Differentiering af trigonometriske funktioner er afledet af trigonometriske funktioner såsom sin, cos, tan, cot, sec og cosec. Differentiering er en vigtig del af beregningen. Det er defineret som ændringshastigheden af ​​en mængde i forhold til en anden mængde. The differentiation of the trigonometric functions is used in real life in various fields like computers, electronics, and mathematics.

I denne artikel vil vi lære om differentieringen af ​​trigonometriske funktioner sammen med formlerne, deres relaterede beviser og deres anvendelser. Vi vil også løse nogle eksempler og få svar på nogle ofte stillede spørgsmål om differentiering af trigonometriske funktioner. Lad os starte vores læring om emnet Differentiering af trigonometriske funktioner.

The differentiation of a function is the rate of change of a function with respect to any variable. Det afledte af f(x) betegnes som f'(x) eller (d/dx)[f(x)].

Proceduren for at differentiere trigonometriske funktioner kaldes differentiering af trigonometriske funktioner. Med andre ord kaldes det trigonometrisk funktionsdifferentiering at finde hastigheden for ændring af trigonometriske funktioner i forhold til vinklerne.

De seks grundlæggende trigonometriske funktioner er sin, cos, tan, cosec, sec og cot. Vi vil finde de afledte af alle de trigonometriske funktioner med deres formler og bevis.

Differentieringsregel for trigonometriske funktioner

Differentieringen af ​​seks grundlæggende trigonometriske funktioner er som følger:

Du kan kontrollere beviset for den afledede af disse seks trigonometriske funktioner i nedenstående links:

Som diskuteret ovenfor, formlerne for alle trigonometriske funktioner, vil vi nu bevise ovenstående formler for differentieringen af ​​de trigonometriske funktioner ved hjælp af det første princip for afledet, kvotientregel og kæderegel ved hjælp af grænser.

Differentiering af synd(x)

For at bevise den afledte af sin x vil vi bruge det første princip for differentieringen og nogle grundlæggende trigonometriske identiteter og grænser. Formlen for trigonometriske identiteter og grænser, der bruges i beviset, er angivet nedenfor:

1. sin (X + Y) = sin X cos Y + sin Y cos X
2. lim[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Ved det første princip om differentiering

2 til 1 multiplekser

(d/dx) sin x = lim_h→0[{sin(x + h) – sin x} / {(x + h) – x}]

_h→0[{sin x cos h + sin h cos x – sin x} / h]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) sin x} + {(sin h / h) cos x}]

⇒ (d/dx) sin x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} sin x] + lim_h→0[(sin h/h) cos x]

⇒ (d/dx) sin x = 0.sin x + 1.cos x [Ved at bruge 2 og 3]

⇒ (d/dx) sin x = cos x

Differentiering af cos(x)

For at bevise den afledede af cos x vil vi bruge det første princip for differentieringen og nogle grundlæggende trigonometriske identiteter og grænser. The trigonometric identities and limits formula which are used in the proof are given below:

1. cos (X + Y) = cos X cos Y – sin X sin Y
2. lim_x→0[sinx / x] = 1
3. lim_{x→ 0}[(cos x – 1)/x] = 0

Lad os starte beviset for differentieringen af ​​den trigonometriske funktion cos x

(d/dx) cos x = lim_h→0

_h→0[{cos x cos h – sin h sin x – cos x} / h]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{((cos h – 1) / h) cos x} – {(sin h / h) sin x}]

⇒ (d/dx) cos x = lim_h→0[{(cos h – 1) / h} cos x] – lim_h→0[(uden t/h) uden x]

⇒ (d/dx) cos x = 0.cos x – 1.sin x [Ved at bruge 2 og 3]

⇒ (d/dx) cos x = -sin x

Derfor er differentiering af cos x -sin x.

