logo

TechCodeview

Trigonometriske identiteter

Trigonometriske identiteter er forskellige identiteter, der bruges til at forenkle forskellige komplekse ligninger, der involverer trigonometriske funktioner. Trigonometri er en gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med forholdet mellem siderne og vinklerne i en trekant., Disse forhold er defineret i form af seks forhold, som kaldes trigonometriske forhold – sin, cos, tan, cot, sec og cosec.

I en udvidet måde er undersøgelsen også af de vinkler, der danner elementerne i en trekant. Logisk set en diskussion af en trekants egenskaber; løsning af en trekant og fysiske problemer inden for højder og afstande ved hjælp af en trekants egenskaber – alt sammen en del af undersøgelsen. Det giver også en metode til løsning af trigonometriske ligninger.



Indholdsfortegnelse

Hvad er trigonometriske identiteter?

En ligning, der involverer trigonometriske forhold mellem en vinkel, kaldes trigonometrisk identitet, hvis den er sand for alle værdier af vinklen. Disse er nyttige, når trigonometriske funktioner er involveret i et udtryk eller en ligning. De seks grundlæggende trigonometriske forhold er sinus, cosinus, tangens, cosekant, sekant og cotangens . Alle disse trigonometriske forhold er defineret ved hjælp af siderne af den retvinklede trekant, såsom en tilstødende side, modsat side og hypotenusside.

Trigonometriske identiteter



Liste over trigonometriske identiteter

Der er mange identiteter i studiet af trigonometri, som involverer alle trigonometriske forhold. Disse identiteter bruges til at løse forskellige problemer i hele det akademiske landskab såvel som i det virkelige liv. Lad os lære alle de grundlæggende og avancerede trigonometriske identiteter.

Gensidige trigonometriske identiteter

I alle trigonometriske forhold er der en gensidig sammenhæng mellem et par forhold, som er givet som følger:

  • sin θ = 1/cosec θ
  • cosec θ = 1/sin θ
  • cos θ = 1/sek θ
  • sek θ = 1/cos θ
  • tan θ = 1/seng θ
  • barneseng θ = 1/tan θ

Pythagoras trigonometriske identiteter

Pythagoras trigonometriske identiteter er baseret på ret-trekant-sætningen eller Pythagoras sætning , og er som følger:



  • uden2θ + cos2θ = 1
  • 1 + så2θ = sek2jeg
  • cosec2θ = 1 + barneseng2jeg

Læs mere om Pythagoras trigonometriske identiteter .

Trigonometriske forholdsidentiteter

Som tan og cot defineres som forholdet mellem sin og cos, som er givet af følgende identiteter:

  • tan θ = sin θ/cos θ
  • cot θ = cos θ/sin θ

Trigonometriske identiteter af modsatte vinkler

I trigonometri måles vinkel målt i urets retning i negativ paritet, og alle trigonometriske forhold defineret for negativ paritet af vinkel er defineret som følger:

  • sin (-θ) = -sin θ
  • cos (-θ) = cos θ
  • tan (-θ) = -tan θ
  • barneseng (-θ) = -seng θ
  • sek (-θ) = sek θ
  • cosec (-θ) = -cosec θ

Komplementære Vinkler Identiteter

Komplementære vinkler er parret af vinkler, hvis mål summerer til 90°. Nu er de trigonometriske identiteter for komplementære vinkler som følger:

  • sin (90° – θ) = cos θ
  • cos (90° – θ) = sin θ
  • tan (90° – θ) = barneseng θ
  • tremmeseng (90° – θ) = tan θ
  • sek (90° – θ) = cosec θ
  • cosec (90° – θ) = sek θ

Supplerende vinkler identiteter

Supplerende vinkler er parret af vinkler, hvis mål summerer til 180°. Nu er de trigonometriske identiteter for supplerende vinkler:

  • sin (180°- θ) = sinθ
  • cos (180°- θ) = -cos θ
  • cosec (180°- θ) = cosec θ
  • sek (180°- θ) = -sek θ
  • tan (180°- θ) = -tan θ
  • barneseng (180°- θ) = -seng θ

Periodicitet af trigonometrisk funktion

Trigonometriske funktioner såsom sin, cos, tan, cot, sec og cosec er alle periodiske i naturen og har forskellig periodicitet. Følgende identiteter for det trigonometriske forhold forklarer deres periodicitet.

