Afledte formler i kalkulation er et af de vigtige værktøjer til beregning, da afledte formler bruges i vid udstrækning til at finde afledte af forskellige funktioner med lethed og også hjælpe os med at udforske forskellige felter inden for matematik, teknik osv.

Denne artikel udforsker alle afledte formler tæt inkluderende den generelle afledte formel, afledte formler for logaritmiske og eksponentielle funktioner, afledte formler for trigonometriske forhold, afledte formler for inverse trigonometriske forhold og afledte formler for hyperbolske funktioner. Afledt formel er vigtig for klasse 12-elever til deres bestyrelseseksamener. Vi vil også løse nogle eksempler på derivater ved hjælp af de forskellige derivatformler. Lad os nøje gennemgå emnet afledt formel.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er derivat?
• Hvad er afledte formler?
• Grundlæggende afledte formler – afledte regler i beregning
• Liste over afledte formler
• Nogle andre afledte formler
• Hvordan finder man derivaterne?
• Anvendelser af afledte formler

Hvad er derivat?

Det derivater repræsentere funktionshastigheden i forhold til enhver variabel. Den afledte funktion f(x) betegnes som f'(x) eller (d/dx) [f(x)]. Processen med at finde derivater kaldes differentiering.

Den mest fundamentale derivatformel er definitionen af ​​et derivat, som er defineret som:

f'(x) = lim _h→0 [(f(x + h) – f(x))/h]

Der er forskellige afledte formler, herunder generelle afledte formler, afledte formler for trigonometriske funktioner og afledte formler for inverse trigonometriske funktioner osv.

Læs i detaljer: Regning i matematik

Hvad er afledte formler?

Afledte formler er de matematiske udtryk, som hjælper os med at beregne den afledede af en bestemt funktion med hensyn til dens uafhængige variabel. Med enkle ord kaldes formlerne, der hjælper med at finde derivater, som afledte formler. Der er flere afledte formler for forskellige funktioner.

Eksempler på afledte formler

Nogle eksempler på formler for derivater er angivet som følger:

• Magtregel: Hvis f(x) = xⁿ, hvor n er en konstant, så er den afledede givet ved:

f'(x) = nx ^n-1

• Konstant regel: Hvis f(x) = c, hvor c er en konstant, så er den afledede nul:

f'(x) = 0

• Eksponentielle funktioner: Hvis f(x) = e^x, derefter:

f'(x) = e ^x

Lad os diskutere alle formlerne relateret til derivater på en struktureret måde.

Grundlæggende afledte formler – afledte regler i beregning

Nogle af de mest grundlæggende formler til at finde afledte er:

• Konstant Regel
• Magtregel
• Sumdifferenceregel
• Produktregel
• Kvotientregel
• Kæderegel

Lad os diskutere disse regler i detaljer:

Konstant regel for derivater

Konstantreglen for derivater er givet ved:

(d/dx) konstant = 0

Magtregel for derivater

Potensreglen for derivater er givet af:

(d/dx) x ⁿ = nx ^n-1

Sumdifferenceregel for derivater

Sum- og differensreglen for derivater er givet ved:

(d/dx) [f(x) ± g(x)] = (d/dx) f(x) ± (d/dx) g(x)

Produktregel for derivater

Produktreglen for derivater er givet af:

(d/dx) [f(x). g(x)] = f'(x). g(x) + f(x). g'(x)

Quotientregel for derivater

Kvotenreglen for derivater er givet ved:

(d/dx) [f(x)/g(x)] = [f'(x). g(x) – f(x). g'(x)]/[g(x)] ²

Kæderegel for derivater

Kædereglen for afledte er givet af:

(d/dx) [f(g(x))] = (d/dx) [f(g(x))] × (d/dx) [g(x)]

Liste over afledte formler

De afledte formler for de forskellige funktioner er anført nedenfor:

Eksponentielle og logaritmiske afledte formler

De afledte formler for de eksponentielle og logaritmiske funktioner er anført nedenfor:

• (d/dx) e^x= og^x
• (d/dx) a^x= a^xln a
• (d/dx) ln x = (1/x)
• (d/dx) log_-enx= (1/x lna)

Læs mere,

• Logaritmer
• Afledt af eksponentielle funktioner

Trigonometriske afledte formler

De afledte formler for de trigonometriske funktioner er anført nedenfor:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) barneseng x = -cosec²x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) cosec x = – cosec x cot x

Lær mere om Afledt af trigonometriske funktioner .