Differentiering af tan(x)

For at bevise den afledede af tan x vil vi bruge kvotientreglen og nogle grundlæggende trigonometriske identiteter og grænser. Formlen for trigonometriske identiteter og grænser, der bruges i beviset, er angivet nedenfor:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. cos²x + synd²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Lad os starte beviset for differentieringen af ​​den trigonometriske funktion tan x

Siden af ​​(1)

tan x = sinx / cos x

⇒ (d/dx) tan x = (d/dx)[sinx / cos x]

Ved at bruge kvotientreglen

(d/dx) tan x = [{(d/dx)sinx} cosx – {(d/dx) cos x} sinx] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = [cos x cos x – (-sin x) sin x] / cos²x [ved 4 og 5]

⇒ (d/dx) tan x = [cos²x + synd²x] / cos²x

⇒ (d/dx) tan x = 1 / cos²x [af 3]

⇒ (d/dx) tan x = sek ² x [Af 2]

Derfor er differentiering af tan x sek ² x.

Differentiering af cosec(x)

For at bevise den afledede af cosec x vil vi bruge kædereglen og nogle grundlæggende trigonometriske identitets- og grænseformler. Formlen for trigonometriske identiteter og grænser, der bruges i beviset, er angivet nedenfor:

1. barneseng x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. (d/dx) sin x = cos x

Lad os starte beviset for differentieringen af ​​den trigonometriske funktion cosec x

(d/dx) cosec x = (d/dx) [1 / sin x] [By 2]

Bruger kæderegel

(d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] (d/dx) sin x

⇒ (d/dx) cosec x = [-1 / sin²x] cos x

⇒ (d/dx) cosec x = -[1 / sinx] [cos x / sin x]

⇒ (d/dx) cosec x = – cosec x cot x [Ved 1 og 2]

Derfor er differentieringen af ​​cosec x - cosec x cot x.

Differentiering af sek(x)

For at bevise den afledede af sek x vil vi bruge kvotientreglen og nogle grundlæggende trigonometriske identiteter og grænser formel . Formlen for trigonometriske identiteter og grænser, der bruges i beviset, er angivet nedenfor:

1. tan x = sin x / cos x
2. sek x = 1 / cos x
3. (d/dx) cos x = -sin x

Lad os starte beviset for differentieringen af ​​den trigonometriske funktion sec x

(d/dx) sek x = (d/dx) [1 / cos x] [By 2]

Bruger kæderegel

(d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (d/dx) cos x

⇒ (d/dx) sek x = [-1 / cos²x] (-uden x)

⇒ (d/dx) sek x = [1 / cos x] [sin x / cos x]

⇒ (d/dx) sek x = sek x tan x

Derfor er differentieringen af ​​sek x sek x tan x.

Differentiering af barneseng(x)

1. barneseng x = cos x / sin x
2. cosec x = 1 / sin x
3. cos²x + synd²x = 1
4. (d/dx) sin x = cos x
5. (d/dx) cos x = -sin x

Lad os starte beviset for differentieringen af ​​den trigonometriske funktion cot x

barneseng x = cos x / sin x

(d/dx) barneseng x = (d/dx)[cosx / sin x]

Ved at bruge kvotientreglen

(d/dx) barneseng x = [{(d/dx)cosx} sin x – {(d/dx) sin x} cos x] / sin²x

⇒ (d/dx) barneseng x = [(-sinx) sin x – (cosx) cos x] / sin²

⇒ (d/dx) barneseng x = [ -sin²x - cos²x] / synd²x

⇒ (d/dx) barneseng x = -[ sin²x + cos²x] / synd²x

⇒ (d/dx) barneseng x = -1 / sin²

⇒ (d/dx) barneseng x = -cosec ² x [Af 2]

Derfor er differentiering af barneseng x -cosec ² x.

Nogle andre trigfunktionsderivater

of differentiation. I de følgende overskrifter vil vi yderligere studere differentieringen af ​​kædereglen og sammensatte trigfunktioner i detaljer.

