Trigonometrisk Substitution er en af ​​substitutionsmetoderne til integration, hvor en funktion eller et udtryk i det givne integral erstattes med trigonometriske funktioner som sin, cos, tan osv. Integration ved substitution er den nemmeste substitutionsmetode.

Det bruges, når vi laver en substitution af en funktion, hvis afledede allerede er inkluderet i den givne integralfunktion. Herved bliver funktionen forenklet, og der opnås en enkel integralfunktion, som vi nemt kan integrere. Det er også kendt som u-substitution eller omvendt kædereglen. Eller med andre ord, ved hjælp af denne metode kan vi nemt evaluere integraler og antiderivater.

Trigonometrisk substitution

Hvad er trigonometrisk substitution?

Trigonometrisk substitution er en proces, hvor substitutionen af ​​en trigonometrisk funktion til et andet udtryk finder sted. Det bruges til at evaluere integraler, eller det er en metode til at finde antiderivater af funktioner, der indeholder kvadratrødder af kvadratiske udtryk eller rationelle potenser af formenfrac{p}{2} (hvor p er et heltal) af kvadratiske udtryk. Eksempler på sådanne udtryk er

({x^2+4})^frac{3}{2} ellersqrt{25-x^2} eller osv.

Metoden til trigonometrisk substitution kan blive brugt, når andre mere almindelige og lettere at bruge metoder til integration har fejlet. Trigonometrisk substitution forudsætter, at du er fortrolig med standard trigonometriske identiteter, brugen af ​​differentialnotation, integration ved hjælp af u-substitution og integration af trigonometriske funktioner.

x = f(θ)

⇒ dx = f'(θ)dθ

Her vil vi diskutere nogle vigtige formler afhængigt af den funktion, vi skal integrere, vi erstatter et af følgende trigonometriske udtryk for at forenkle integrationen:

∫cosx dx = sinx + C

mvc java

∫sinx dx = −cosx + C

∫sek²x dx = tanx + C

∫kossek²x dx = −cotx + C

∫secx tanx dx = secx + C

∫cosecx cotx dx = −cosecx + C

∫tanx dx = ln|sekx| + C

∫cotx dx = ln|sinx| + C

∫secx dx = ln|secx + tanx| + C

∫cosecx dx = ln|cosecx − cotx| + C

Læs i detaljer: Regning i matematik

Hvornår skal man bruge trigonometrisk substitution?

Vi bruger trigonometrisk substitution i følgende tilfælde,

Hvordan anvender man trigonometrisk substitutionsmetode?

Vi kan anvende den trigonometriske substitutionsmetode som beskrevet nedenfor,

Integral med en²- x²

Lad os overveje et eksempel på integralet, der involverer en²- x².

Eksempel: int frac{1}{sqrt{a^2-x^2}}hspace{0.1cm}dx

Lad os sætte, x = en sinθ

⇒ dx = a cosθ dθ

Altså jeg =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2-(ahspace{0.1cm}sin heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}cos heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2cos^2 heta)}}

⇒ I =int 1. d heta

⇒ I = θ + c

Som, x = en sinθ

⇒ θ =sin^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =sin^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral med x ² + a ²

Lad os overveje et eksempel på integralet, der involverer x²+ a².

Eksempel: Find integralet old{int frac{1}{x^2+a^2}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Lad os sætte x = en tanθ

⇒ dx = a sek2θ dθ, får vi

Altså jeg =int frac{1}{(ahspace{0.1cm}tan heta)^2+a^2}hspace{0.1cm}(ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta)

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{a^2(sec^2 heta)}

⇒ I =frac{1}{a}int 1.d heta

⇒ I =frac{1}{a} heta + c

As, x = en tanθ

boble sortering

⇒ θ =tan^{-1}(frac{x}{a})

⇒ I =frac{1}{a}tan^{-1}(frac{x}{a}) + c

Integral med en ² + x ² .

Lad os overveje et eksempel på integralet, der involverer en²+ x².

Eksempel: Find integralet af old{int frac{1}{sqrt{a^2+x^2}}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Lad os sætte, x = en tanθ

⇒ dx = et sek²θ dθ

Altså jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2+(ahspace{0.1cm}tan heta)^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{sqrt{(a^2hspace{0.1cm}sec^2 heta)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec^2 heta hspace{0.1cm}d heta}{ahspace{0.1cm}sec heta}

⇒ I =int sechspace{0.1cm} heta d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|tanhspace{0.1cm} heta+sqrt{1+tan^2hspace{0.1cm} heta}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{1+frac{x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{a^2+x^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{a^2+x^2}|+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{a^2+x^2}|+ c_1

Integral med x ² – en ² .

