Kovariansmatrix er en type matrix, der bruges til at beskrive kovariansværdierne mellem to elementer i en tilfældig vektor. Det er også kendt som varians-kovariansmatrixen, fordi variansen af ​​hvert element er repræsenteret langs matrixens hoveddiagonal, og kovariansen er repræsenteret blandt de ikke-diagonale elementer. En kovariansmatrix er normalt en kvadratisk matrix. Det er også positivt semi-bestemt og symmetrisk. Denne matrix er praktisk, når det kommer til stokastisk modellering og Principal komponentanalyse.

Hvad er kovariansmatrix?

Det varians -kovariansmatrix er en kvadratisk matrix med diagonale elementer, der repræsenterer variansen, og de ikke-diagonale komponenter, der udtrykker kovarians. Kovariansen af ​​en variabel kan tage enhver reel værdi - positiv, negativ eller nul. En positiv kovarians tyder på, at de to variable har en positiv sammenhæng, hvorimod en negativ kovarians indikerer, at de ikke har. Hvis to elementer ikke varierer sammen, har de en kovarians på nul.

Lær mere, Diagonal matrix

Eksempel på kovariansmatrix

Lad os sige, at der er 2 datasæt X = [10, 5] og Y = [3, 9]. Variansen af ​​sæt X = 12,5 og variansen af ​​sæt Y = 18. Kovariansen mellem begge variable er -15. Kovariansmatricen er som følger:

egin{bmatrix} Variance~of~Set~X & Coorelation~of~Both~Sets Coorelation~of~Both~Sets& Variance~of~Set~Y end{bmatrix}=egin{bmatrix} 12.5 & -15 -15& 18 end{bmatrix}

java samling

Kovarians Matrix Formel

Den generelle form for en kovariansmatrix er givet som følger:

hvor,

• Prøvevarians: hvor (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}
• Eksempel på kovarians: den (x₁, og₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Befolkningsvariation: hvor (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Befolkningskovarians: den (x_n, og_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

Her, m er middel for befolkning

overline x er prøvens middelværdi

n er Observationsantal

x _jeg er observationen i datasæt x

Lad os se formatet af kovariansmatrix på 2 ⨯ 2 og 3 ⨯ 3

2 ⨯ 2 Kovarians Matrix

Vi ved, at i en 2 ⨯ 2 matrix der er to rækker og to kolonner. Derfor kan 2 ⨯ 2 kovariansmatrixen udtrykkes somegin{bmatrix}mathrm{var(x)}& mathrm{cov(x,y)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)}end{bmatrix}

3 ⨯ 3 Kovarians Matrix

I en 3⨯3 Matrix er der 3 rækker og 3 kolonner. Vi ved, at i en kovariansmatrix er de diagonale elementer varians og ikke-diagonale elementer er kovarians. Derfor kan en 3⨯3 kovariansmatrix gives somegin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

Hvordan finder man kovariansmatrix?

Dimensionerne af en kovariansmatrix bestemmes af antallet af variable i et givet datasæt. Hvis der kun er to variable i et sæt, vil kovariansmatrixen have to rækker og to kolonner. På samme måde, hvis et datasæt har tre variabler, vil dets kovariansmatrix have tre rækker og tre kolonner.

Dataene vedrører karakterer scoret af Anna, Caroline og Laura i psykologi og historie. Lav en kovariansmatrix.

Følgende trin skal følges:

Trin 1: Find middelværdien af ​​variabel X. Summer alle observationerne i variabel X og divider den opnåede sum med antallet af led. Således (80 + 63 + 100)/3 = 81.

Trin 2: Træk middelværdien fra alle observationer. (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

Trin 3: Tag kvadraterne af forskellene opnået ovenfor og læg dem sammen. Således (80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)².

Trin 4: Find variansen af ​​X ved at dividere værdien opnået i trin 3 med 1 mindre end det samlede antal observationer. var(X) = [(80 – 81)²+ (63 – 81)²+ (100 – 81)²] / (3 – 1) = 343.

Trin 5: Gentag på samme måde trin 1 til 4 for at beregne variansen af ​​Y. Var(Y) = 633.

Trin 6: Vælg et par variable.

Trin 7: Træk middelværdien af ​​den første variabel (X) fra alle observationer; (80 – 81), (63 – 81), (100 – 81).

hvordan man konverterer streng til int

Trin 8: Gentag det samme for variabel Y; (70 – 47), (20 – 47), (50 – 47).

Trin 9: Multiplicer de tilsvarende led: (80 – 81)(70 – 47), (63 – 81)(20 – 47), (100 – 81)(50 – 47).

Trin 10: Find kovariansen ved at tilføje disse værdier og dividere dem med (n – 1). Cov(X, Y) = (80 – 81)(70 – 47) + (63 – 81)(20 – 47) + (100 – 81)(50 – 47)/3-1 = 481.

Trin 11: Brug den generelle formel for kovariansmatrixen til at arrangere vilkårene. Matrixen bliver:egin{bmatrix} 343 & 481 481& 633 end{bmatrix}

Egenskaber for kovariansmatrix

Egenskaberne for kovariansmatrix er nævnt nedenfor:

• En kovariansmatrix er altid kvadratisk, hvilket betyder, at antallet af rækker i en kovariansmatrix altid er lig med antallet af kolonner i den.
• En kovariansmatrix er altid symmetrisk, hvilket antyder, at omsætte af en kovariansmatrix er altid lig med den oprindelige matrix.
• En kovariansmatrix er altid positiv og semi-bestemt.
• Det egenværdier af en kovariansmatrix er altid reelle og ikke-negative.

