Afledt af inverse trigonometriske funktioner refererer til ændringshastigheden i inverse trigonometriske funktioner. Vi ved, at den afledede af en funktion er ændringshastigheden i en funktion i forhold til den uafhængige variabel. Før man lærer dette, bør man kende formlerne for differentiering af trigonometriske funktioner. For at finde den afledede af den inverse trigonometriske funktion, vil vi først sidestille den trigonometriske funktion med en anden variabel for at finde dens inverse og derefter differentiere den ved hjælp af den implicitte differentieringsformel.

I denne artikel lærer vi D erivativ af inverse trig-funktioner, formler for differentiering af inverse trig-funktioner, og løs nogle eksempler baseret på det. Men før vi går videre, lad os opfriske begrebet jeg nverse trigonometriske funktioner og implicit differentiering.

• Inverse trigonometriske funktioner
• Hvad er implicit differentiering?
• Hvad er afledt af inverse trigonometriske funktioner?
• Bevis for afledning af inverse trig-funktioner
• Omvendt trig afledt formel
• Eksempler på omvendt trig afledte

Inverse trigonometriske funktioner

Inverse trigonometriske funktioner er de omvendte funktioner af de trigonometriske forhold, altså sin, cos, tan, cot, sec og cosec. Disse funktioner er meget udbredt inden for områder som fysik, matematik, teknik og andre forskningsområder. Ligesom addition og subtraktion er invers af hinanden, gælder det samme for inverse af trigonometriske funktioner.

uden θ = x

⇒ i = s i ⁻¹ x ,

Repræsentation af inverse trigonometriske funktioner

De er repræsenteret ved at tilføje bue i præfiks eller ved at tilføje -1 til magten.

Invers sinus kan skrives på to måder:

• uden^-1x
• arcsin x

Det samme gælder cos and tan.

Bemærk: Forveksle ikke synd^-1x med (sin x)^-1. De er forskellige. At skrive synd^-1x er en måde at skrive omvendt sinus på, mens (sin x)^-1betyder 1/sin x.

Domæne af inverse trigonometriske funktioner

Vi ved, at en funktion kun er differentierbar, hvis den er kontinuert på det tidspunkt, og hvis en funktion er kontinuert på et givet punkt, er det punkt funktionens domæne. Derfor bør vi lære domænet af de inverse trigonometriske funktioner for samme.

Lad os nu kort lære teknikken til implicit differentiering.

Hvad er implicit differentiering?

Implicit differentiering er en metode, der gør brug af kædereglen til at differentiere implicit definerede funktioner. En implicit funktion er den funktion, der indeholder to variable i stedet for en variabel. I sådanne tilfælde kan vi nogle gange konvertere funktionen til én variabel eksplicit, men dette er ikke altid tilfældet. Da det generelt ikke er let at finde funktionen eksplicit og derefter differentiere. I stedet kan vi helt differentiere f(x, y), dvs. begge variabler og derefter løse resten af ​​ligningen for at finde værdien af ​​f'(x).

Læs i detaljer: Regning i matematik

Hvad er afledt af inverse trigonometriske funktioner?

Inverse trigonometriske funktioner er afledte af inverse trigonometriske funktioner. Der er seks trigonometriske funktioner og der eksisterer invers for hver af disse trigonometriske funktioner. Disse er synd^-1x, fordi^-1x, altså^-1x, cosec^-1x, sek^-1x, barneseng^-1x. Vi kan finde den afledte af inverse trigonometriske funktioner ved hjælp af den implicitte differentieringsmetode. Lad os først lære, hvad der er afledte af inverse trigonometriske funktioner.

• Afledt af synd^-1x er d(sin^-1x)/dx = 1/√(1 – x²) for alle x ϵ (-1, 1)
• Afledt af cos^-1x er d(cos^-1x)/dx = -1/√(1 – x²) for alle x ϵ (-1, 1)
• Afledt af tan^-1x er d(tan^-1x)/dx = 1/(1 + x²) for alle x ϵ R
• Afledt af cosec^-1x er d(cosec^-1x)/dx = -1/ for alle x ϵ R – [-1, 1]
• Afledt af sek^-1x er d(sek^-1x)/dx = 1/x for alle x ϵ R – [-1, 1]
• Afledt af barneseng^-1x er d(cot^-1x)/dx = -1/(1 + x²) for alle x ϵ R

Billedet for den omvendte trigonometriske afledte er vedhæftet nedenfor:

Nu har vi lært, hvad der er afledte af alle de seks inverse trigonometriske funktioner, vi vil nu lære, hvordan man finder den afledede af de seks inverse trigonometriske funktioner.