Lad os overveje et eksempel på integralet, der involverer x²– en².

Eksempel: Find integralet af old{int frac{1}{sqrt{x^2-a^2}}hspace{0.1cm}dx}

Lad os sætte, x = en sekθ

⇒ dx = a sekθ tanθ dθ

Altså jeg =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{sqrt{((ahspace{0.1cm}sec heta)^2-a^2)}}

⇒ I =int frac{ahspace{0.1cm}sec heta hspace{0.1cm}tan hetahspace{0.1cm}d heta}{(ahspace{0.1cm}tan heta)}

⇒ I =int sec hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+tanhspace{0.1cm} heta| + c

⇒ I =log|sechspace{0.1cm} heta+sqrt{sec^2hspace{0.1cm} heta-1}| + c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2}{a^2}-1}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+sqrt{frac{x^2-a^2}{a^2}}|+ c

⇒ I =log|frac{x}{a}+frac{1}{{a}}sqrt{x^2-a^2}|+ c

⇒ I = log|x+sqrt{x^2-a^2}|-loghspace{0.1cm}a+ c

⇒ I =log|x+sqrt{x^2-a^2}|+ c_1

Læs mere,

• Integrationsformler
• Integration ved substitution
• Integration efter dele

Prøveproblemer om trigonometrisk substitution

Opgave 1: Find integralet af old{int frac{1}{sqrt{9-25x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tager 5 fælles i nævneren,

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{frac{9}{25}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{5}int frac{1}{sqrt{(frac{3}{5})^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Ifølge sætning 1 er a =frac{3}{5}

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{x}{frac{3}{5}}) + c

forbindelser i java

⇒ I =frac{1}{5} sin^{-1}(frac{5x}{3}) + c

Opgave 2: Find integralet af old{int frac{1}{sqrt{8-2x^2}} hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tager √2 fælles i nævneren,

⇒ I = frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{frac{8}{2}-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}}int frac{1}{sqrt{(2)^2-x^2}} hspace{0.1 cm} dx

Ifølge sætning 1 er a = 2

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

⇒ I =frac{1}{sqrt{2}} sin^{-1}(frac{x}{2}) +c

Opgave 3: Find integralet af old{int x^3sqrt{9-x^2}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Ved at omarrangere får vi

int x^3sqrt{3^2-x^2}hspace{0.1cm}dx

Her tages a = 3 og x = 3 sinθ

⇒ dx = 3 cos θ dθ

Ved at erstatte disse værdier,

jeg =int (3 sinθ)^3sqrt{(3^2-(3 sin heta)^2)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 27 sin^3 heta hspace{0.1cm}3sqrt{(1-sin^2 heta)}hspace{0.1cm}3 hspace{0.1cm}cos hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I =int 243 hspace{0.1cm}sin^3 heta cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}sin^2 heta hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-cos^2 heta) hspace{0.1cm}sin hetahspace{0.1cm}cos^2 hetahspace{0.1cm}d heta

Lad os tage,

u = cos θ

⇒ du = -sin θ dθ

Ved at erstatte disse værdier får vi

⇒ I = 243inthspace{0.1cm}(1-u^2) hspace{0.1cm}u^2hspace{0.1cm}(-du)

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}(u^2-u^4) hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243inthspace{0.1cm}u^2 hspace{0.1cm}du – inthspace{0.1cm}u^4 hspace{0.1cm}du

⇒ I = -243[frac{u^3}{3} – frac{u^5}{5}]

As, u = cos θ og x = 3 sinθ

⇒ cos θ =sqrt{1-sin^2 heta}

⇒ i =sqrt{1-(frac{x}{3})^2}

⇒ i =(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}}

Derfor er I = -243[frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^3}{3}-frac{({(1-frac{x^2}{9})^{frac{1}{2}})}^5}{5}]

⇒ I = -243 [frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{3}{2}}}{3}-frac{(1-frac{x^2}{9})^{frac{5}{2}}}{5}] + c

