Quotient Rule er en metode til at finde den afledede af en funktion, der er kvotienten af ​​to andre funktioner. Det er en metode, der bruges til at differentiere problemer, hvor en funktion er delt med en anden. Vi bruger kvotientreglen, når vi skal finde den afledede af en funktion af formen: f(x)/g(x).

Lad os lære om Quotient-reglen i Calculus, dens formel og afledning ved hjælp af løste eksempler.

Definition af kvotientregel

Kvotientreglen er reglen om differentiering af de funktioner, der gives i form af brøker , hvor begge tæller og nævner er individuelle funktioner. Quotient-reglen er en grundlæggende teknik i regning for at finde den afledede af en funktion, der er kvotienten (forholdet) af to differentierbare funktioner . Det giver en metode til at differentiere udtryk, hvor en funktion er divideret med en anden.

Antag, at vi får en funktion f(x) = g(x)/h(x) og derefter differentiering af f(x), f'(x) findes som,

f'(x) = [g(x) × h'(x) – h(x) × g'(x)] / [h(x)] ²

Kvotientregelformel

Formlen for kvotientreglen er den formel, der bruges til at finde differentieringen af ​​funktionen, som udtrykkes som kvotientfunktionen. Nedenfor er formlen for kvotientreglen er,

d/dx [u(x)/v(x)] = [v(x) × u'(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Hvor,

• u(x) er den første funktion, som er en differentierbar funktion,
• u'(x) er den afledede af funktionen u(x),
• v(x) er den anden funktion, som er en differentierbar funktion, og
• v'(x) er den afledede af funktionen v(x).

Quotient Regel Bevis

Vi kan udlede kvotientreglen ved hjælp af følgende metoder:

• Brug af kæderegel
• Brug af implicit differentiering
• Brug af afledte og grænseegenskaber

Lad os nu lære om dem i detaljer.

Afledning af kvotientregel ved hjælp af kæderegel

At bevise: H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Givet: H(x) = f(x)/g(x)

Bevis:

H(x) = f(x)/g(x)

⇒ H(x) = f(x).g(x)^-1

Ved hjælp af produktregel,

H'(x) = f(x). d/dx [g(x)^-1] + g(x)^-1. f'(x)

Anvendelse af magtreglen,

H'(x) = f(x). (-1)[g(x)^-2.g'(x)] + g(x)^-1. f'(x)

⇒ H'(x) = – [f(x).g'(x)] / g(x)²+ f'(x) / g(x)

H'(x) = [-f(x).g'(x)] + f'(x).g(x)]/g ² (x)

Dermed er kvotientreglen bevist.

Læs mere:

• Kæderegel

Afledning af kvotientregel ved hjælp af implicit differentiering

Lad os tage en differentierbar funktion f(x), sådan at f(x) = u(x)/v(x).

u(x) = f(x).v(x)

ved at bruge produktreglen,

u'(x) = f'(x)⋅v(x) + f(x)v'(x)

Løser nu for f'(x)

f'(x) = [u'(x) – f(x)v'(x)] / v(x)

Erstatning af værdien af ​​f(x) som, f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = {u'(x) – u(x)/v(x).[v'(x)]}/v(x)

f'(x) = {u'(x)v(x) – u(x).v'(x)} / v ² (x)

Dermed er kvotientreglen bevist.

Læs mere

• Implicit differentiering

Afledning af kvotientregel ved hjælp af afledte og grænseegenskaber

Lad os tage en differentierbar funktion f(x), sådan at f(x) = u(x)/v(x),

Vi ved det,

f'(x) = lim_h→0[f(x+h) – f(x)] / h

Erstatning af værdien af ​​f(x) = u(x)/v(x)

f'(x) = lim_h→0[u(x+h)/v(x+h) – u(x)/v(x)] / h

f'(x) = lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)] / h.v(x).v(x+h)

Fordeling af grænsen,

f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h)]/h}.{lim_h→01/v(x).v(x+h)}