  • sin (n × 360° + θ) = sin θ
  • sin (2nπ + θ) = sin θ
  • cos (n × 360° + θ) = cos θ
  • cos (2nπ + θ) = cos θ
  • tan (n × 180° + θ) = tan θ
  • tan (nπ + θ) = tan θ
  • cosec (n × 360° + θ) = cosec θ
  • cosec (2nπ + θ) = cosec θ
  • sek (n × 360° + θ) = sek θ
  • sek (2nπ + θ) = sek θ
  • barneseng (n × 180° + θ) = barneseng θ
  • barneseng (nπ + θ) = barneseng θ

Hvor, n ∈ MED, (Z = sæt af alle heltal)

Bemærk: sin, cos, cosec og sec har en periode på 360° eller 2π radianer, og for tan og cot er perioden 180° eller π radianer.

Sum- og forskelsidentiteter

Trigonometriske identiteter for sum og forskel af vinklen inkluderer formlerne som sin(A+B), cos(A-B), tan(A+B) osv.

  • sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B
  • sin (A-B) = sin A cos B – cos A sin B
  • cos (A+B) = cos A cos B – sin A sin B
  • cos (A-B) = cos A cos B + sin A sin B
  • tan (A+B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)
  • tan (A-B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Bemærk: Identiteter for sin (A+B), sin (A-B), cos (A+B) og cos (A-B) kaldes Ptolemæus' identiteter .

Dobbeltvinkelidentiteter

Ved at bruge de trigonometriske identiteter af vinklernes summen kan vi finde en ny identitet, som kaldes Dobbeltvinkelidentiteten. For at finde disse identiteter kan vi sætte A = B i summen af ​​vinkelidentiteter. For eksempel,

a vi ved, sin (A+B) = sin A cos B + cos A sin B

Erstat A = B = θ på begge sider her, og vi får:

sin (θ + θ) = sinθ cosθ + cosθ sinθ

  • sin 2θ = 2 sinθ cosθ

Tilsvarende

  • cos 2θ = cos 2 θ – synd 2 θ = 2 cos 2 θ – 1 = 1 – sin 2 jeg
  • tan 2θ = (2tanθ)/(1 – tan 2 jeg)

Læs mere om Dobbeltvinkelidentiteter .

Halvvinkelformler

Ved hjælp af dobbeltvinkelformler kan halvvinkelformler beregnes. For at beregne halvvinkelformler erstattes θ med θ/2,

  • sin frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos heta}{2}}
  • cos frac{ heta}{2} = pm sqrt{frac{1+cos heta}{2}}
  • an frac{ heta}{2} = pmsqrt{frac{1-cos heta}{1+cos heta}} =frac{sin heta}{1+cos heta}=frac{1-cos heta}{sin heta}

Læs mere om Halvvinkelidentiteter .

Nogle flere halvvinkelidentiteter

Bortset fra de ovennævnte identiteter er der nogle flere halvvinkel-identiteter, som er som følger:

  • sin heta=frac{2 an heta / 2}{1+ an ^2 heta / 2}
  • cos heta=frac{1+ an ^2 heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}
  • an heta = frac{2 an heta / 2}{1- an ^2 heta / 2}

Produkt-sum identiteter

Følgende identiteter angiver forholdet mellem summen af ​​to trigonometriske forhold med produktet af to trigonometriske forhold.

  • sin A+sin B=2 sin frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • cos A+cos B=2 cos frac{A+B}{2} cos frac{A-B}{2}
  • sin A-sin B=2 cos frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}
  • cos A-cos B=-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}

Produktidentiteter

Produktidentiteter dannes, når vi tilføjer to af summen og forskellen af ​​vinkelidentiteter og er som følger:

  • sin A cos B=frac{sin (A+B)+sin (A-B)}{2}
  • cos A cos B=frac{cos (A+B)+cos (A-B)}{2}
  • sin A sin B=frac{cos (A-B)-cos (A+B)}{2}

Triple vinkel formler

Ud over dobbelt- og halvvinkelformler er der identiteter for trigonometriske forhold, som er defineret for tredobbelt vinkel. Disse identiteter er som følger:

  • sin 3 heta=3 sin heta-4 sin ^3 heta
  • cos 3 heta= 4 cos^3 heta-3 cos heta
  • cos 3 heta=frac{3 an heta- an ^3 heta}{1-3 an ^2 heta}

Læs mere om Triple Angle Identiteter .

