Integration efter dele: Integration af dele er en teknik, der bruges i calculus til at finde integralet af produktet af to funktioner. Det er i bund og grund en vending af produktreglen for differentiering.

Det er ikke altid let at integrere en funktion, nogle gange er vi nødt til at integrere en funktion, der er multiplum af to eller flere funktioner i dette tilfælde, hvis vi skal finde den integration, vi skal bruge integration efter del-koncept, som bruger to produkter af to funktioner og fortæller os, hvordan man finder deres integration.

Lad os nu lære om Integration efter dele, dens formel, afledning og andre i detaljer i denne artikel.

Hvad er Integration by Parts?

Integration efter del er den teknik, der bruges til at finde integrationen af ​​produktet af to eller flere funktioner, hvor integrationen ikke kan udføres ved brug af normale teknikker. Antag, at vi har to funktioner f(x) og g(x), og vi skal finde integrationen af ​​deres produkt, dvs. ∫ f(x).g(x) dx, hvor det ikke er muligt yderligere at løse produktet af dette produkt f(x).g(x).

Denne integration opnås ved hjælp af formlen:

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

hvor f'(x) er den første differentiering af f(x).

Denne formel læses som:

Integration af den første funktion ganget med den anden funktion er lig med (Første funktion) ganget med (Integration af anden funktion) – Integration af (Differentiering af første funktion ganget med integration af anden funktion).

Fra ovenstående formel kan vi let observere, at valg af den første funktion og den anden funktion er meget vigtig for succesen af ​​denne formel, og hvordan vi vælger den første funktion og den anden funktion diskuteres yderligere i denne artikel.

Hvad er delvis integration?

Delvis integration, også kendt som integration af dele, er en teknik, der bruges i calculus til at evaluere integralet af et produkt af to funktioner. Formlen for delvis integration er givet af:

∫ u dv = uv – ∫ v du

hvor u og v er differentiable funktioner af x. Denne formel giver os mulighed for at forenkle integralet af et produkt ved at opdele det i to enklere integraler. Ideen er at vælge u og dv, så det nye integral på højre side er lettere at evaluere end det originale på venstre side. Denne teknik er især nyttig, når man har at gøre med produkter af funktioner, der ikke har simple antiderivater.

Historie om delvis integration

Integration af del koncept blev først foreslået af den berømte Brook Taylor i hans bog i 1715. Han skrev, at vi kan finde integrationen af ​​produktet af to funktioner, hvis differentieringsformler eksisterer. Nogle vigtige funktioner har ikke integrationsformler, og deres integration opnås ved hjælp af integration ved at dele dem som et produkt af to funktioner. For eksempel kan ∫ln x dx ikke beregnes ved brug af normale integrationsteknikker. Men vi kan integrere det ved hjælp af Integration by part-teknik og tage det som et produkt af to funktioner, dvs. ∫1.ln x dx.

Formel for integration efter dele

Integration by parts formel er den formel, der hjælper os med at opnå integration af produktet af to eller flere funktioner. Antag, at vi skal integrere produktet af to funktioner som

∫u.v dx

hvor u og v er funktionerne af x, så kan dette opnås ved hjælp af,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Rækkefølgen for at vælge den første funktion og den anden funktion er meget vigtig, og konceptet, der bruges i de fleste tilfælde til at finde den første funktion og den anden funktion, er ILATE-konceptet.

Ved at bruge ovenstående formel og ILATE-konceptet kan vi nemt finde integrationen af ​​produktet af to funktioner. Formlen for integration efter del er vist på billedet nedenfor,

Afledning af integration efter dele formel

Integration By Parts Formel er afledt ved hjælp af produktreglen om differentiering. Antag, at vi har to funktioner i og i og x så opnås derivatet af deres produkt ved hjælp af formlen,

d/dx (uv) = u (dv/dx) + v (du/dx)

Nu for at udlede integrationen af ​​dele-formlen ved hjælp af produktreglen om differentiering.

Omarrangering af vilkårene

u (dv/dx) = d/dx (uv) – v (du/dx)

Integration af begge sider med hensyn til x,

∫ u (dv/dx) (dx) = ∫ d/dx (uv) dx – ∫ v (du/dx) dx

forenkling,

∫ u dv = uv – ∫ v du

Således udledes formlen for integration efter dele.