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x+h) + u(x)v(x) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/v(x).v(x)}

hvad er uri

⇒ f'(x) = {lim_h→0[u(x+h).v(x) – u(x).v(x)] / h} {lim_h→0[u(x)v(x+h) – u(x)v(x)] / h}.{ 1/in²(x)}

⇒ f'(x) = v(x){lim_h→0[u(x+h) – u(x)] / h} -u(x) {lim_h→0[-v(x+h) + v(x)]/h}.{ 1/in²(x)}

f'(x) = [v(x).u'(x) – u(x).v'(x)] / v ² (x)

Hvilket er den nødvendige kvotientregel.

Læs mere

• Egenskaber for grænser
• Regler for derivater

Hvordan bruger man kvotientregel i differentiering?

For at anvende kvotientreglen følger vi følgende trin,

Trin 1: Skriv de enkelte funktioner som u(x) og v(x).

Trin 2: Find den afledede af den enkelte funktion u(x) og v(x), dvs find u'(x) og v'(x). Anvend nu kvotientregelformlen,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Trin 3: Forenkle ovenstående ligning, og den giver differentieringen af ​​f(x).

Vi kan forstå dette koncept ved hjælp af et eksempel.

Eksempel: Find f'(x) hvis f(x) = 2x ³ /(x+2)

givet,

f(x) = 2x³/(x + 2)

Sammenligner vi med f(x) = u(x)/v(x), får vi

• u(x) = 2x³
• v(x) = (x + 2)

Nu differentierer u(x) og v(x)

• u'(x) = 6x²
• v'(x) = 1

Ved at bruge Quotient-reglen,

f'(x) = [v(x)u'(x) – u(x)v'(x)]/[v(x)]²

⇒ f'(x) = [(x+2)•6x²– 2x³•1]/(x + 2)²

⇒ f'(x) = (6x³+ 12x²– 2x³)/(x + 1)²

⇒ f'(x) = (4x³+ 12x²​)/(x + 1)²

Produkt- og kvotientregel

Produktdifferentieringsreglen bruges til at finde differentieringen af ​​en funktion, når funktionen er givet som produkt af to funktioner.

Produktdifferentieringsregel angiver, at hvis P(x) = f(x).g(x)

P'(x) = f(x).g'(x) + f'(x).g(x)

Hvorimod kvotientregel om differentiering bruges til at differentiere en funktion, der er repræsenteret som, division af to funktioner, dvs. f(x) = p(x)/q(x).

Derefter udledningen af ​​f(x) ved hjælp af kvotientreglen beregnes som,

f'(x) = {q(x).p'(x) – p(x).q'(x)}/q ² (x)

Skal læses

• Produktregel i Calculus
• Kæderegel
• Differentierings- og integrationsformel
• Logaritmisk differentiering
• Grundlæggende om beregning
• Anvendelse af derivater

Eksempler på kvotientregel

Lad os løse nogle eksempelspørgsmål om kvotientreglen.

Eksempel 1: Differentier old{y=frac{x^3-x+2}{x^2+5}} .

Løsning:

Både tæller- og nævnerfunktioner kan differentieres.

Anvendelse af kvotientregel,

y’=frac {d}{dx}[frac{x^3-5+2}{x^2+5}]

⇒y’= frac{[d/dx(x^3-x+2)(x^2+5)-(x^3-x+2)d/dx(x^2+5)]}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{[(3x^2-1)(x^2+5)-(x^3-x+2)(2x)]}{[x^2+5]^2}=frac{(3x^4+15x^2-x^2-5)-(2x^4-2x^2+4x)}{[x^2+5]^2}

⇒y’= frac{x^4+16x^2-4x-5}{[x^2+5]^2}

Eksempel 2: Differentiere, f(x) = tan x.

Løsning:

til loop i java

tan x skrives som sinx/cosx, dvs.

tan x = (sin x) / (cos x)

Både tæller- og nævnerfunktioner kan differentieres.

