logo

boolsk algebra

Boolesk algebra er en type algebra, der skabes ved at betjene det binære system. I år 1854 foreslog George Boole, en engelsk matematiker, denne algebra. Dette er en variant af Aristoteles' propositionelle logik, der bruger symbolerne 0 og 1, eller Sand og Falsk. Boolesk algebra beskæftiger sig med binære variable og logiske operationer.

Boolean Algebra er fundamental i udviklingen af ​​digitale elektroniksystemer, da de alle bruger konceptet boolsk algebra at udføre kommandoer. Ud over digital elektronik finder denne algebra også sin anvendelse i mængdeteori, statistik og andre grene af matematik.



I denne artikel vil vi lære om grundlæggende booleske operationer, boolske udtryk, sandhedstabeller, boolske love og andre i detaljer.

Indholdsfortegnelse

Boolean algebra operationer

Der er forskellige operationer, der bruges i boolsk algebra, men de grundlæggende operationer, der danner basis for boolsk algebra er.



  • Negation eller IKKE drift
  • Konjunktion eller OG-drift
  • Disjunktion eller ELLER Betjening


Boolean-algebra-operationer

Boolean algebra udtryk




Kontrollere: Grundlæggende om boolesk algebra i digital elektronik

Disse operationer har deres egne symboler og forrang, og tabellen tilføjet nedenfor viser symbolet og forrangen af ​​disse operatorer.

Operatør

Symbol

Forrang

hvor mange taster har tastaturer

IKKE

’ (eller) ⇁

Først

OG

. (eller) ∧

Anden

ELLER

+ (eller) ∨

Tredje

Vi kan nemt definere disse operationer ved hjælp af to booleske variable.

Lad os tage to booleske variable A og B, der kan have en hvilken som helst af de to værdier 0 eller 1, dvs. de kan være enten FRA eller TIL. Derefter forklares disse operationer som,

Negation eller NOT Operation

Bruger IKKE operation vender værdien af ​​den boolske variabel fra 0 til 1 eller omvendt. Dette kan forstås som:

  • Hvis A = 1, så har vi ved brug af NOT-operation (A)' = 0
  • Hvis A = 0, så har vi ved brug af NOT-operationen (A)' = 1
  • Vi repræsenterer også negationsoperationen som ~A, dvs. hvis A = 1, ~A = 0

Kontrollere: Boolsk algebras egenskaber

Konjunktion eller OG-drift

Bruger OG operationen opfylder betingelsen, hvis både værdien af ​​de individuelle variable er sand, og hvis nogen af ​​værdierne er falsk, giver denne operation det negative resultat. Dette kan forstås som,

  • Hvis A = Sand, B = Sand, så A . B = Sandt
  • Hvis A = Sand, B = Falsk, Eller A = Falsk, B = Sand, så A . B = falsk
  • Hvis A = Falsk, B = Falsk, så A . B = falsk

Kontrollere: Booleske algebraiske sætninger

Disjunction (ELLER) Operation

Bruger ELLER operation opfylder betingelsen, hvis en værdi af de enkelte variable er sand, giver det kun et negativt resultat, hvis begge værdier er falske. Dette kan forstås som,

  • Hvis A = Sand, B = Sand, så er A + B = Sand
  • Hvis A = Sand, B = Falsk, Eller A = Falsk, B = Sand, så er A + B = Sand
  • Hvis A = Falsk, B = Falsk, så er A + B = Falsk

Tabel over boolsk algebra

Nedenstående er udtrykket for den boolske algebra

OperationSymbolDefinition
OG Betjening ⋅ eller ∧Returnerer kun sand, hvis begge input er sande.
ELLER Betjening + eller ∨Returnerer sand, hvis mindst ét ​​input er sandt.
IKKE drift ¬ eller ∼Vender indgangen.
XOR-drift Returnerer sand, hvis præcis ét input er sandt.
NAND-drift Returnerer kun falsk, hvis begge input er sande.
NOR Drift Returnerer falsk, hvis mindst ét ​​input er sandt.
XNOR-drift Returnerer sand, hvis begge input er ens.

boolesk udtryk og variabler

Boolesk udtryk er et udtryk, der producerer en boolsk værdi, når det evalueres, dvs. det producerer enten en sand værdi eller en falsk værdi. Hvorimod booleske variabler er variable, der gemmer booleske tal.

