(4×(-2) – 1×(-10)) – 7(4×3 – (-2×1)

⇒ D_Med= 2(4 + 6) – 3(-8 + 10) – 7(12 + 2)

⇒ D_Med= 2(10) – 3(2) – 7(14)

⇒ D_Med= 20 – 6 – 98

⇒ D_Med= -84

Trin 3: Sæt nu værdierne af D, D_x, D_ogog D_Medi Carmer's Rule Formel for at finde værdierne af x, y og z.

x = D_x/D = 21/(-19)

y = D_og/D = (-30)/(-19)

z = D_Med/D = (-84)/(-19)

Praksisspørgsmål om Determinant af 3 × 3 Matrix

Q1. Beregn determinanten for identitetsmatrixen:

egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end{bmatrix}

Q2. Find determinanten for matricen:

egin{bmatrix} 3 & 2 & 0 0 & 4 & -1 2 & 1 & 5 end{bmatrix}

Q3. Bestem determinanten for matricen:

egin{bmatrix} 2 & 1 & 1 1 & 2 & 1 1 & 1 & 2 end{bmatrix}

Q4. Beregn determinanten af ​​matricen:

egin{bmatrix} -1 & 0 & 0 0 & 2 & 0 0 & 0 & -3 end{bmatrix}

Q5. Find determinanten for matricen:

egin{bmatrix} 4 & 3 & 2 1 & 0 & 1 2 & 1 & 4 end{bmatrix}

Q6. Bestem determinanten for matricen:

egin{bmatrix} 0 & 1 & 2 2 & -1 & 3 1 & 0 & -2 end{bmatrix}

Determinant for 3 × 3 Matrix – ofte stillede spørgsmål

1. Hvad er en matrix?

En matrix er et rektangulært arrangement af tal eller elementer organiseret i rækker og kolonner. Det bruges på forskellige områder til at repræsentere og løse matematiske, videnskabelige og tekniske problemer.

2. Hvad er betydningen af ​​determinanten af ​​en 3 × 3 Matrix?

Determinanten for en 3 × 3 matrix er signifikant, fordi den giver information om matrixens egenskaber. Det hjælper med at bestemme, om et system af lineære ligninger har en unik løsning, blandt andre applikationer.

3. Hvad er definitionen af ​​Determinant of Matrix?

Determinanten for en matrix er en skalarværdi beregnet ud fra matrixens elementer, der giver information om dens egenskaber. Det bruges til at løse systemer af lineære ligninger, finde inverse og mere.

4. Hvad hvis Determinanten af ​​en 3 × 3 Matrix er nul?

Hvis determinanten for en 3 × 3 matrix er nul, betyder det, at matrixen er ental, og den har ikke en invers. I geometriske termer indikerer det, at transformationen repræsenteret af matrixen kollapser arealet eller volumenet til nul. determinant er altid nul. Dette gælder for matricer af enhver størrelse.

5. Kan determinanten af ​​en 3 × 3 matrix være negativ?

Ja, determinanten kan være negativ. Determinantens fortegn afhænger af arrangementet af matrixelementerne, og om de resulterer i en positiv eller negativ værdi ifølge beregningsmetoden.

6. Hvad er nogle praktiske anvendelser til at finde determinanten for en 3 × 3 matrix?

Determinanter bruges inden for forskellige områder, herunder fysik, teknik, computergrafik og økonomi. De hjælper med at løse systemer af lineære ligninger, analysere geometriske transformationer og bestemme stabiliteten af ​​dynamiske systemer.