Bevis for de trigonometriske identiteter

For enhver spids vinkel θ, bevis det

  1. tanθ = sinθ/cosθ
  2. cotθ = cosθ/sinθ
  3. tanθ. cotθ = 1
  4. uden 2 θ + cos 2 θ = 1
  5. 1 + så 2 θ = sek 2 jeg
  6. 1 + barneseng 2 θ = cosec 2 jeg

Bevis:

Betragt en retvinklet △ABC, hvor ∠B = 90°

Lad AB = x enheder, BC = y enheder og AC = r enheder.

Retvinklet trekant med Acute Angle Theta

Derefter,

(1) tanθ = P/B = y/x = (y/r) / (x/r)

∴ tanθ = sinθ/cosθ

(2) cotθ = B/P = x/y = (x/r) / (y/r)

∴ cotθ = cosθ/sinθ

(3) tanθ. cotθ = (sinθ/cosθ) . (cosθ/sinθ)

tanθ. cotθ = 1

Så har vi ved Pythagoras' sætning

x2+ og2= r2.

Nu,

(4) uden2θ + cos2θ = (y/r)2+ (x/r)2= (og2/r2+ x2/r2)

= (x2+ og2)/r2= r2/r2= 1 [x2+ og2= r2]

uden 2 θ + cos 2 θ = 1

(5) 1 + så2θ = 1 + (y/x)2= 1 + y2/x2= (og2+ x2)/x2= r2/x2[x2+ og2= r2]

(r/x)2= sek2jeg

∴ 1 + solbrun 2 θ = sek 2 jeg.

(6) 1 + barneseng2θ = 1 + (x/y)2= 1 + x2/og2= (x2+ og2)/og2= r2/og2[x2+ og2= r2]

(r2/og2) = cosec2jeg

∴ 1 + barneseng 2 θ = cosec 2 jeg

Forholdet mellem vinkler og sider af trekanten

Tre regler, der relaterer siderne af trekanter til trekanters indre vinkler, er:

  • Hans Regel
  • Cosinus-reglen
  • Tangent regel

Hvis en trekant ABC med siderne a, b og c, som er modsatte sider af henholdsvis ∠A, ∠B og ∠C, så

Hans Regel

Hans regler angiver forholdet mellem sider og vinkler i trekanten, som er forholdet mellem side og sinus af vinklen modsat siden forbliver altid den samme for alle trekantens vinkler og sider og er givet som følger:

old{frac{sin angle A}{a}= frac{sin angle B}{b} = frac{sin angle C}{c} = k}

Cosinus-reglen

Cosinus-reglen involverer alle siderne, og en indvendig vinkel i trekanten er givet som følger:

old{cos angle A = frac{b^2+c^2 – a^2}{2bc}}

ELLER

old{cos angle B = frac{a^2+c^2 – b^2}{2ac}}

ELLER

old{cos angle C = frac{a^2+b^2 – c^2}{2ab}}

Tangent regel

  • Tangentregel angiver også forholdet mellem siderne og den indre vinkel i en trekant ved at bruge det tan-trigonometriske forhold, som er som følger:
  • old{frac{a-b}{a+b}=frac{ an left(frac{A-B}{2} ight)}{ an left(frac{A+B}{2} ight)}}
  • old{frac{b-c}{b+c}=frac{ an left(frac{B-C}{2} ight)}{ an left(frac{B+C}{2} ight)}}
  • old{frac{c-a}{c+a}=frac{ an left(frac{C-A}{2} ight)}{ an left(frac{C+A}{2} ight)}}

Læs også

  • Trigonometri Højde og afstand
  • Trigonometrisk bord

Løst eksempel på trigonometriske identiteter

Eksempel 1: Bevis at (1 – synd 2 θ) sek 2 θ = 1

Løsning:

Vi har:

LHS = (1 – synd2θ) sek2jeg

= cos2θ . sek2jeg

= cos2θ . (1/cos2jeg)

=1

= RHS.

∴ LHS = RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 2: Bevis at (1 + tan 2 θ) cos 2 θ = 1

Løsning:

Vi har:

LHS = (1 + tan2θ) cos2jeg

⇒ LHS = sek2θ . cos2jeg

⇒ LHS = (1/cos2θ). cos2jeg

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 3: Bevis at (cosec 2 θ – 1) tan²θ = 1

Løsning:

Vi har:

LHS = (cosec²θ – 1) tan2jeg

⇒ LHS = (1 + barneseng2θ – 1) så2jeg

⇒ LHS = barneseng2θ. så2jeg

⇒ LHS = (1/tan2θ). så2jeg

10 1 mio

⇒ LHS = 1 = RHS.