ILATE regel

ILATE-reglen fortæller os, hvordan man vælger den første funktion og den anden funktion, mens man løser integrationen af ​​produktet af to funktioner. Antag, at vi har to funktioner af x u og v, og vi skal finde integrationen af ​​deres produkt, så vælger vi den første funktion og ved ILATE-reglen.

Den fulde ILATE-formular er diskuteret på billedet nedenfor,

ILATE-regel om delvis integration

ILATE-reglerne giver os hierarkiet med at tage den første funktion, dvs. hvis en funktion i det givne produkt af funktionen er en logaritmisk funktion, og en anden funktion er en trigonometrisk funktion. Nu tager vi den logaritmiske funktion som den første funktion, da den kommer ovenfor i hierarkiet af ILATE-reglen på samme måde, vi vælger den første og anden funktion i overensstemmelse hermed.

BEMÆRK: Det er ikke altid passende at bruge ILATE-reglen nogle gange bruges andre regler også til at finde den første funktion og den anden funktion.

Hvordan finder man integration efter del?

Integration efter del bruges til at finde integrationen af ​​produktet af to funktioner. Vi kan opnå dette ved at bruge de trin, der er beskrevet nedenfor,

Antag, at vi skal forenkle ∫uv dx

Trin 1: Vælg den første og den anden funktion i henhold til ILATE-reglen. Antag, at vi tager u som den første funktion og v som den anden funktion.

Trin 2: Differentiere u(x) med hensyn til x, dvs. Evaluer du/dx.

Trin 3: Integrer v(x) med hensyn til x, dvs. Evaluer ∫v dx.

Brug resultaterne opnået i trin 1 og trin 2 i formlen,

∫uv dx = u∫v dx − ∫((du/dx)∫v dx) dx

Trin 4: Forenkle ovenstående formel for at få den nødvendige integration.

Gentagen integration af dele

Gentagen integration af dele er en udvidelse af integration af dele teknik i calculus. Det bruges, når du har et produkt af funktioner, der kræver integration flere gange for at finde antiderivatet. Processen involverer at anvende formlen for integration af dele iterativt, indtil du når et punkt, hvor det resulterende integral er let at evaluere eller har en kendt form.

Når du anvender denne formel gentagne gange, vil du starte med et integral, der involverer et produkt af to funktioner, og derefter anvende integration efter dele for at opdele det i enklere integraler. Du vil derefter fortsætte denne proces på de resulterende integraler, indtil du når et punkt, hvor yderligere applikationer er unødvendige, eller hvor integralerne bliver håndterbare.

Her er et trin-for-trin eksempel på, hvordan gentagen integration af dele fungerer:

1. Start med et integral af et produkt af to funktioner: ∫ u dv.
2. Anvend formlen for integration efter dele for at få: uv – ∫ v du.
3. Hvis det nye integral opnået på højre side stadig involverer et produkt af funktioner, skal du anvende integration med dele igen for at nedbryde det yderligere.
4. Fortsæt denne proces, indtil du får et enklere integral, der let kan evalueres, eller et, der matcher en kendt integralform.

Tabelintegration efter dele

Tabelintegration, også kendt som tabelmetoden eller metoden til tabelintegration, er en alternativ teknik til at evaluere integraler, der involverer gentagen anvendelse af integration af dele. Denne metode er især nyttig, når der er tale om integraler, hvor produktet af funktioner kan integreres flere gange for at opnå et enkelt resultat.

Den tabelformede metode organiserer den gentagne integration efter deleproces i en tabel, hvilket gør det nemmere at holde styr på termerne og forenkle integralet effektivt. Sådan fungerer den tabelformede metode:

1. Begynd med at skrive de funktioner, der er involveret i integralet, ned i to kolonner: en for funktionen til at differentiere (u) og en anden for funktionen til at integrere (dv).
   • Start med funktionen til at integrere (dv) i venstre kolonne og funktionen til at differentiere (u) i højre kolonne.
2. Fortsæt med at differentiere funktionen i u-kolonnen, indtil du når nul eller en konstant. Ved hvert trin skal du integrere funktionen i dv-kolonnen, indtil du når et punkt, hvor yderligere integration ikke er nødvendig.
3. Gang termerne diagonalt og skift fortegnene (+ og -) for hvert led. Opsummer disse produkter for at finde resultatet af integrationen.

Her er et eksempel for at illustrere tabelintegrationsmetode :

Lad os evaluere integralet ∫x sin(x) dx.

