Integrationsformler er de grundlæggende formler, der bruges til at løse forskellige integralproblemer. De bruges til at finde integrationen af ​​algebraiske udtryk, trigonometriske forhold, inverse trigonometriske funktioner og logaritmiske og eksponentielle funktioner. Disse integrationsformler er meget nyttige til at finde integrationen af ​​forskellige funktioner.

Integration er den omvendte differentieringsproces, dvs. hvis d/dx (y) = z, så er ∫zdx = y. Integration af enhver kurve giver arealet under kurven. Vi finder integrationen ved to metoder Indefinite Integration og Definite Integration. I ubestemt integration er der ingen grænse for integrationen, mens der i bestemt integration er en grænse, under hvilken funktionen integreres.

Lad os lære om disse integrale formler, og deres klassifikation, i detaljer i denne artikel.

Indholdsfortegnelse

• Integralregning
• Hvad er integrationsformler?
• Integrationsformler for trigonometriske funktioner
• Integrationsformler for inverse trigonometriske funktioner
• Avancerede integrationsformler
• Forskellige integrationsformler
• Anvendelse af integraler
• Klar integrationsformel
• Ubestemt integrationsformel

Integralregning

Integralregning er en gren af ​​calculus, der beskæftiger sig med teori og anvendelser af integraler. Processen med at finde integraler kaldes integration. Integralregning hjælper med at finde anti-derivaterne af en funktion. Anti-derivaterne kaldes også integralerne af en funktion. Det er betegnet med ∫f(x)dx. Integralregning omhandler den samlede værdi, såsom længder, arealer og volumener. Integralet kan bruges til at finde tilnærmede løsninger til bestemte ligninger af givne data. Integralregning involverer to typer integration:

• Ubestemt Integraler
• Bestemte integraler

Hvad er integrationsformler?

Integrationsformlerne er bredt præsenteret som følgende sæt af formler. Formlerne omfatter grundlæggende integrationsformler, integration af trigonometriske forhold, inverse trigonometriske funktioner, produktet af funktioner og nogle avancerede sæt integrationsformler. Integration er en måde at forene delene for at finde en helhed. Det er den omvendte operation af differentiering. Således er den grundlæggende integrationsformel

∫ f'(x) dx = f(x) + C

Integrationsformler

Ved at bruge dette udledes følgende integrationsformler.

De forskellige integralregningsformler er

1. d/dx {φ(x)} = f(x) ∫f(x) dx = φ(x) + C
2. ∫ xⁿdx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n ≠ -1
3. ∫(1/x) dx = log_{det er}|x| + C
4. ∫e^xdx = e^x+ C
5. ∫a^xdx = (a^x/ log_{det er}a) + C

Flere integrale formler er diskuteret nedenfor i artiklen,

Bemærk:

• d/dx [∫f(x) dx] = f(x)
• ∫k. f(x) dx = k ∫f(x) dx , hvor k er konstant
• ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx

Grundlæggende integrationsformler

Nogle af de grundlæggende integrationsformler, der bruges til at løse integrationsproblemer, diskuteres nedenfor. De er afledt af det grundlæggende integrationssætning. Listen over grundlæggende integralformler er givet nedenfor:

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫ xⁿdx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| + C
• ∫ og^xdx = e^x+ C
• ∫ a^xdx = a^x/log a+ C
• ∫ og^x[f(x) + f'(x)] dx = e^xf(x) + C {hvor, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Klassificering af integralformler

Integralformler er klassificeret i forskellige kategorier baseret på følgende funktion.

• Rationelle funktioner
• Irrationelle funktioner
• Hyperbolske funktioner
• Inverse hyperbolske funktioner
• Trigonometriske funktioner
• Inverse trigonometriske funktioner
• Eksponentielle funktioner
• Logaritmiske funktioner

Integrationsformler for trigonometriske funktioner

Integrationsformler for trigonometriske funktioner bruges til at løse integralligningerne, der involverer trigonometriske funktioner. En liste over integralformler, der involverer trigonometriske og inverse trigonometriske funktioner, er givet nedenfor,

• ∫ cos x dx = sin x + C
• ∫ sin x dx = -cos x + C
• ∫ sek²x dx = tan x + C
• ∫ cosec²x dx = -seng x + C
• ∫ sek x tan x dx = sek x + C
• ∫ cosec x cot x dx = -cosec x + C
• ∫ tan x dx = log |sek. x| +C
• ∫ barneseng x dx = log |sin x| + C
• ∫ sek x dx = log |sek x + tan x| + C
• ∫ cosec x dx = log |cosec x – barneseng x| + C