∴ LHS=RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 4: Bevis, at (sek 4 θ – sek 2 θ) = (tan 2 θ + tan 4 jeg)

Løsning:

Vi har:

LHS = (sek4θ – sek2jeg)

⇒ LHS = sek2θ(sek2i – 1)

⇒ LHS = (1 + tan2θ) (1 + tan2i – 1)

⇒ LHS = (1 + tan2θ) så2jeg

⇒ LHS = (tan2θ + tan4θ) = RHS

∴ LHS = RHS. [Derfor bevist]

Eksempel 5: Bevis at √(sek 2 θ + cosec 2 θ) = (tanθ + cotθ)

Løsning:

Vi har:

LHS = √(sek2θ + cosec2θ ) = √((1 + tan2i) + (1 + barneseng2jeg))

⇒ LHS = √(tan2θ + barneseng2i + 2)

⇒ LHS = √(tan2θ + barneseng2θ + 2tanθ.cotθ ) (tanθ . cotθ = 1)

⇒ LHS = √(tanθ + cotθ)2

⇒ LHS = tanθ + cotθ = RHS

∴ LHS = RHS [Derfor bevist]

Praksisspørgsmål om trigonometriske identiteter

Q1: Forenkle udtrykketfrac{sin^2(x)}{cos^2(x)} + frac{cos^2(x)}{sin^2(x)}.

Q2: Bevis identiteten tan (x) . barneseng(x) = 1.

Q3: Vis detfrac{sin(x)}{cos(x)} = frac{1}{cot(x)}.

Q4: Forenklesin^2(x) + cos^2(x) cdot an^2(x).

Q5: Bevis identitetencos(2x) = cos^2(x) – sin^2(x).

Q6: Forenklefrac{cos(x)}{sin(x)} cdot frac{sin(x)}{cos(x)}.

Q7: Bevis identitetensec(x) – cos(x) = an(x) cdot sin(x).

Ofte stillede spørgsmål om trigonometriske identiteter

Hvad er trigonometrisk identitet?

Trigonometrisk identitet er en ligning, der relaterer forskellige trigonometriske funktioner såsom sin, cos, tan, cot, sec og cosec.

Hvordan beviser man trigonometriske identiteter?

Der er forskellige metoder til at bevise trigonometriske identiteter, en af ​​sådanne metoder er at bruge de 6 vigtigste trigonometriske kendte identiteter til at omskrive et udtryk i en anden form. Som ethvert andet bevis arbejder vi med den ene side for at komme til et udtryk, der er identisk med den anden side af ligningen.

Hvor mange trigonometriske identiteter er der?

Der er en masse trigonometriske identiteter, som enhver identitet kan være med en vis variation er stadig identitet også. Derfor kan vi ikke sige præcist, hvor mange identiteter der er.

Hvordan husker man alle de trigonometriske identiteter?

Den nemmeste metode til at huske alle identiteter er at øve problemer relateret til identiteten. Hver gang du løser et problem ved at bruge en eller anden identitet, reviderer du denne identitet, og til sidst vil den blive en anden natur for dig.

Skriv de tre vigtigste trigonometriske funktioner.

Tre hovedfunktioner, der bruges i trigonometri, er sinus, cosinus og tangens.
sin θ = Vinkelret/ Hypotenus
cos θ = Base/Hypotenuse
tan θ = Vinkelret/Base

Hvad er Pythagoras-sætningen?

Pythagoras sætning angiver i en retvinklet trekant med sider som Hypotenuse(H), Perpendicular(P) og Base(B) forholdet mellem dem er givet ved,

(H) 2 = (P) 2 + (B) 2

Skriv anvendelsen af ​​trigonometriske identiteter.

Trigonometriske identiteter bruges til at løse forskellige problemer, der involverer komplekse trigonometriske funktioner. De bruges til at beregne bølgeligninger, ligning af harmonisk oscillator, løsning af geometriske spørgsmål og andre problemer.

Skriv otte grundlæggende trigonometriske identiteter.

Otte grundlæggende identiteter i trigonometri er:

  • sin θ = 1/cosec θ
  • cos θ = 1/sek θ
  • tan θ = 1/seng θ
  • uden2θ + cos2θ = 1
  • tanθ = sinθ/cos θ
  • 1+ så2θ = sek2jeg
  • cot θ = cosθ/sinθ
  • 1+ barneseng2θ = cosec2jeg