Afledt formel for inverse trigonometriske funktioner

De afledte formler for de inverse trigonometriske funktioner er anført nedenfor:

• (d/dx) uden^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) cos^-1x = 1/[√(1 – x²)]
• (d/dx) så^-1x = 1/(1 + x²)
• (d/dx) barneseng^-1x = -1/(1 + x²)
• (d/dx) sek^-1x = 1/[|x|√(x²- 1)]
• (d/dx) cosec^-1x = -1/[|x|√(x²- 1)]

Læs mere, Afledt af inverse trig-funktioner .

Afledt af hyperbolske funktioner

De afledte formler for de trigonometriske funktioner er anført nedenfor:

• (d/dx) sinh x = cosh x
• (d/dx) cosh x = sinh x
• (d/dx) tanh x = hver²x
• (d/dx) coth x = -cosech²x
• (d/dx) selv x = -selv x tanh x
• (d/dx) cosech x = -cosech x coth x

Nogle andre afledte formler

Der er nogle andre funktioner som implicitte funktioner, parametriske funktioner og højere ordens afledte, hvis afledte formler er anført nedenfor:

Implicit afledt formel

Metoden til at finde den afledede af en implicit funktion kaldes implicit differentiering. Lad os tage et eksempel for at forstå metoden til implicit at finde derivater.

Eksempel: Find den afledede af xy = 2

Løsning:

(d/dx) [xy] = (d/dx) 2

⇒ x(dy/dx) + y(dx/dx) = 0

⇒ x(dy/dx) + y(1) = 0

⇒ x(dy/dx) + y = 0

⇒ x(dy/dx) = -y

⇒ (dy/dx) = -y/x

Fra givet ligning y = 2/x

(dy/dx) = -(2/x)/x

⇒ (dy/dx) = -(2/x²)

Lær mere om Implicit differentiering .

Parametrisk afledt formel

Hvis funktionen y(x) er udtrykt i termerne af tredje variabel t og x, og y kan repræsenteres i x = f(t) og y = g(t), så kaldes denne type funktion som en parametrisk funktion.

Hvis y er en funktion af x og x = f(t) og y = g(t) er to differentiable funktioner af parameter t, så er afledt af parametrisk funktion givet ved:

(dy/dx) = (dy/dt)/(dx/dt), sådan at (dx/dt) ≠ 0

Læs mere om Parametrisk differentiering .

Afledt formel af højere orden

At finde den afledede af en funktion i mere end én gang giver den højere ordens afledede af en funktion.

n ^th Afledt = d ⁿ y/(dx) ⁿ

Læs mere om Afledt af højere orden .

Hvordan finder man derivaterne?

For at finde afledte af en funktion følger vi nedenstående trin:

• Tjek først typen af ​​funktionen, om den er algebraisk, trigonometrisk osv.
• Efter at have fundet typen, skal du anvende de tilsvarende afledte formler på funktionen.
• Den resulterende værdi giver den afledede af funktionen ved hjælp af afledte formlen.

Anvendelser af afledte formler

Der er mange anvendelser af afledte formler. Nogle af disse applikationer er anført nedenfor:

• Derivater bruges til at finde ændringshastigheden i enhver mængde.
• Det kan bruges til at finde maksima og minima.
• Det bruges i stigende og faldende funktioner.

Folk ser også:

• Differentieringsformler
• Differentierings- og integrationsformel
• Logaritmisk differentiering

Løste eksempler på derivatformel

Eksempel 1: Find den afledede af x ⁵ .