P + Q = R er en boolsk sætning, hvori P, Q og R er boolske variable, der kun kan lagre to værdier: 0 og 1. 0 og 1 er synonymerne for falsk og sand og bruges i boolsk algebra, nogle gange vi bruger også Ja i stedet for Sand og Nej i stedet for Falsk.

Således kan vi sige, at udsagn, der bruger booleske variabler og opererer på boolske operationer, er boolske udtryk. Nogle eksempler på boolske udtryk er,

  • A + B = Sandt
  • A.B = Sandt
  • (A)' = Falsk

Kontrollere: Aksiomer for boolsk algebra

Boolean algebra terminologier

Der er forskellige terminologier relateret til boolsk algebra, som bruges til at forklare forskellige parametre af boolsk algebra . Det inkluderer,

  • boolsk algebra
  • Booleske variabler
  • boolesk funktion
  • Bogstavelig
  • Komplement
  • Sandhedstabel

Nu vil vi diskutere de vigtige terminologier for boolsk algebra i artiklen nedenfor,

boolsk algebra

Den gren af ​​algebra, der beskæftiger sig med binære operationer eller logiske operationer, kaldes boolsk algebra. Det blev introduceret af George Boole i midten af ​​det 19. århundrede. Det bruges til at analysere og manipulere logiske funktioner i binære variable. Det er flittigt brugt på forskellige områder såsom digital logikdesign, datalogi og telekommunikation.

Booleske variabler

Variabler brugt i boolsk algebra, der lagrer den logiske værdi af 0 og 1, kaldes de boolske variable. De bruges til at gemme enten sande eller falske værdier. Boolske variabler er grundlæggende for at repræsentere logiske tilstande eller propositioner i boolske udtryk og funktioner.

boolesk funktion

En funktion af den boolske algebra, der er dannet ved brug af boolske variabler og boolske operatorer, kaldes den boolske funktion. Det dannes ved at kombinere booleske variable og logiske udtryk som AND, OR og NOT. Det bruges til at modellere logiske relationer, betingelser eller operationer.

Bogstavelig

En variabel eller komplementet til variablen i boolsk algebra kaldes det bogstavelige. Bogstaver er de grundlæggende byggesten i de boolske udtryk og funktioner. De repræsenterer operanderne i logiske operationer.

Komplement

Det omvendte af den boolske variabel kaldes komplementet til variablen. Komplementet af 0 er 1, og komplementet til 1 er 0. Det er repræsenteret ved ' eller (¬) over variablen. Komplementer bruges til at repræsentere logiske negationer i boolske udtryk og funktioner.

Sandhedstabel

Tabel, der indeholder alle de mulige værdier af de logiske variable og kombinationen af ​​variablen sammen med den givne operation kaldes sandhedstabellen. Antallet af rækker i sandhedstabellen afhænger af de samlede booleske variabler, der bruges i den funktion. Det er givet ved at bruge formlen,

Antal rækker i sandhedstabellen = 2 n

hvor n er antallet af anvendte booleske variable.

Kontrollere:

  • Sætteori
  • Statistikker

Sandhedstabeller i boolsk algebra

En sandhedstabel repræsenterer alle kombinationerne af inputværdier og output i tabelform. Alle mulighederne for input og output er vist i den og deraf navnet sandhedstabel. I logiske problemer bruges sandhedstabeller almindeligvis til at repræsentere forskellige tilfælde. T eller 1 angiver 'Sandt' & F eller 0 angiver 'False' i sandhedstabellen.

Eksempel: Tegn sandhedstabellen over betingelserne A + B og A.B, hvor A og b er booleske variable.

array.sort i java

Løsning:

Den nødvendige sandhedstabel er,

ENB

X = A + B

Y = A.B
TT

T

T
TF

T

F
FT

T

F
FF

F

F

booleske algebra regler

I boolsk algebra er der forskellige grundlæggende regler for logisk udtryk.

