Matematisk induktion er et begreb i matematik, der bruges til at bevise forskellige matematiske udsagn og teoremer. Princippet om matematisk induktion omtales nogle gange som PMI. Det er en teknik, der bruges til at bevise de grundlæggende teoremer i matematik, som involverer løsningen op til n endelige naturlige termer.

Princippet om matematisk induktion er meget brugt til at bevise forskellige udsagn, såsom summen af ​​først n naturlige tal er givet ved formlen n(n+1)/2. Dette kan let bevises ved hjælp af princippet om matematisk induktion.

I denne artikel vil vi lære om princippet om matematisk induktion, dets udsagn, dets eksempel og andre i detaljer.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er matematisk induktion?
• Princippet om matematisk induktionserklæring
• Matematisk induktionstrin
• Eksempel på matematisk induktion

Hvad er matematisk induktion?

Matematisk induktion er en af ​​de grundlæggende metoder til at skrive beviser, og den bruges til at bevise en given erklæring om ethvert velorganiseret sæt. Generelt bruges det til at bevise resultater eller etablere udsagn, der er formuleret i form af n , hvor n er et naturligt tal.

Antag, at P(n) er et udsagn for n naturligt tal, så kan det bevises ved hjælp af princippet om matematisk induktion. Først vil vi bevise for P(1), så lad P(k) være sandt og bevis for P(k+1) . Hvis P(k+1) holder, så siger vi, at P(n) er sand ved princippet om matematisk induktion.

Vi kan sammenligne matematisk induktion med faldende dominobrikker. Når en domino vælter, slår den den næste domino i rækkefølge. Den første domino slår den anden ned, den anden slår den tredje ned og så videre. I sidste ende vil alle dominobrikkerne blive kastet over. Men der er nogle betingelser, der skal opfyldes:

• Grundtrinet er, at startdominoen skal falde for at sætte bankeprocessen i gang.
• Afstanden mellem dominobrikker skal være ens for to tilstødende dominobrikker. Ellers kan en vis domino falde uden at bowle i løbet af den næste. Så stopper reaktionssekvensen. Opretholdelse af den lige inter-domino-afstand sikrer, at P(k) ⇒ P(k + 1) for hvert heltal k ≥ a. Dette er det induktive trin.

Princippet om matematisk induktionserklæring

Ethvert udsagn P(n), som er for n naturligt tal, kan bevises ved hjælp af princippet om matematisk induktion ved at følge nedenstående trin,

Trin 1: Bekræft, om udsagnet er sandt for trivielle tilfælde ( n = 1) dvs. tjek om P(1) er sandt.

Trin 2: Antag, at udsagnet er sandt for n = k for nogle k ≥ 1, dvs. P(k) er sand.

Trin 3: Hvis sandheden af ​​P(k) antyder sandheden af ​​P(k + 1), så er udsagnet P(n) sandt for alle n ≥ 1 .

Billedet tilføjet nedenfor indeholder alle trinene i matematisk induktion

Det første udsagn er faktum, og hvis det ikke er muligt for alle P(n) at være sande ved n = 1, så er disse udsagn sande for nogle andre værdier af n, f.eks. n = 2, n = 3 og andre.

Hvis udsagnet er sandt for P(k), så hvis P(k+1) er bevist at være sandt, så siger vi, at P(n) er sandt for alle n, der tilhører naturlige tal (N)

Matematisk induktionstrin

Forskellige trin, der bruges i matematisk induktion, er navngivet i overensstemmelse hermed. Navnene på de forskellige trin, der bruges i princippet om matematisk induktion er,

• Grundtrin: Bevis at P(k) er sand for k =1
• Antagelsestrin: Lad P(k) være sand for alle k i N og k> 1
• Induktionstrin: Bevis P(k+1) er sandt ved hjælp af grundlæggende matematiske egenskaber.

Hvis ovenstående tre trin bevises, kan vi sige, at ved princippet om matematisk induktion er P(n) sand for alle n, der tilhører N.

Eksempel på matematisk induktion

Matematisk induktion bruges til at bevise forskellige udsagn, vi kan lære dette ved hjælp af følgende eksempel.

For ethvert positivt heltal n, bevis, at n³+ 2n er altid deleligt med 3

Løsning:

Lad P(n): n³+ 2n er deleligt med 3 være det givne udsagn.

Trin 1: Grundlæggende trin

Først beviser vi, at P(1) er sand. Lad n = 1 i n³+ 2n
= 1³+ 2(1)
= 3

Da 3 er deleligt med 3. Derfor er P(1) sand.