Bevis for afledning af inverse trig-funktioner

Vi kan differentiere de inverse trigonometriske funktioner ved at bruge det første princip og også ved at bruge implicit differentieringsformel, som også involverer brugen af ​​kædereglen. At finde den afledede af inverse trigonometriske funktioner ved hjælp af det første princip er en langvarig proces. I denne artikel lærer vi, hvordan man differentierer inverse trigonometriske funktioner ved hjælp af implicit differentiering. Vi kan finde den afledede (dy/dx) af inverse trig-funktioner ved at bruge følgende trin

Trin 1: Antag de trigonometriske funktioner på formen sin y = x

Trin 2: Find den afledede af ovenstående funktion ved hjælp af implicit differentiering

Trin 3: Beregn dy/dx

Trin 4: Erstat værdien af ​​trigonometrisk funktion til stede i trin 3 ved at bruge trigonometriske identiteter.

Afledt af sin invers x

Lad os antage sin y = x

Differentiering af begge sider med hensyn til x

⇒ fordi og. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/cos y →(i)

Siden vi ved, at Synd²og + Cos²y = 1

⇒ Cos²y = 1 – synd²og

t ff

⇒ hyggeligt = √(1 – synd²y) = √(1 – x²) da vi har sin y = x

Sætter denne værdi af cos y i ligning (i)

dy/dx = 1/√(1 – x²) hvor y = synd^-1x

Afledt af cos invers X

Lad os antage cos y = x

Differentiering på begge sider med hensyn til x

⇒ -uden og. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/sin y →(i)

Siden vi ved, at Synd²og + Cos²y = 1

⇒ uden²y = 1 – cos²og

⇒ sin y = √(1 – cos²y) = √(1 – x²), da vi har cos y = x

Sætter denne værdi af sin y i ligning (i)

dy/dx = -1/√(1 – x²) hvor y = cos^-1x

Afledt af tan invers X

Lad os antage tan y = x

Differentiering af begge sider med hensyn til x

⇒ sek²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek²og →(i)

Da vi ved, at sek²også²y = 1

⇒ sek²y = 1 + tan²og

⇒ sek²y = (1 + tan²y) = (1 + x²) da vi har tan y = x

Sætter denne værdi på sek²y i ligning (i)

dy/dx = 1/(1 + x²) hvor y = tan^-1x

Afledt af barneseng omvendt X

Lad os antage barneseng y = x

Differentiering af begge sider med hensyn til x

⇒ -cosec²y. dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec²og →(i)

Da vi ved, at csec²og – barneseng²y = 1

⇒ cosec²y = 1 + barneseng²og

⇒ cosec²y = (1 + barneseng²y) = (1 + x²) da vi har barneseng y = x

Sætter denne værdi af cosec²y i ligning (i)

dy/dx = -1/(1 + x²) hvor y = barneseng^-1x

Afledt af sek. omvendt X

Lad os antage sek y = x

Differentiering af begge sider med hensyn til x

⇒ sek y.tan y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = 1/sek y.tan y →(i)

Da vi ved, at sek²også²y = 1

⇒ altså²y = sek²og – 1

⇒ tan y = √(sek²y – 1) = √(x²– 1) som vi har sek y = x

Sætter denne værdi af tan y i ligning (i)

dy/dx = 1/x hvor sek y = x og y = sek^-1x

Afledt af cosec invers X

Lad os antage cosec y = x

Differentiering af begge sider med hensyn til x

⇒ -cosec y.cot y.dy/dx = 1

⇒ dy/dx = -1/cosec y.cot y →(i)

Da vi ved, at cosec²og – barneseng²y = 1

⇒ barneseng²y = cosec²og – 1

⇒ barneseng y = √(cosec²y – 1) = √(x²– 1) da vi har cosec y = x

Sætter denne værdi af tan y i ligning (i)

dy/dx = -1/x hvor cosec y = x og y = cosec^-1x

Omvendt trig afledt formel

Nu har vi lært at differentiere de inverse trigonometriske funktioner, derfor vil vi nu se på formlerne for den afledte af de inverse trigonometriske funktioner, som kan bruges direkte i opgaverne. Nedenstående er tabellen over afledte af invers trigonometrisk funktionsformel.

Læs mere,

• Afledt i parametrisk form
• Afledte formler
• Anvendelse af derivat
• Afledt af eksponentiel funktion

Eksempler på omvendt trig afledte

Eksempel 1: Differentier synd ^-1 (x)?