• Trin 1: Opret en tabel med to kolonner for u (funktion til at differentiere) og dv (funktion til at integrere):

• Trin 2: Differentier funktionen i u-kolonnen og integrer funktionen i dv-kolonnen:

• Trin 3: Gang termerne diagonalt og skift fortegnene:

(x)(-cos(x)) – (1)(-sin(x)) + (0)(cos(x)) = -x cos(x) + sin(x)

Altså resultatet af integralet ∫x sin(x) dx er -x cos(x) + sin(x).

Den tabelformede integrationsmetode er især nyttig, når man beskæftiger sig med integraler, der involverer funktioner, der gentages ved differentiering eller integration, hvilket giver mulighed for en systematisk og organiseret tilgang til at finde antiderivatet.

Anvendelser af integration efter dele

Integration by Parts har forskellige applikationer i integralregning, den bruges til at finde integrationen af ​​funktionen, hvor normale integrationsteknikker fejler. Vi kan nemt finde integrationen af ​​inverse og logaritmiske funktioner ved hjælp af integration af dele-konceptet.

Vi vil finde integrationen af ​​den logaritmiske funktion og Arctan-funktionen ved hjælp af integration ved delregel,

Integration af logaritmisk funktion (log x)

Integration af invers logaritmisk funktion (log x) opnås ved hjælp af Integration by part-formel. Integrationen diskuteres nedenfor,

∫ logx.dx = ∫ logx.1.dx

Tager log x som den første funktion og 1 som den anden funktion.

Brug af ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx. ∫1.dx – ∫ ((logx)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = logx.x -∫ (1/x .x).dx

⇒ ∫ logx.1.dx = xlogx – ∫ 1.dx

konvertering fra dato til streng

⇒ ∫ logx.dx = x logx – x + C

Hvilket er den nødvendige integration af logaritmisk funktion.

Integration af omvendt trigonometrisk funktion (tan^-1x)

Integration af omvendt trigonometrisk funktion (tan^-1x) opnås ved hjælp af Integration by Part-formel. Integrationen diskuteres nedenfor,

∫ så^-1x.dx = ∫tan^-1x.1.dx

Bliver solbrun^-1x som den første funktion og 1 som den anden funktion.

Brug af ∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x.∫1.dx – ∫((tan^-1x)’.∫ 1.dx).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = tan^-1x. x – ∫(1/(1 + x²).x).dx

⇒ ∫tan^-1x.1.dx = x. så^-1x – ∫ 2x/(2(1 + x²)).dx

⇒ ∫tan^-1x.dx = x. så^-1x – ½.log(1 + x2) + C

Hvilket er den nødvendige integration af invers trigonometrisk funktion.

Virkelige anvendelser af delvis integration

Nogle af de almindelige virkelige anvendelser af delvis integration er:

• At finde antiderivater
  • I teknik og fysik bruges delvis integration til at finde antiderivater af funktioner, der repræsenterer fysiske størrelser. For eksempel, i mekanik, bruges det til at udlede bevægelsesligninger fra ligningerne for kraft og acceleration.
• Wallis produkt
  • Wallis-produktet, en uendelig produktrepræsentation af pi, kan udledes ved hjælp af delvis integrationsteknikker. Dette produkt har applikationer inden for områder som talteori, sandsynlighedsteori og signalbehandling.
• Gammafunktionsidentitet
  • Gammafunktionen, som udvider faktorfunktionen til komplekse tal, har forskellige anvendelser inden for matematik, fysik og teknik. Delvis integration bruges til at bevise identiteter, der involverer gammafunktionen, som er afgørende inden for områder som sandsynlighedsteori, statistisk mekanik og kvantemekanik.
• Brug i harmonisk analyse
  • Delvis integration spiller en væsentlig rolle i harmonisk analyse, især i Fourier-analyse. Det bruges til at udlede egenskaber af Fourier-transformationer, såsom foldningssætningen og egenskaber for Fourier-serier. Disse resultater anvendes inden for områder som signalbehandling, billedanalyse og telekommunikation.

