Aritmetisk progression, også kendt som A.P. er en sekvens i matematik, hvor forskellen mellem de to på hinanden følgende udtryk er en konstant. Konstanten er kendt som den fælles forskel. Den aritmetiske progression er en række tal i rækkefølge, hvor forskellen mellem to på hinanden følgende tal er en konstant værdi.

I denne artikel vil vi lære om aritmetisk progressionsdefinition, aritmetiske progressionsformler, relaterede eksempler og andre i detaljer.

nussede nuller

Indholdsfortegnelse

• Hvad er aritmetisk progression?
• Notationer i aritmetisk progression
• Fælles forskel på aritmetisk progression
• Første termin af aritmetisk progression
• N. led af aritmetisk progression
• Summen af ​​aritmetisk progression
• Aritmetisk progressionsformel (AP-formler)

Hvad er aritmetisk progression?

Aritmetisk progression (AP) er en talfølge, hvor forskellen mellem to på hinanden følgende tal er en konstant værdi. Med andre ord kan aritmetisk progression defineres som En matematisk rækkefølge, hvor forskellen mellem to på hinanden følgende led altid er en konstant.

For eksempel er talrækken: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... i aritmetisk progression, som har en fælles forskel (d) mellem to på hinanden følgende led (f.eks. 1 og 2) lig med 1 (2 – 1). En fælles forskel mellem to på hinanden følgende led kan ses, lige for ulige tal og lige tal, som 2 er lig med. I AP er tre hovedbegreber Common difference (d), nth Term (a_n), og summen af ​​de første n led (S_n); alle tre udtryk repræsenterer AP's egenskaber. Lad os se nærmere på, hvad den fælles forskel er,

Vi støder på forskellige ord som sekvens, serier og progression i AP; lad os nu se, hvad hvert ord definerer,

• Sekvens er en endelig eller uendelig liste af tal, der følger et bestemt mønster. For eksempel er 0, 1, 2, 3, 4, 5… rækkefølgen, som er en uendelig række af hele tal.

• Serie er summen af ​​de elementer, som rækkefølgen svarer til. For eksempel 1 + 2 + 3 + 4 + 5…. er rækken af ​​naturlige tal. Hvert tal i en sekvens eller en række kaldes et led. Her er 1 et led, 2 er et led, 3 er et led osv.

• Progression er en sekvens, hvori det generelle udtryk kan udtrykkes ved hjælp af en matematisk formel eller Sekvensen, som bruger en matematisk formel, der kan defineres som progression.

Bemærk: Der er hovedsageligt tre typer progression:

1. Aritmetisk progression (AP)
2. Geometrisk progression (GP)
3. Harmonisk Progression (HP)

Notationer i aritmetisk progression

Vi vil støde på følgende notationer i aritmetisk progression:

• Første semester ⇢ -en
• Fælles forskel ⇢ d
• N. termin ⇢ -en _n
• Summen af ​​de første n vilkår ⇢ S _n

Generel form for aritmetisk progression er a, a + d, a + 2d … a + (n – 1)d

Her er nogle eksempler på AP:

• 6, 13, 20, 27, 34, 41,...
• 91, 81, 71, 61, 51, 41,...
• p, 2p, 3p, 4p, 5p, 6p,...
• -√3, −2√3, −3√3, −4√3, −5√3, – 6√3,...

Fælles forskel på aritmetisk progression

Fælles forskel er angivet med d i aritmetisk progression. Det er forskellen mellem den næste periode og den før den. For aritmetisk progression er den altid konstant eller den samme. Med et ord, hvis den fælles forskel er konstant i en bestemt sekvens, kan vi sige, at dette er A.P. Hvis sekvensen er en_1,-en₂, a₃, a₄, og så videre.

Med andre ord er den fælles forskel i den aritmetiske progression betegnet med d. Forskellen mellem det efterfølgende led og dets foregående led. Det er altid konstant eller det samme for aritmetisk progression. Med andre ord kan vi sige, at i en given sekvens, hvis den fælles forskel er konstant eller den samme, så kan vi sige, at den givne sekvens er i Aritmetisk progression (AP).

Formlen til at finde den fælles forskel er,

d = (a _{n + 1} – en _n ) = (a _n – en _n-1 )

• Hvis den fælles forskel er positiv, så AP stiger . For eksempel 4, 8, 12, 16... i disse serier stiger AP

• Hvis den fælles forskel er negativ så AP falder . For eksempel -4, -6, -8…, her falder AP.

• Hvis den fælles forskel er nul, så AP vil være konstant . For eksempel 1, 2, 3, 4, 5…, her er AP konstant.

Sekvens af aritmetisk progression vil være som en ₁ , a ₂ , a ₃ , a ₄ ,…

Fælles forskel (d) = -en ₂ – en ₁ = d

-en ₃ – en ₂ = d

-en ₄ – en ₃ = d og så videre.

Første termin af aritmetisk progression

Aritmetisk progression kan skrives i form af fælles forskel (d) som:

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …., a + (n – 1)d

sorter array liste

hvor,

• a er første termin af AP
• d er fælles forskel på AP

N. led af aritmetisk progression

Det n'te led kan findes ved at bruge formlen nævnt nedenfor,

T _n = a + (n - 1)d

hvor,

• a er første termin af AP
• d er fælles forskel
• n er antal udtryk
• T_ner n'te led

N. led af aritmetisk progression

Bemærk: Opførsel af aritmetisk rækkefølge er baseret på værdien af ​​en fælles forskel.