• Differentiering ved hjælp af kæderegel
• Differentiering af sammensat trig-funktion

Lad os diskutere disse emner i detaljer.

Kæderegel og trigonometrisk funktion

Kædereglen siger, at hvis p(q(x)) er en funktion, så er den afledede af denne funktion givet af produktet af den afledte af p(q(x)) og den afledede af q(x). The chain rule is used to differentiate . Kædereglen bruges mest til let at differentiere de sammensatte trig-funktioner.

Eksempel: Find den afledede af f(x) = tan 4x

Løsning:

f(x) = tan 4x

⇒ f'(x) = (d/dx) [tan 4x]

Ved at anvende kæderegel

f'(x) = (d/dx) [tan 4x](d/dx)[4x]

⇒ f'(x) = (sek²4x)(4)

Differentiering af sammensat trig-funktion

For at evaluere differentieringen af ​​de sammensatte trig-funktioner anvender vi differentieringskæderegel. De sammensatte trigonometriske funktioner er de funktioner, hvor vinklen af ​​den trigonometriske funktion i sig selv er en funktion. Differentieringen af ​​sammensatte trigonometriske funktioner kan let evalueres ved at anvende kædereglen og differentieringsformlerne for trigonometriske funktioner.

Eksempel: Find den afledede af f(x) = cos(x ² +4)

Løsning:

²+4)

⇒ f'(x) = (d/dx) cos(x²+4)

Ved at anvende kæderegel

f'(x) = (d/dx) [cos(x²²+4]

⇒ f'(x) = -(2x)sin(x²+4)

Det er de trigonometriske funktioners omvendte funktioner. There are six inverse trigonometric functions: sin^-1, fordi^-1, så^-1, cosec^-1, sek^-1-1. The inverse trigonometric functions are also called as arc functions.

Differentiering af inverse trigonometriske funktioner

Afledte af seks inverse trigonometriske funktioner er som følger:

Eksempel: Find den afledede af f(x) = 3sin ^-1 x + 4cos ^-1 x

Løsning:

f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x + 4cos^-1x]

⇒ f'(x) = (d/dx) [3sin^-1x ]+ (d/dx) [4cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3(d/dx) [sin^-1x]+ 4(d/dx) [cos^-1x]

⇒ f'(x) = 3[1 / √(1 – x²)] + 4[-1 / √(1 – x²)]

²)] – 4[1 / √(1 – x²)]

⇒ f'(x) = [1 / √(1 – x²

⇒ f'(x) = -[1 / √(1 – x²)]

Anvendelser om differentiering af trigonometriske funktioner

• Hældningen af ​​tangenten og normallinjen til den trigonometriske kurve kan bestemmes ved hjælp af differentieringen af ​​de trigonometriske funktioner.
• Det kan også bruges til at bestemme maksima og minima for funktionen.
• Det bruges også inden for computere og elektronik.

Tjek også

• Differentieringsformler

Opgave 1: Find den afledede af f(x) = tan 2x.

Løsning:

f(x) = tan 2x

⇒ f'(x) = (d/dx) tan 2x

Ved at anvende kæderegel

⇒ f'(x) = (sek²2x)(2)

²2x

Opgave 2: Find den afledede af y = cos x / (4x ² )

Løsning:

y = cos x / (4x²)

y' = [(d/dx)cosx(4x²²)] / (4x²)²

⇒ y' = [(-sinx)(4x²) – cosx (8x)] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x²sinx – 8xcosx] / (16x⁴)

⇒ y' = [-4x(xsinx + 2cosx)] / (16x⁴)

⇒ y' = – (x sinx + 2cosx) / (4x³)

Opgave 3: Vurder den afledede f(x) = cosec x + x tan x

Løsning:

Ved at anvende formel og produktregel

f'(x) = (d/dx) cosec x + (d /dx) [x tan x]

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + (d /dx) x (tan x) + x (d /dx) (tan x)