Trin 2: Antagelsestrin

Lad os antage, at P(k) er sand

Så k³+ 2k er deleligt med 3

Derfor kan vi skrive det som k³+ 2k = 3n, (hvor n er et hvilket som helst positivt heltal)...(i)

binært søgetræ vs binært træ

Trin 3: Induktionstrin

Nu skal vi bevise det algebraiske udtryk (k + 1)³+ 2(k + 1) er deleligt med 3

= (k + 1)³+ 2(k + 1)

= k³+ 3k²+ 5k + 3

= (k³+ 2 k) + (3 k²+ 3k + 3)

fra eq(i)

= 3n + 3(k²+ k + 1)

= 3(n + k²+ k + 1)

Da det er et multiplum af 3, kan vi sige, at det er deleligt med 3.

Således er P(k+1) sand, dvs. (k + 1)³+ 2(k + 1) er deleligt med 3. Nu ved princippet om matematisk induktion kan vi sige, at P(n): n³+ 2n er deleligt med 3 er sandt.

Læs mere,

• Aritmetisk Progression
• Geometrisk progression

Løste eksempler på matematisk induktion

Eksempel 1: For alle n ≥ 1, bevis at, 1 ² + 2 ² + 3 ² +….+n ² = {n(n + 1) (2n + 1)} / 6

Løsning:

Lad det givne udsagn være P(n),

P(n):1^2+ 2^2 + 3^2+ ldots+ n^2 = frac{n(n + 1) (2n + 1)}{6} ~ ext{For n=1} P(1):frac{1(1+1)(2×1+1)}{6} = 1

Lad os nu tage et positivt heltal, k, og antage, at P(k) er sandt, dvs.

1^2 + 2^2 + 3^2 +….+k^2 = frac{k(k+1)(2k+1)}{6}

Vi skal nu bevise, at P(k + 1) også er sandt, så nu har vi,

P(k + 1) = P(k) + (k + 1)²

= frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = frac {k(k+1)(2k+1)+6{(k+1)}^2}{6} = (k+1) frac{( 2k^2 + k) + 6(k+1)}{6} =frac{(k+1)(2k^2 +7k+6)}{6} =frac{(k+1) (k+2) (2k+3)}{6} =frac{(k+1) ((k+1)+1) (2(k+1) +1)}{6}

Således er P(k + 1) sand, når P(k) er sand for alle naturlige tal. Derfor, ved processen med matematisk induktion, er det givne resultat sandt for alle naturlige tal.

Eksempel 2: For alle n ≥ 1, bevis at, 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5+...+n(n + 1) (n + 2) = {n (n + 1) (n + 2) ( n + 3)} / 4

Løsning:

Lad det givne udsagn være S(n),

S(n):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ n.(n+1)(n+2) = frac{n(n + 1)(n + 2)(n+3)}{4} ext{For n=1,} S(1):frac{1(1+1)(1+2)(1+3)}{4} = 6 ext{which is true.}

Lad os nu tage et positivt heltal, k, og antage, at S(k) er sandt, dvs.

S(k):1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5+ldots+ k.(k+1)(k+2) = frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4}

Vi skal nu bevise, at S(k + 1) også er sandt, så nu har vi,

S(k+1):S(k) + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)}{4} + (k+1)(k+2)(k+3) Rightarrow S(k+1): frac{k(k+ 1)(k + 2)(k+3)+ 4(k+1)(k+2)(k+3)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)}{4} Rightarrow S(k+1): frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2}{(k+1)+3} }{4}

Således er S(k + 1) sand, når S(k) er sand for alle naturlige tal. Og vi viste indledningsvis, at S(1) er sand, så S(n) er sand for alle naturlige tal.

Eksempel 3: For alle n ≥ 1, bevis, at 1 + 3 + 5 +... + 2n – 1 = n ²

Løsning:

Lad det givne udsagn være S(n),

og S(n) = 1 + 3 + 5+... +2n – 1 = n²

For n = 1 er 2 × 1 – 1 = 1²Således er S(1) sand .

Lad os nu tage et positivt heltal, k, og antage, at S(k) er sandt, dvs.