java tuple
  • Binær repræsentation: I boolsk algebra kan variablerne kun have to værdier enten 0 eller 1, hvor 0 repræsenterer Lav og 1 repræsenterer høj. Disse variabler repræsenterer logiske tilstande i systemet.
  • Supplerende repræsentation: Komplementet af variablerne er repræsenteret ved (¬) eller (‘) over variablen. Dette indikerer logisk negation eller inversion af variablens værdi. Så Komplement af variabel A kan repræsenteres afoverline{A},hvis værdien af ​​A=0, så er dens komplement 1.
  • ELLER Betjening: ELLER-operationen er repræsenteret af (+) mellem variablerne. ELLER-operation returnerer sand, hvis mindst én af operanderne er sand. Lad os som eksempler tage tre variabler A,B,C, ELLER-operationen kan repræsenteres som A+B+C.
  • OG betjening: AND-operationen er angivet med (.) mellem variablerne. AND-operation returnerer kun sand, hvis alle operanderne er sande. Lad os som eksempler tage tre variabler A,B,C, OG-operationen kan repræsenteres A.B.C eller ABC.

Love for boolesk algebra

De grundlæggende love for den boolske algebra er tilføjet i tabellen tilføjet nedenfor,

LovELLER formOG form
Identitetsloven P + 0 = PP.1 = P
Idempotent lov P + P = PP.P = P
Kommutativ lov P + Q = Q + PP.Q = Q.P
Associativ ret P+ (Q + R) = (P + Q) + RP.(Q.R) = (P.Q).R
Fordelingslov P + QR = (P + Q).(P + R)P.(Q + R) = P.Q + P.R
Inversionsloven (A')' = A(A')' = A
Fra Morgans lov (P + Q)' = (P)'.(Q)'(P.Q)' = (P)' + (Q)'

Lad os lære om disse love i detaljer.

Identitetsloven

I den boolske algebra har vi identitetselementer for både AND(.) og OR(+) operationer. Identitetsloven siger, at vi i boolsk algebra har sådanne variable, at vi ved drift med AND og OR operation får samme resultat, dvs.

  • A + 0 = A
  • A.1 = A

Kommutativ lov

Binære variabler i boolsk algebra følger den kommutative lov. Denne lov siger, at drift af booleske variabler A og B svarer til drift af booleske variable B og A. Det vil sige,

  • A.B = B.A
  • A + B = B + A

Associativ ret

Associativ lov siger, at rækkefølgen for at udføre boolesk operator er ulogisk, da deres resultat altid er det samme. Dette kan forstås som,

  • (A.B). C = A. (B.C)
  • ( A + B ) + C = A + ( B + C)

Fordelingslov

Booleske variabler følger også den distributive lov, og udtrykket for distributiv lov er givet som:

  • A . ( B + C) = (A . B) + (A . C)

Inversionsloven

Inversionsloven er den unikke lov for boolsk algebra, denne lov siger, at komplementet til komplementet af ethvert tal er selve tallet.

  • (A')' = A

Ud over disse andre love er nævnt nedenfor:

OG lov

AND-loven i den boolske algebra bruger AND-operatoren, og AND-loven er,

  • A . 0 = 0
  • A . 1 = A
  • A . A = A

ELLER lov

OR-loven i den boolske algebra bruger OR-operator, og OR-loven er,

  • A + 0 = A
  • A + 1 = 1
  • A + A = A

De Morgans love kaldes også Fra Morgans sætning . De er de vigtigste love i boolsk algebra og disse tilføjes nedenfor under overskriften Boolean Algebra Theorem

Boolske algebra-sætninger

Der er to grundlæggende teoremer af stor betydning i boolsk algebra, som er De Morgans første love og De Morgans anden love. Disse kaldes også De Morgans sætninger. Lad os nu lære om begge i detaljer.

De Morgans første love

(P.Q)' = (P)' + (Q)'

Sandhedstabellen for det samme er givet nedenfor:

PQ(P)'(Q)'(P.Q)'(P)' + (Q)'
TTFFFF
TFFTTT
FTTFTT
FFTTTT

Vi kan tydeligt se, at sandhedsværdier for (P.Q)' er lig med sandhedsværdier for (P)' + (Q)', svarende til det samme input. Således er De Morgans første lov sand.

Fra Morgans Anden Love

Udmelding: Komplementet af summen (OR) af to boolske variabler (eller udtryk) er lig med produktet (AND) af komplementet af hver boolsk variabel (eller udtryk).

(P + Q)' = (P)'.(Q)'

Bevis:

Sandhedstabellen for det samme er givet nedenfor:

PQ(P)'(Q)'(P + Q)'(P)'.(Q)'
TTFFFF
TFFTFF
FTTFFF
FFTTTT

Vi kan tydeligt se, at sandhedsværdier for (P + Q)’ er lig med sandhedsværdier for (P)’.(Q)’, svarende til samme input. Således er De Morgans anden lov sand.