• Hvis d er positiv, vil vilkårene stige til positiv uendelighed.
• Hvis d er negativ, stiger medlemmernes vilkår til negativ uendelig

Summen af ​​aritmetisk progression

Formel for aritmetisk progressionssum er forklaret nedenfor; overveje et AP bestående af n led.

S = n/2 [2a + (n − 1) d]

Summen af ​​aritmetisk progression, når det første og sidste led er givet,

S = n/2 (første termin af AP + sidste termin i AP)

S = N/2[a+ a _n ]

Aritmetisk progressionsformel (AP-formler)

For en AP med første udtryk 'a' og fælles forskel 'd' er dens forskellige formler:

• Fælles forskel på AP: d = a ₂ – en ₁ = a ₃ – en ₂ = a ₄ – en ₃ = … = a _n – en _n-1

• n. periode for AP: -en _n = a + (n – 1)d

• Summen af ​​n vilkår for AP: S _n = n/2 (2a + (n – 1) d) = n/2 (a + l) , hvor l er det sidste led i den aritmetiske progression.

Sammenfatning af aritmetisk progression

• Aritmetisk progression (AP) er en talfølge, hvor forskellen mellem to på hinanden følgende tal er en konstant værdi. For eksempel rækken af ​​tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6,...

• Generel form for aritmetisk progression er a, a + d, a + 2d, a + 3d …

• Formel for n. led af aritmetisk progression er -en _n = a + (n – 1)d

• Summen af ​​de første n led eller den aritmetiske sumformel er S _n = n/2[2a + (n – 1) d] , S _n = n/2[a + a _n ]

Artikel relateret til aritmetisk progression:

• Opsummeringsformel
• Summen af ​​naturlige tal
• Aritmetisk Progression og Geometrisk Progression

Eksempler på aritmetisk progression

Eksempel 1: Find AP, hvis det første led er 15, og den fælles forskel er 4.

Løsning:

Som vi ved,

a, a + d, a + 2d, a + 3d, a + 4d, …

Her er a = 15 og d = 4

= 15, (15 + 4), (15 + 2 × 4), (15 + 3 × 4), (15 + 4 × 4),

java til loop

= 15, 19, (15 + 8), (15 + 12), (15 + 16), …

= 15, 19, 23, 27, 31, … og så videre.

Så AP er 15, 19, 23, 27, 31...

Eksempel 2: Find det 20. led for den givne AP: 3, 5, 7, 9, …

Løsning:

Givet, 3, 5, 7, 9, 11……

Her,

a = 3, d = 5 – 3 = 2, n = 20

-en_n= a + (n − 1)d

-en_tyve= 3 + (20− 1)2

-en_tyve= 3 + 38

-en_tyve= 41

Her er 20. semester en_tyve= 41

Eksempel 3: Find summen af ​​de første 20 multipla af 5.

Løsning:

De første 20 multipla af 5 er 5, 10, 15, … 100.

Her er det klart, at den dannede sekvens er en aritmetisk sekvens, hvor

a = 5, d = 5, a_n= 100, n = 20.

S_n= n/2 [2a + (n − 1) d]

S_n= 20/2 [2 × 5 + (20 − 1)5]

S_n= 10 [10 + 95]

python-rest-operator

S_n= 1050

Øvelsesspørgsmål om aritmetisk progression

Q1. Summen af ​​de første nn led af en aritmetisk progression er givet af S _n = 3n ² + 2n. Find den fælles forskel og det første led.

Q2. Første led i en aritmetisk progression er 7, og 11. led er 31. Find summen af ​​de første 11 led.

Q3. I en aritmetisk progression er summen af ​​de første 10 led 150, og summen af ​​de næste 10 led er 550. Find det første led og den fælles forskel.

Q4. Hvis det 4. led i en aritmetisk progression er 10 og det 9. led er 25, så find det 15. led.

Q5. En aritmetisk progression har en fælles forskel på 5. Hvis det 6. led er 22, skal du finde det første led og summen af ​​de første 12 led.

Ofte stillede spørgsmål om aritmetisk progression

Hvad er aritmetisk progression med et eksempel?

Aritmetisk progression er en talfølge, hvor de to på hinanden følgende led har en fælles forskel. For eksempel: 3, 6, 9, 12, 15,...

Hvordan finder man summen af ​​aritmetisk progression?

For at finde den aritmetiske progressionssum kan følgende formler bruges baseret på de oplysninger, der gives:

S = n/2 (første led af AP + sidste led af AP) = n/2[a+ a _n ]

Hvad er forskellen mellem aritmetisk progression og aritmetisk serie?

Aritmetisk progression er antallet af sekvenser inden for ethvert område, der giver en fælles forskel. Hvorimod den aritmetiske række/sekvens er summen af ​​alle de led, der er til stede i den aritmetiske progression.

Hvad er formlen for AP og GP?

Formlen for AP og GP er:

• AP: -en _n = a + (n – 1).d
• GP: -en _n = a.r

Hvad er brugen af ​​aritmetisk progression?

Aritmetisk progression er den række, der giver en fælles forskel mellem to på hinanden følgende led. Det bruges i dagligdagen til at generalisere et sæt mønstre. For eksempel at vente på en bus, antag at busserne kører med konstant hastighed, ved hjælp af AP kan du fortælle, hvornår bussen ankommer. AP kan også bruges til at lave pyramidelignende strukturer mv.