S(k) = 1+ 3 + 5+…+(2k – 1) = k²

Vi skal nu bevise, at S(k + 1) også er sandt, så nu har vi,

1 + 3 + 5+…+ (2(k + 1) – 1) = (k + 1)²

L.H.S = 1 + 3 + 5 + …. (2k – 1 ) + 2k + 2 – 1

⇒ L.H.S = S(k) + 2k + 1

⇒ L.H.S = k²+ 2k + 1

⇒ L.H.S = (k + 1)²

⇒ L.H.S = R.H.S

Således er S(k + 1) sand, når S(k) er sand for alle naturlige tal. Og vi viste indledningsvis, at S(1) er sand, så S(n) er sand for alle naturlige tal.

Eksempel 4: For alle n ≥ 1, bevis, at 1,2 + 2,3 + 3,4 +...+ n(n + 1) = {n(n + 1)(n + 2)} / 3

tælle forskellige sql

Løsning:

Lad det givne udsagn være S(n),

S(n):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ n.(n+1) = frac{n(n + 1)(n + 2)}{3} ext{for n=1,} S(1) : frac{1(1+1)(1+2)}{3} = 2 ext{which is true.}

Lad os nu tage et positivt heltal, k, og antage, at S(k) er sandt, dvs.

S(k):1.2+ 2.3 + 3.4+ ……+ k.(k+1) = frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3}

Vi skal nu bevise, at S(k + 1) også er sandt, så nu har vi,

S(k+1) : S(k) + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) : frac{k(k+ 1)(k + 2)}{3} + (k+1)(k+2) Rightarrow S(k+1) :frac{k(k+ 1)(k + 2)+ 3(k+1)(k+2)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3} Rightarrow S(k+1) :frac{ (k+1){(k+1)+1}{(k+1)+2} }{3}

Således er S(k + 1) sand, når S(k) er sand for alle naturlige tal. Og vi viste indledningsvis, at S(1) er sand, så S(n) er sand for alle naturlige tal.

Eksempel 5: Bevis a _n = a ₁ + (n – 1) d, er den generelle term for enhver aritmetisk rækkefølge.

Løsning:

For n = 1 har vi a_n= a₁+ (1 – 1) d = a₁, så formlen er sand for n = 1,

Lad os antage, at formlen a_k= a₁+ (k – 1) er sandt for alle naturlige tal.

Vi skal nu bevise, at formlen også er sand for k+1, så nu har vi,

-en_{k + 1}= a₁+ [(k + 1) – 1] d = a₁+ k · d.

Vi antog, at en_k= a₁+ (k – 1) d, og ved definitionen af ​​en aritmetisk rækkefølge a_k+1– en_k= d,

Derefter, a_{k + 1}– en_k

= (a₁+ k d) – (a1 + (k – 1)d)
= a₁– en₁+ kd – kd + d
= d

Således er formlen sand for k + 1, når den er sand for k. Og vi viste indledningsvis, at formlen er sand for n = 1. Således er formlen sand for alle naturlige tal.

Ofte stillede spørgsmål om matematisk induktion

Hvad er det matematiske induktionsprincip?

Princippet om matematisk induktion er et princip, der siger, at for ethvert udsagn P(n), hvis det er sandt for enhver vilkårlig værdi 'a', hvis P(a) er sandt, og hvis vi tager P(k) for at være sandt, så ved at bevise P( k+1) for at være sand, kan vi bevise, at P(n) er sand for alle n ≥ a, og n tilhørende naturlige tal.

Hvad er brugen af ​​matematisk induktion?

Matematisk induktion er det grundlæggende princip, der bruges i matematik til at bevise de grundlæggende udsagn i matematik, som ikke let kan bevises med andre midler.

Hvad er princippet om matematisk induktion i matricer?

Princippet om matematisk induktion i matricer er et grundlæggende princip, som bruges til at bevise de grundlæggende udsagn i matricer, som ikke let kan bevises med andre midler.

Hvordan anvender man princippet om matematisk induktion?

Princippet om matematisk induktion bruges til at bevise matematiske udsagn, antag at vi skal bevise en udsagn P(n), så er de anvendte trin,

Trin 1: Bevis at P(k) er sand for k =1

Trin 2: Lad P(k) være sand for alle k i N og k> 1

Trin 3: Bevis P(k+1) er sandt ved hjælp af grundlæggende matematiske egenskaber.

Så hvis P(k+1) er sand, så siger vi, at P(n) er sand.

Hvad er trinene til at løse et problem ved hjælp af matematisk induktion?

Tre grundlæggende trin brugt i matematisk induktion er

• Grundtrin
• Antagelsestrin
• Induktionstrin