Integrationsformler for inverse trigonometriske funktioner

Forskellige integrationsformler for inverse trigonometriske funktioner, som bruges til at løse integralspørgsmål, er givet nedenfor,

• ∫1/√(1 – x²) dx = synd^-1x + C
• ∫ -1/√(1 – x²) dx = cos^-1x + C
• ∫1/(1 + x²) dx = tan^-1x + C
• ∫ -1/(1 + x²) dx = barneseng^-1x + C
• ∫ 1/x√(x²– 1) dx = sek^-1x + C
• ∫ -1/x√(x²– 1) dx = cosec^-1x + C

Avancerede integrationsformler

Nogle andre avancerede integrationsformler, som er af stor betydning for løsning af integraler, diskuteres nedenfor,

• ∫1/(x²– en²) dx = 1/2a log|(x – a)(x + a| + C
• ∫ 1/(a²- x²) dx =1/2a log|(a + x)(a – x)| + C
• ∫1/(x²+ a²) dx = 1/a tan^-1x/a + C
• ∫1/√(x²– en²)dx = log |x +√(x²– en²)| + C
• ∫ √(x²– en²) dx = x/2 √(x²– en²) -a²/2 log |x + √(x²– en²)| + C
• ∫1/√(a²- x²) dx = synd^-1x/a + C
• ∫√(a²- x²) dx = x/2 √(a²- x²) dx + a²/2 uden^-1x/a + C
• ∫1/√(x²+ a²) dx = log |x + √(x²+ a²)| + C
• ∫ √(x²+ a²) dx = x/2 √(x²+ a²)+ a²/2 log |x + √(x²+ a²)| + C

Forskellige integrationsformler

Forskellige typer af integrationsmetoder bruges til at løse forskellige typer af integrale spørgsmål. Hver metode er et standardresultat og kan betragtes som en formel. Nogle af de vigtige metoder diskuteres nedenfor i denne artikel. Lad os tjekke de tre vigtige integrationsmetoder.

• Integration af Parts Formula
• Integration ved substitutionsformel
• Integration af partielle brøkformel

Integration af Parts Formula

Integration efter dele Formel anvendes, når den givne funktion let kan beskrives som et produkt af to funktioner. Formlen for integration af dele brugt i matematik er givet nedenfor,

∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

Eksempel: Beregn ∫ xe ^x dx

Løsning:

∫ bil^xdx har formen ∫ f(x) g(x) dx

lad f(x) = x og g(x) = e^x

vi ved, at ∫ f(x) g(x) dx = f(x) ∫g(x) dx – ∫ (∫f'(x) g(x) dx) dx + C

∫ bil^xdx = x ∫e^xdx – ∫( 1 ∫e^xdx) dx+ c

= bil^x- Det er^x+ c

Integration ved substitutionsformel

Integration ved substitutionsformel anvendes, når en funktion er en funktion af en anden funktion. dvs. lad I = ∫ f(x) dx, hvor x = g(t) således at dx/dt = g'(t), så dx = g'(t)dt

Nu, I = ∫ f(x) dx = ∫ f(g(t)) g'(t) dt

Eksempel: Evaluer ∫ (4x +3) ³ dx

Løsning:

Lad u = (4x+3) ⇒ du = 4 dx

∫ (4x +3)³dx

analog kommunikation

= 1/4 ∫(u)³af

= 1/4. i⁴/5

= u⁴/tyve

= 4x+3)⁴/tyve

Integration af partielle brøkformel

Integration ved partielle brøker Formlen bruges, når integralet af P(x)/Q(x) er påkrævet, og P(x)/Q(x) er en uægte brøk, således at graden af ​​P(x) er mindre end (<) grad af Q(x), så skrives brøken P(x)/Q(x) som

P(x)/Q(x) = R(x) + P ₁ (x)/ Q(x)

hvor

• R(x) er et polynomium i x
• P ₁ (x)/ Q(x) er en ordentlig rationel funktion

Nu integrationen af ​​R(x) + P₁(x)/Q(x) beregnes let ved hjælp af formlerne diskuteret ovenfor.