Opgave 4: Find integralet af old{int frac{1}{4+9x^2} hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tager 9 fælles i nævneren,

jeg =frac{1}{9}int frac{1}{frac{4}{9}+x^2} hspace{0.1 cm} dx

⇒ I =frac{1}{9}int frac{1}{(frac{2}{3})^2+x^2} hspace{0.1 cm} dx

livscyklus for softwareudvikling

Ifølge sætning 2 er a =frac{2}{3}

⇒ I =frac{1}{9} imes frac{1}{frac{2}{3}}tan^{-1} frac{x}{(frac{2}{3})}

⇒ I =frac{1}{6}tan^{-1} (frac{3x}{2})+ c

Opgave 5: Find integralet af old{int frac{1}{sqrt{16x^2+25}}hspace{0.1cm}dx}

Løsning:

Tager 4 fælles i nævneren,

jeg =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+frac{25}{16}}}

⇒ I =frac{1}{4}intfrac{1}{sqrt{x^2+(frac{5}{4})^2}}

Ifølge sætning 3 er a =frac{5}{4}

⇒ I =frac{1}{4} imes log|x+sqrt{(frac{5}{4})^2+x^2}|+ c

⇒ I =frac{1}{4} imes log|frac{4x+sqrt{25+16x^2}}{4}|+ c

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|-frac{1}{4}log4+ c

git status -s

⇒ I =frac{1}{4}log|4x+sqrt{25+16x^2}|+ c_1

Opgave 6: Find integralet af old{int frac{1}{sqrt{4x^2-9}}hspace{0.1cm}dx} .

Løsning:

Tager 2 fælles i nævneren,

jeg =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-frac{9}{4}}} hspace{0.1cm}dx

jeg =frac{1}{2}int frac{1}{sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}} hspace{0.1cm}dx

Ifølge sætning 4 er a =frac{3}{2}

jeg =frac{1}{2} imes log|x+sqrt{x^2-(frac{3}{2})^2}|+c

jeg =frac{1}{2}log|x+sqrt{x^2-frac{9}{4}}|+c

jeg =frac{1}{2}log|frac{2x+sqrt{x^2-9}}{2}|+c

jeg =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|-frac{1}{2}log2+c

jeg =frac{1}{2}log|2x+sqrt{x^2-9}|+c_1

Opgave 7: Find integralet af old{int frac{1}{x^2-x+1}hspace{0.1cm}dx} .

Løsning:

Efter omarrangering får vi

jeg =int frac{1}{x^2-x+frac{1}{4}-frac{1}{4}+1}hspace{0.1cm}dx

jeg =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+frac{3}{4})}hspace{0.1cm}dx

jeg =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(sqrt{frac{3}{4}})^2})hspace{0.1cm}dx

jeg =int frac{1}{(x-frac{1}{2})^2+(frac{sqrt{3}}{2})^2})hspace{0.1cm}dx

Ifølge sætning 2 har vi

x = x-frac{1}{2} og en =frac{sqrt{3}}{2}

jeg =frac{1}{frac{sqrt{3}}{2}} tan^{ -1} frac{(x-frac{1}{2})}{frac{sqrt{3}}{2}}

jeg =frac{2}{sqrt{3}} tan^{ -1} frac{(2x-1)}{sqrt{3}} + c

Trigonometrisk substitution – ofte stillede spørgsmål

Hvad er trigonometrisk substitution?

Trigonometrisk substitution er integrationsteknik, der bruges til at løse integralerne, der involverer udtryk med radikaler og kvadratrødder såsom √(x)²+ a²), √(a²+ x²), og √(x²– en²).

Hvornår skal jeg bruge trigonometrisk substitution?

Trigonometrisk substitution er nyttig, når du har et integral, der involverer et radikalt udtryk, især når det radikale udtryk indeholder et kvadratisk led.

Hvad er de tre trigonometriske substitutioner, der almindeligvis anvendes i integraler?

De tre almindeligt anvendte trigonometriske substitutioner er:

• Erstat x = a sin θ, når det radikale udtryk indeholder et led på formen a²- x².
• Erstat x = en tan θ, når det radikale udtryk indeholder et led på formen x²– en².
• Erstat x = a sek θ, når det radikale udtryk indeholder et led på formen x²+ a².

Hvordan vælger nogen, hvilken trigonometrisk substitution, der skal bruges?

Du bør vælge den trigonometriske substitution baseret på formen af ​​det radikale udtryk. Hvis det radikale udtryk indeholder et led på formen a^2 – x^2, skal du bruge x = a sin θ. Hvis det radikale udtryk indeholder et led af formen x^2 – a^2, skal du bruge x = en tan θ. Hvis det radikale udtryk indeholder et led på formen x^2 + a^2, skal du bruge x = a sek θ.