Løsning:

Lad y = x⁵

⇒ y' = (d/dx) [x⁵]

⇒ y' = 5(x^5-1)

⇒ y' = 5x⁴

Eksempel 2: Find den afledede af log ₂ x.

Løsning:

Lad y = log₂x

⇒ y' = (d/dx) [log₂x]

⇒ y' = 1/ [x ln2]

Eksempel 3: Find den afledede af funktionen f(x) = 8 . 6 ^x

Løsning:

f(x) = 8. 6^x

⇒ f'(x) = (d/dx) [8 . 6^x]

⇒ f'(x) = 8 . (d/dx) [6^x]

⇒ f'(x) = 8[6x ln 6]

Eksempel 4: Find den afledede af funktionen f(x) = 3sinx + 2x

Løsning:

f(x) = 3 sinx + 2x

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx + 2x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[3 sinx] + (d/dx)[2x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx)[sinx] + 2(d/dx)(x)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2(1)

⇒ f'(x) = 3 cosx + 2

Eksempel 5: Find den afledede af funktionen f(x) = 5cos ^-1 x + e ^x

Løsning:

f(x) = 5cos^-1x + e^x

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x + e^x]

⇒ f'(x) = (d/dx)[5cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5(d/dx)[cos^-1x] + (d/dx)[e^x]

⇒ f'(x) = 5[-1/√(1 – x²)] + og^x

⇒ f'(x) = [-5/√(1 – x²)] + og^x

Øv problemer på derivatformel

Opgave 1: Evaluer: (d/dx) [x⁴].

Opgave 2: Find den afledede af y = 5cos x.

Opgave 3: Find den afledede af y = cosec x + cot x.

Opgave 4: Find den afledede af f(x) = 4^x+ log₃x + så^-1x.

Opgave 5: Evaluer: (d/dx) [40].

Opgave 6: Find den afledede af f(x) = x⁵+ 5x³+ 1 .

Ofte stillede spørgsmål om derivatformel

Hvad er derivat?

Værdien, der repræsenterer hastigheden af ​​funktionsændring i forhold til enhver variabel, kaldes den afledede.

Hvordan er derivaterne repræsenteret?

De afledte er repræsenteret som (d/dx), eller hvis f(x) er en funktion, er afledte af f(x) repræsenteret som f'(x).

Hvordan beregnes den afledte af en konstant?

Den afledede af en konstant er altid nul. I matematisk notation, hvis 'C' er en konstant, så er dC/dx = 0.

Skriv den generelle afledte formel af xⁿ.

Den generelle formel for afledet af xⁿ= nx^n-1.

Hvordan beregner man afledte funktioner?

For at beregne afledte af en funktion kan vi anvende afledte formel i henhold til en given funktion.

Hvad er formlen for afledning af logaritmisk funktion?

Den afledte af den naturlige logaritmefunktion, ln(x), er 1/x. I matematisk notation, hvis y = ln(x), så er dy/dx = 1/x.

Hvilken formel bruges til at finde afledte af eksponentielle funktioner?

Den afledte af en eksponentiel funktion, y = a^x(hvor 'a' er en konstant), findes ved hjælp af formlen dy/dx = a^x× ln(a).

Hvad er højere-ordens derivater?

Afledte af højere orden er afledte af en funktion taget mere end én gang. Den anden afledte er den afledte af den første, den tredje er den afledte af den anden, og så videre.

Hvad er afledt formel for f.eks^x?

Den afledte af funktionen f(x) = e^x(hvor 'e' er Eulers tal, ca. 2,71828) er simpelthen f'(x) = e^x.

Skriv afledt formel for u/v.

Den afledte af kvotienten af ​​to funktioner u(x) og v(x) er givet af kvotientreglen:

d(u/v)/dx = (v × du/dx – u × dv/dx)/(v ² )

Hvad er afledt formel for 1/x?

Den afledede af funktionen f(x) = 1/x er givet ved:

f'(x) = -1/x ²

funktioner af arduino