Læs mere,

• Typer af matricer
• Matrix multiplikation
• Varians og standardafvigelse

Løste eksempler på kovariansmatrix

Eksempel 1: Karaktererne opnået af 3 studerende i fysik og biologi er angivet nedenfor:

Beregn kovariansmatrix ud fra ovenstående data.

Løsning:

Prøve kovariansmatrix er givet affrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

Her, μ_x= 84, n = 3

var(x) = [(92 – 84)²+ (60 – 84)²+ (100 – 84)²] / (3 – 1) = 448

Altså μ_og= 60, n = 3

var(y) = [(80 – 60)²+ (30 – 60)²+ (70 – 60)²] / (3 – 1) = 700

Nu, cov(x, y) = cov(y, x) = [(92 – 84)(80 – 60) + (60 – 84)(30 – 60) + (100 – 84)(70 – 60)] / (3 – 1) = 520.

Populationskovariansmatricen er givet som:egin{bmatrix} 448 & 520 520& 700 end{bmatrix}

Eksempel 2. Forbered populationskovariansmatricen ud fra følgende tabel:

Løsning:

Befolkningsvarians er givet vedfrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n} .

Her, μ_x= 56,5, n = 4

var(x) = [(68 – 56,5)²+ (60 – 56,5)²+ (58 – 56,5)²+ (40 – 56,5)²]/4 = 104,75

Altså μ_og= 30, n = 4

var(y) = [(29 – 30)²+ (26 – 30)²+ (30 – 30)²+ (35 – 30)²] / 4 = 10,5

Nu, cov(x, y) =frac{sum_{1}^{4}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{4}

cov(x, y) = -27

Populationskovariansmatricen er givet som: egin{bmatrix} 104.7 &-27 -27& 10.5 end{bmatrix}

Eksempel 3. Fortolk følgende kovariansmatrix:

egin{bmatrix} & X & Y & Z X & 60 & 32 & -4 Y & 32 & 30 & 0 Z & -4 & 0 & 80 end{bmatrix}

Løsning:

1. De diagonale elementer 60, 30 og 80 angiver variansen i datasættene henholdsvis X, Y og Z. Y viser den laveste varians, mens Z viser den højeste varians.
2. Kovariansen for X og Y er 32. Da dette er et positivt tal betyder det, at når X stiger (eller falder), så stiger (eller falder) Y også.
3. Kovariansen for X og Z er -4. Da det er et negativt tal, betyder det, at når X stiger, falder Z og omvendt.
4. Kovariansen for Y og Z er 0. Det betyder, at der ikke er nogen forudsigelig sammenhæng mellem de to datasæt.

Eksempel 4. Find prøven af ​​kovariansmatricen for følgende data:

Løsning:

Prøve kovariansmatrix er givet affrac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1} .

n = 5, m_x= 22,4, var(X) = 321,2 / (5 – 1) = 80,3

m_og= 12,58, var(Y) = 132,148 / 4 = 33,037

m_Med= 64, var(Z) = 570/4 = 142,5

cov(X, Y) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( y_{i}-12.58 ight ) }{5-1} = -11.76

cov(X, Z) =frac{sum_{1}^{5}left ( x_{i} -22.4 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = 34.97

cov(Y, Z) = frac{sum_{1}^{5}left ( y_{i} -12.58 ight )left ( z_{i}-64 ight ) }{5-1} = -40.87

Kovariansmatricen er givet som:

egin{bmatrix} 80.3 & -13.865 &14.25 -13.865 & 33.037 & -39.5250 14.25 & -39.5250 & 142.5 end{bmatrix}

Ofte stillede spørgsmål om Covariance Matrix

1. Definer kovariansmatrix

En kovariansmatrix er en type matrix, der bruges til at beskrive kovariansværdierne mellem to elementer i en tilfældig vektor.

2. Hvad er formlen for kovariansmatrix?

Formlen for kovariansmatrix er givet som

left[egin{array}{ccc} operatorname{Var}left(x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) vdots & ldots & vdots vdots & ldots & vdots operatorname{Cov}left(x_n, x_1 ight) & ldots ldots & operatorname{Var}left(x_n ight) end{array} ight]

nussede nuller

Hvor, Prøvevarians: hvor (x₁) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -overline{x} ight )^{2} }{n-1}

• Eksempel på kovarians: den (x₁, og₁) =frac{sum_{1}^{n}left (x_{i} -overline{x} ight )left(y_{i}-overline{y} ight)}{n-1}
• Befolkningsvariation: hvor (x_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu ight )^{2} }{n}
• Befolkningskovarians: den (x_n, og_n) =frac{sum_{1}^{n}left ( x_{i} -mu_{x} ight )left ( y_{i}-mu_{y} ight ) }{n}

3. Hvad er den generelle form for en 3 ⨯ 3 kovariansmatrix?

Den generelle form for en 3 ⨯ 3 kovariansmatrix er givet som følger:

egin{bmatrix}mathrm{var(x)}&mathrm{cov(x,y)} &mathrm{cov(x,z)} \mathrm{cov(x,y)} &mathrm{var(y)} &mathrm{cov(y,z)} \mathrm{cov(x,z)} &mathrm{cov(y,z)} &mathrm{var(z)} \end{bmatrix}

4. Hvad er egenskaberne ved kovariansmatrix?

Kovariansmatrix er en kvadratisk matrix og er også symmetrisk af natur, dvs. transponeringen af ​​den originale matrix giver selve den originale matrix

5. Hvad er de sektorer, hvor Covariance Matrix kan bruges?

Covariance Matrix bruges inden for matematik, maskinlæring, finans og økonomi. Covariance Matrix bruges i Cholskey Decomposition til at udføre Monte Carlo Simulation, som bruges til at skabe matematiske modeller.