Anvendelse af integraler

Integralformler er meget nyttige formler i matematik, der bruges til en række opgaver. Forskellige anvendelser af integraler omfatter:

• Finde længden af ​​kurven
• At finde området under kurven
• Finde omtrentlige værdier af funktionen
• Bestemmelse af stien for et objekt og andre
• For at finde området under kurven
• At finde overfladeareal og volumen af ​​uregelmæssige former
• At finde massecentrum eller tyngdepunkt

Disse formler er grundlæggende kategoriseret i to kategorier,

• Bestemte integrationsformler
• Ubestemte integrationsformler

Klar integrationsformel

Bestemte integralformler bruges, når grænsen for integrationen er givet. I bestemt integration er løsningen på spørgsmålet en konstant værdi. Generelt løses den konkrete integration som,

∫ _-en ^b f(x) dx = F(b) – F(a)

Ubestemt integrationsformel

Indefinite Integration Formler bruges til at løse den ubestemte integration, når grænsen for integration ikke er givet. Ved ubestemt integration bruger vi konstanten for integrationen, som generelt betegnes med C

∫f(x) = F(x) + C

Artikler relateret til integrationsformler:

• Ubestemte integraler
• Definer integralegenskaber
• Integration af trigonometriske funktioner

Eksempler på integralformler

Eksempel 1: Evaluer

• ∫ x ⁶ dx
• ∫1/x ⁴ dx
• ∫ ³ √x dx
• ∫3 ^x dx
• ∫4e ^x dx
• ∫(sin x/cos ² x) dx
• ∫(1/synd ² x) dx
• ∫[1/√(4 – x ² )] dx
• ∫[1/3√(x ² – 9)] dx
• ∫(1 /cos x tan x) dx

Løsning:

(i)∫x ⁶ dx

= (x⁶⁺¹)/(6 + 1) + C [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x⁷/7) + C

(ii) ∫1/x ⁴ dx

= ∫x^-4dx [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x^-4+1)/(-4 + 1) + C

= -(x^-3/ 3) + C

= -(1/3x³) + C

(iii) ∫ ³ √x dx

= ∫x^1/3dx [∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= (x^(1/3)+1/((1/3)+ 1) + C

= x^4/3/ (4/3) + C

= (3/4)(x^4/3) + C

(iv) ∫3 ^x dx

= (3^x/ log_{det er}3) + C [ ∫a ^x dx = (a ^x / log _{det er} a) + C]

(v) ∫4e ^x dx

= 4∫e^xdx [∫k. f(x) dx = k f(x) dx , hvor k er konstant]

= 4 og^x+ C [∫e ^x dx = e ^x + C]

(vi) ∫(sin x/cos ² x) dx

= ∫[(sin x/cos x) .(1/cos x)] dx

= ∫tan x . sek x dx [ ∫tan x .sec x dx = sek x + C ]

= sek x + C

(vii) ∫(1/sin ² x) dx

= ∫cosec²x dx [∫cosec ² x dx = -seng x + C ]

= -seng x + C

(viii) ∫[1/√(4 – x ² )] dx

= ∫[1/√(2²- x²)] dx [vi ved det, dx = synd ^-1 (x/a) + C]

= uden^-1(x/2) + C

(ix) ∫[1/{3√(x ² – 9)}] dx

= ∫[1/{3√(x²- 3²)}] dx [vi ved det,intfrac{1}{xsqrt{x^2-a^2}} dx = (1/a)sek^-1(x/a) + C]

= (1/3)sek^-1(x/3) + C

(x) ∫(1 /cos x tan x) dx

= ∫[cos x /(cos x sin x)] dx

= ∫(1/ sin x) dx

= ∫cosec x dx [vi ved, at ∫cosec x dx = log |cosec x – cot x| + C]

= log |cosec x – barneseng x| +C

Eksempel 2: Vurder ∫{e ^{9 log} _{det er} ^x + og ^{8 log} _{det er} ^x }/{Det er ^{6 log} _{det er} ^x + og ^{5 log} _{det er} ^x } dx

Løsning:

Siden, det er ^ryster _{det er} ^x = x ^-en

∫{e ^{9 log} _{det er} ^x + og ^{8 log} _{det er} ^x }/{Det er ^{6 log} _{det er} ^x + og ^{5 log} _{det er} ^x } dx

= ∫{x⁹+ x⁸}/{x⁶+ x⁵} dx

= ∫[x⁸(x + 1)]/[x⁵(x + 1)] dx

=∫ x⁸/x⁵dx

= ∫x³dx [vi ved det, ∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)} + Cn ≠ -1]