⇒ f'(x) = -cosec x cot x + tan x + xsec²x

Opgave 4: Find den afledede af funktionen f(x) = 6x ⁴ fordi x

Løsning:

f(x) = 6x⁴fordi x

f'(x) = (d/dx) [6x⁴fordi x]

⇒ f'(x) = 6[(d/dx) (x⁴)(cos x) + (x⁴

⇒ f'(x) = 6[ 4x³cos x + x⁴(-uden x)]

⇒ f'(x) = 6[ 4x³for x – x⁴uden x]

⇒ f'(x) = 6x³[ 4cos x – x sin x]

Opgave 5: Vurder den afledede: f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Løsning:

f(x) = (x + cos x) (1 – sin x)

Ved at anvende produktreglen

⇒ f'(x) = [(d /dx) (x + cos x)] (1 – sin x) + (x + cos x) [(d /dx) (1 – sin x)]

⇒ f'(x) = [(1 – sin x) (1 – sin x)] + [(x + cos x) (0 – cos x)]

⇒ f'(x) = (1 – sin x)²– (x + cos x) cos x

mikrotjenester tutorial

⇒ f'(x) = 1 + sin²x – 2 sinx – x cosx – cos²x

Øv problemer om differentiering af trigonometriske funktioner

Opgave 1: Find den afledede af y = sin(x) + cos(x).

Opgave 2:

Opgave 3:

Opgave 4:

Opgave 5: Find den afledede af y = sin(x) cos(x).

Opgave 6: Beregn den afledede af y = cos²(x).

Bestem den afledede af y = tan²(x).

Opgave 8:

Hvad er differentiering?

Differentiering er en matematisk operation, der beregner den hastighed, hvormed en funktion ændres i forhold til dens uafhængige variabel.

Trigonometriske funktioner er matematiske funktioner, der relaterer vinklerne i en retvinklet trekant til forholdet mellem dens sider.

Hvad er almindelige trigonometriske funktioner?

Almindelige trigonometriske funktioner omfatter sinus (sin), cosinus (cos), tangent (tan), cosecant (cosec), secant (sek) og cotangens (cot).

Definer differentieringen af ​​trigonometriske funktioner.

Metoden til at differentiere de trigonometriske funktioner kaldes differentiering af trigonometriske funktioner.

Hvordan differentierer du sinusfunktionen, dvs. sin (x)?

Hvad får vi efter differentiering af cosinusfunktionen, dvs. cos (x)?

Den afledte af cos (x) er -sin (x). I matematisk notation er d/dx(cos(x)) = -sin(x).

Afledten af ​​tan(x) er sek²(x), hvor sek(x) er sekantfunktionen. I matematisk notation er d/dx(tan(x)) = sek²(x).

Hvad er formlerne til differentiering af trigonometriske funktioner?

Formlen for differentiering af trigonometriske funktioner er:

• (d/dx) sin x = cos x
• (d/dx) cos x = -sin x
• (d/dx) tan x = sek²x
• (d/dx) cosec x = -cosec x cot x
• (d/dx) sek x = sek x tan x
• (d/dx) barneseng x = -cosec²x

Giv et eksempel på differentiering af en trigonometrisk funktion.

Lad os overveje en funktion f(x) = 2sin(3x).

Ved at bruge kædereglen,

f'(x) = d/dx(2sin(3x))

⇒ f'(x) = 2 cos(3x) × 3

⇒ f'(x) = 6cos(3x)

Hvilke metoder bruges til at udlede differentieringen af ​​trigonometriske funktioner?

De forskellige måder, hvorpå differentieringen af ​​trigonometriske funktioners formel kan udledes, er:

• Ved at bruge det første princip for derivaterne
• Ved at bruge Kvotientregel
• Ved at bruge kædereglen

Hvad er antidifferentiering af trigonometriske funktioner?

Antidifferentieringen af ​​de trigonometriske funktioner betyder at finde integrationen af ​​de trigonometriske funktioner.