Løsning:

Lade, og = uden ⁻¹( x )

At tage sinus på begge sider af ligningen giver,

sin y = synd(synd^-1x)

Ved egenskaben ved invers trigonometri kender vi synd (synd^-1x) = x

sin y = x

Nu differentieres begge sider mht. x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

{cos y}.dy/dx = 1

dy/dx = 1/ {cos y}

Vi kan forenkle det mere ved at bruge nedenstående observation:

uden²og + cos²y = 1

x²+ cos²y = 1 {Som sin y = x}

cos²y = 1-x²

cos y = √(1 – x²)

java operatør forrang

Ved at erstatte værdien får vi

dy/dx = 1/{cos y}

⇒ dy/dx = 1/√(1 – x²)

Eksempel 2: Differentiere cos ^-1 (x)?

Løsning:

Lade,

og = cos⁻¹( x )

At tage cosinus på begge sider af ligningen giver,

cos y = cos(cos^-1x)

Ved egenskaben af ​​invers trigonometri kender vi, cos(cos^-1x) = x

cos (y) = x

Nu differentieres begge sider mht. x,

d/dx{cos y} = d/dx{x}

{-sin y}.dy/dx = 1

dy/dx = -1/sin y

Vi kan forenkle det mere ved at bruge nedenstående observation:

uden²og + cos²y = 1

uden²y + x²= 1 {Som cos y = x}

uden²y = 1-x²

sin y = √(1 – x²)

pd flette

Ved at erstatte værdien får vi

dy/dx = -1/{sin y}

⇒ dy/dx = -1/√(1 – x²)

Eksempel 3: Differentier solbrun ^-1 (x)?

Løsning:

Lade, og = så⁻¹( x )

At tage solbrun farve på begge sider af ligningen giver,

tan y = tan(tan^-1x)

Ved egenskaben ved invers trigonometri kender vi tan(tan^-1x) = x

tan y = x

Nu differentieres begge sider mht. x,

d/dx{sin y} = d/dx{x}

sek²(x).dy/dx= 1

dy/dx = 1/sek²x

Vi kan forenkle det mere ved at bruge nedenstående observation:

sek²også²y = 1

sek²y-x²= 1

sek²y = 1 + x²

Ved at erstatte værdien får vi

dy/dx = 1/sek²og

dy/dx = 1/(1 + x²)

Eksempel 4: y = cos ^-1 (-2x ² ). Find dy/dx ved x = 1/2?

Løsning:

Metode 1 (brug af implicit differentiering)

givet, og = cos ⁻¹(-2 x ²)

⇒ cos og = −2 x ²

Differentiering af begge sider mht. x

d/dx{cos y} = d/dx{-2x²}

{-sin y}.dy/dx = -4x

dy/dx = 4x/sin y

Forenkling

uden²og + cos²y = 1

uden²og + (-2x²)²= 1 {Som cos y = -2x²}

uden²y + 4x⁴= 1

uden²y = 1 – 4x⁴

sin y = √(1 – 4x⁴)

Sætter vi den opnåede værdi, vi får,

dy/dx = 4x/√{1 – 4x⁴}

⇒ dy/dx = 4(1/2)/√{1 – 4(1/2)⁴}

⇒ dy/dx = 2/√{1 – 1/4}

⇒ dy/dx = 2/√{3/4}

⇒ dy/dx = 4/√3

Metode 2 (ved at bruge kædereglen, som vi kender differentieringen af ​​cos invers x)

givet, og = cos ⁻¹(-2 x ²)

Differentiering af begge sider mht. x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &=frac{d}{dx} cos^{-1}(-2x^2) &=frac{-1}{sqrt{1-(-2x^2)^2}} . (-4x) &=frac{4x}{sqrt{1-4x^4}} &=frac{4(frac{1}{2})}{sqrt{1-4(frac{1}{2})^4}} &=frac{2}{sqrt{1-frac{1}{4}}} &=frac{4}{sqrt{3}} end{aligned}

Eksempel 5: Differentier egin{aligned}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Løsninger:

Lade,

egin{aligned} y = sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) end{aligned}

Differentiering af begge sider mht. x

egin{aligned} frac{dy}{dx} &= frac{d}{dx}sin^{-1}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1}{sqrt{1-(frac{1-x}{1+x})^2}} . frac{d}{dx}(frac{1-x}{1+x}) &= frac{1+x}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-(1+x)-(1-x)}{(1+x)^2} &= frac{1}{sqrt{(1+x)^2-({1-x})^2}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{1}{sqrt{4x}} . frac{-2}{(1+x)} &= frac{-1}{sqrt{x}(1+x)} end{aligned}

Inverse trig afledte spørgsmål

Prøv følgende spørgsmål om Inverse Trig Derivative Questions

Q1: Differentier synd ^-1 (3x – 4x ³ ) for x ϵ -1/2