= (x⁴/4) + C

Eksempel 3: Evaluer ∫ sin x + cos x dx

Løsning:

∫(sin x + cos x) dx

= ∫sin x dx + ∫cos x dx [vi ved, at ∫{f(x) ± g(x)} dx = ∫f(x) dx ± ∫g(x) dx]

= -cos x + sin x + C [vi ved, at ∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C ]

Eksempel 4: Vurder ∫4 ^x+2 dx

Løsning:

∫4 ^x+2 dx = ∫4^x. 4²dx

= ∫16. 4^xdx [ vi vidste, at ∫k.f(x) dx = k∫f(x) dx , hvor k er konstant]

= 16∫ 4^xdx [∫a ^x dx = (a ^x / log _{det er} a) + C]

= 16 (4^x/log 4) + C

Eksempel 5: Vurder ∫(x ² + 3x + 1) dx

Løsning:

∫(x ² + 3x + 1) dx

= ∫x²dx+ 3∫x dx + 1∫ x⁰dx [Vi ved, at ∫x ⁿ dx = {x ⁿ⁺¹ /(n+1)}+ Cn ≠ -1]

= [x²⁺¹/2+1] + 3[[x¹⁺¹/1+1]] + [x⁰⁺¹/0+1] + C

= [x³/3] + 3[x²/2] + x + C

Eksempel 6: Evaluer ∫[4/(1 + cos 2x)] dx

Løsning:

1 + cos 2x = 2cos ² x

∫[4/(1 + cos 2x)] dx

= ∫[4/(2cos²x)] dx

= ∫(2/cos²x) dx

= ∫2 sek²xdx

= 2∫sek²x dx [Vi ved, at ∫sek ² x dx = tan x + C ]

= 2 tan x + C

Eksempel 7: Evaluer ∫(3cos x – 4sin x + 5 sek ² x) dx

Løsning:

∫(3cos x – 4sin x + 5 sek ² x) dx

= ∫3cos x dx – ∫4sin x dx + ∫5sek²x dx [∫k.f(x) dx = k ∫f(x) dx, hvor k er konstant]

= 3∫cos x dx – 4∫sin x dx + 5∫sek.²x dx

= 3sin x – 4(-cos x) + 5 tan x + C

= 3sin x + 4cos x + 5 tan x + C

Øve problemer på integrationsformler

P1. int x^2 , dx

P2. int e^x , dx

P3. int frac{1}{x} , dx

P4. int sin(x) , dx

P5. int (2x^3 + 3x^2 + x + 1) , dx

Ofte stillede spørgsmål om integrationsformler

Hvad er alle integrationsformler?

Integrationsformler er de formler, der bruges til at løse forskellige integrationsproblemer,

• ∫ 1 dx = x + C
• ∫ xⁿdx = x^{(n + 1)}/(n + 1)+ C
• ∫ 1/x dx = log |x| + C
• ∫ og^xdx = e^x+ C
• ∫ a^xdx = a^x/log a+ C
• ∫ og^x[f(x) + f'(x)] dx = e^xf(x) + C {hvor, f'(x) = d/dx[f(x)]}

Hvad er integrationsformlerne for uv?

Integrationsformlen for uv er,

∫uvdx = u∫vdx – ∫[d/dx(u) × ∫vdx] dx

Hvad betyder integration i matematik?

Hvis den afledede af funktionen g(x) er f(x), så er integrationen af ​​f(x) g(x) dvs. ∫f(x)dx = g(x). Integration er repræsenteret ved symbolet ∫

Hvordan integrerer vi ved hjælp af integrationsformler?

Integration kan opnås ved hjælp af formlerne,

• Definer en lille del af et objekt i bestemte dimensioner, som ved at tilføje uendeligt mange gange gør det komplette objekt.
• Ved at bruge integrationsformler over den lille del langs de forskellige dimensioner får vi det komplette objekt.

Hvad er integralformlen for del?

Integralformel for del bruges til at løse integralet, hvor uægte brøk er givet.

Hvad er brugen af ​​integrationsformler?

Integrationsformler bruges til at løse forskellige integralproblemer. Forskellige problemer, som vi støder på i vores daglige liv, kan let løses ved hjælp af integration, såsom at finde massemidtpunkt for ethvert objekt, finde banen for missiler, raketter, fly og andre.