Integration af Parts Formler

Vi kan udlede integrationen af ​​forskellige funktioner ved hjælp af integration by parts konceptet. Nogle af de vigtige formler udledt ved hjælp af denne teknik er

• ∫ og^x(f(x) + f'(x)).dx = e^xf(x) + C
• ∫√(x²+ a²).dx = ½ . x.√(x²+ a²)+ a²/2. log|x + √(x²+ a²)| + C
• ∫√(x²– en²).dx =½ . x.√(x²– en²) – en²/2. log|x +√(x²– en²) | C
• ∫√(a²- x²).dx = ½ . x.√(a²- x²) + a²/2. uden^-1x/a + C

Eksempler på integration efter dele

Eksempel 1: Find ∫ e ^x x dx.

Løsning:

Lad I = ∫ e^xx dx

Valg af u og v ved hjælp af ILATE-reglen

u = x
v = e^x

Differentiering af u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

∫v dx = ∫e^xdx = e^x

Ved at bruge formlen for integration efter del,

⇒ I = ∫ e^xx dx

⇒ I = x ∫e^xdx − ∫1 (∫ f.eks^xdx) dx

⇒ I = xe^x- og^x+ C

⇒ I = e^x(x - 1) + C

Eksempel 2: Beregn ∫ x sin x dx.

Løsning:

Lad I = ∫ x sin x dx

Valg af u og v ved hjælp af ILATE-reglen

u = x
v = sin x

Differentiering af u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(x)/dx

⇒ u'(x) = 1

Ved at bruge formlen for integration efter del,

⇒ I = ∫ x sin x dx

⇒ I = x ∫sin x dx − ∫1 ∫(sin x dx) dx

⇒ I = − x cos x − ∫−cos x dx

⇒ I = − x cos x + sin x + C

Eksempel 3: Find ∫ sin ⁻¹ x dx.

Løsning:

Lad I= ∫ synde⁻¹x dx

⇒ I = ∫ 1.sin⁻¹x dx

Valg af u og v ved hjælp af ILATE-reglen

u = synd⁻¹x
v = 1

Differentiering af u

u'(x) = d(u)/dx

⇒ u'(x) = d(sin⁻¹x )/dx

⇒ u'(x) = 1/√(1 − x²)

Ved at bruge formlen for integration efter del,

⇒ I = ∫ synd⁻¹x dx

⇒ I = uden⁻¹x ∫ 1 dx − ∫ 1/√(1 − x²) ∫(1 dx) dx

⇒ I = x sin⁻¹x − ∫( x/√(1 − x²) )dx

Lad, t = 1 − x²

At differentiere begge sider

dt = −2x dx

⇒ −dt/2 = x dx

⇒ I = ∫ synd⁻¹x dx = x sin⁻¹x − ∫−(1/2√t ) dt

⇒ I = x sin⁻¹x + 1/2∫t^−1/2dt

⇒ I = x sin⁻¹x + t^1/2+ C

⇒ I = x sin⁻¹x + √(1 − x²) + C

Øve problemer om integration af dele

1. Integrer xe ^x

2. Integrer x sin(x)

3. Integrer x ² ln(x)

4. Integrer e ^x cos(x)

5. Integrer ln(x)

Ofte stillede spørgsmål om integration efter dele

Hvad er integration af dele?

Integration af dele er teknikken til at finde integrationen af ​​produktet af de to funktioner, hvor de normale integrationsteknikker fejler. Integration med delformlen er,

∫u.v dx = u ∫ v d(x) – ∫ [u’ {∫v dx} dx] dx + c

Hvad er formel for integration ved dele?

For to funktioner f(x) og g(x) er formlen for integration ved del,

∫ f(x).g(x) dx = f(x) ∫ g(x) d(x) – ∫ [f'(x) {∫g(x) dx} dx] dx + c

hvor f'(x) er differentiering af f(x).

Hvordan udleder man integration ved deleformel?

Integration efter delformel udledes ved hjælp af produktreglen om differentiering.

Hvorfor bruger vi integration af dele formel?

Integration efter delformel bruges til at finde integrationen af ​​funktionen, når de normale differentieringsteknikker fejler. Vi kan finde integrationen af ​​inverse trigonometriske funktioner og logaritmiske funktioner ved hjælp af Integration af delformel

Hvad er anvendelsen af ​​integration af dele?

Integration af del har forskellige applikationer, og den grundlæggende anvendelse af den er, at den bruges til at finde integrationen af ​​funktionen, når funktionen er givet som et produkt af funktionerne, der ikke kan forenkles yderligere. For eksempel opnås ∫ f(x).g(x) dx ved hjælp af Integration af dele.