Anvendelse af kvotientregel,

f' (x)='frac{(d/dx(sinx))(cosx)-(d/dx(cosx))(sinx)}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{cosx.cosx-(-sinx)(sinx)}{cos^x}' '='

⇒f' (x)='frac{cos^2x+sin^2x}{cos^2x}' '='

⇒f' (x)='frac{1}{cos^2x}' '='

Eksempel 3: Differentier, f(x)= e ^x /x ²

Løsning:

Både tæller- og nævnerfunktioner kan differentieres.

Anvendelse af kvotientregel,

f' (x)='[frac{d/dx(e^x)(x^2)-d/dx(x^2)(e^x)}{x^4}]' '='

⇒f' (x)='frac{e^x.x^2-2xe^x}{x^4}' '='

Eksempel 4: Differentier, y=frac{cosx}{x^2}

Løsning:

Både tæller- og nævnerfunktioner kan differentieres.

Anvendelse af kvotientregel,

y’=frac{d/dx(cosx)(x^2)-d/dx(x^2)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-sinx(x^2)-(2x)(cosx)}{x^4}

⇒y’=frac{-(x^2)sinx-(2xcosx)}{x^4}

Eksempel 5: Differentier, f(p) = p+5/p+7

Løsning:

Både tæller- og nævnerfunktioner kan differentieres.

Anvendelse af kvotientregel,

f' (p)='d/dx[frac{p+5}{p+7}]' '='

⇒f' (p)='[frac{d/dx(p+5)(p+7)-d/dx(p+7)(p+5)}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{p+7-p-5}{(p+7)^2}]' '='

⇒f' (p)='[frac{2}{(p+7)^2}]' '='

Øvelsesproblemer

Her er et par øveproblemer på Quotient-reglen, som du kan løse.

P1. Find den afledede af f(x) = (x ² + 3)/(uden x)

P2. Find den afledede af f(x) = (2x ² + 3x + 5)/(x + 3)

P3. Find den afledede af f(x) = (x + 3)/(ln x)

P4. Find den afledede af f(x) = (x.sin x)/(x ² )

Afledte kvotientregel – ofte stillede spørgsmål

Hvad er kvotientreglen for differentiering?

Differentieringsregel for kvotient er den regel, der bruges til at finde differentieringen af ​​funktionen, som er givet i kvotientformen, altså en funktion givet som opdelingen af ​​to funktioner.

Hvad er Quotient Rule Formel?

Kvotientregelformlen er,

f'(x) = [u(x)/v(x)]' = [u'(x) × v(x) – u(x) × v'(x)] / [v(x)] ²

Denne formel giver differentieringen af ​​den funktion, der er repræsenteret som f(x)/g(x).

Hvordan udleder man formlen for kvotientreglen?

Quotientreglen kan udledes ved hjælp af tre metoder,

• Efter afledte og grænseegenskaber
• Ved implicit differentiering
• Efter kæderegel

Hvordan bruger man kvotientreglen?

Quotientregel bruges til at finde differentieringen af ​​funktionen udtrykt som opdelingen af ​​to funktioner, der inkluderer alle funktionerne af form f(x) og g(x), således at der eksisterer individuel differentiering af f(x) og g(x). og g(x) kan aldrig være nul.

Hvordan finder du derivatet af en divisionsfunktion?

Afledt af divisionsfunktionen er let at finde ved hjælp af kvotientregelformlen, dvs. hvis vi skal finde differentieringen af ​​H(x) sådan at H(x) udtrykkes som H(x) = f(x)/g(x) så udtrykkes dens afledte som,

H'(x) = d/dx [f(x)/g(x)] = [f(x) × g'(x) – g(x) × h'(x)] / [g(x) ] ²

Hvad er kvotientgrænsen?

Quotient Regel for grænser siger, at grænsen for en kvotientfunktion er lig med kvotienten af ​​grænsen for hver funktion.