Læs mere,

Løste eksempler på boolsk algebra

Tegn sandhedstabel for P + P.Q = P

Løsning:

Sandhedstabellen for P + P.Q = P

P Q P.Q P + P.Q
TTTT
TFFT
FTFF
FFFF

I sandhedstabellen kan vi se, at sandhedsværdierne for P + P.Q er nøjagtig de samme som P.

Tegn sandhedstabel for P.Q + P + Q

Løsning:

Sandhedstabellen for P.Q + P + Q

P Q P.Q P.Q + P + Q
TTTT
TFFT
FTFT
FFFF

Løse extbf{(overline{A} + B cdot C)}

Løsning:

Brug af De Morgans lov

overline{A}+B.C=overline{A}.(B+C)

Brug af fordelingslov

kort java iterator

overline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Så det forenklede udtryk for den givne ligningoverline{A}.(B+C)=overline{A}.B+overline{A}.C

Konklusion

Boolesk algebra tjener som en grundlæggende ramme til at repræsentere og manipulere logiske udtryk ved hjælp af binære variable og logiske operatorer. Det spiller en afgørende rolle på forskellige områder som digital logikdesign, computerprogrammering og kredsløbsanalyse. Ved at give en systematisk måde at beskrive og analysere logiske sammenhænge, ​​muliggør boolsk algebra udvikling af komplekse systemer og algoritmer. Dens principper og operationer, herunder AND, OR, NOT, XOR, NAND, NOR og XNOR, danner byggestenene til at designe logiske kredsløb, skrive effektiv kode og løse logiske problemer.

Boolean algebra - ofte stillede spørgsmål

Hvad er boolsk algebra?

Boolean algebra også kaldet Logisk algebra er en gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med boolske variabler såsom 0 og 1.

Hvad er de vigtigste booleske operatører?

Der er tre hovedboolske operatører, som er,

  • OG (sammenhæng)
  • ELLER (Dijunktion)
  • IKKE (Negation)

Hvordan minimerer man boolsk funktion?

Der er flere metoder til at minimere booleske funktioner, herunder:

  • Algebraisk forenkling:
  • Karnaugh Maps (K-Maps):
  • Quine-McCluskey Algoritme:
  • Tabulationsmetode:
  • Betingelser for ligeglad:

Hvad er anvendelser af boolsk algebra?

boolsk algebra har forskellige applikationer. Det bruges til at forenkle logiske kredsløb, der er rygraden i moderne teknologi.

Hvad repræsenterer 0 i boolsk algebra?

0 in boolsk algebra repræsentere en falsk tilstand, eller den repræsenterer tilstanden Sluk.

Hvad repræsenterer 1 i boolsk algebra?

Den 1 in boolsk algebra repræsentere en sand tilstand, eller den repræsenterer tilstanden Tænd.

Hvad er boolesk algebra-love?

Boolske algebralove er regler for at manipulere logiske udtryk med binære variable, at sikre konsistens og forenkling i operationer som addition, multiplikation og komplementering, afgørende inden for områder som digital elektronik og datalogi.

Hvad er de 5 love for boolsk algebra?

boolsk algebra er styret af fem primære love, som tjener som grundlag for at manipulere logiske udtryk:

1. Identitetslov for AND

2. Identitetslov for OR

3. Supplerende lov for AND

4. Supplerende lov for OR

5. Idempotent lov

Hvad er de 3 love i boolsk logik?

De tre grundlæggende love i boolsk logik er

  • Identitetsloven (ved at lægge nul til eller gange med én forbliver variablen uændret)
  • Herredømmeloven (at tilføje en variabel til dens komplement resulterer i 1 og gange den med dens komplement resulterer i 0)
  • Den kommutative lov (variablernes rækkefølge kan skiftes i addition eller multiplikation uden at ændre resultatet).

Hvad er De Morgans sætning?

De Morgans sætning siger tha t komplementet af en logisk AND-operation er ækvivalent med OR-operationen af ​​komplementerne til de individuelle termer, og omvendt. Det er et grundlæggende princip i boolsk algebra, der bruges til at forenkle logiske udtryk og optimere logiske kredsløb.