Lad A, B og C være mængder, og lad R være en relation fra A til B, og lad S være en relation fra B til C. Det vil sige, R er en delmængde af A × B, og S er en delmængde af B × C. Så giver R og S anledning til en relation fra A til C angivet med R◦S og defineret ved:

 a (R◦S)c if for some b ∈ B we have aRb and bSc. That is, R ◦ S = there exists b ∈ B for which (a, b) ∈ R and (b, c) ∈ S 

Forholdet R◦S er kendt sammensætningen af ​​R og S; det er nogle gange blot betegnet med RS.

selen tutorial java

Lad R er en relation på en mængde A, det vil sige, R er en relation fra en mængde A til sig selv. Så er R◦R, sammensætningen af ​​R med sig selv, altid repræsenteret. Også R◦R er nogle gange betegnet med R². Tilsvarende har R³= R²◦R = R◦R◦R, og så videre. Således Rⁿer defineret for alle positive n.

Eksempel 1: Lad X = {4, 5, 6}, Y = {a, b, c} og Z = {l, m, n}. Overvej forholdet R₁fra X til Y og R₂fra Y til Z.

 R<sub>1</sub> = {(4, a), (4, b), (5, c), (6, a), (6, c)} R<sub>2</sub> = {(a, l), (a, n), (b, l), (b, m), (c, l), (c, m), (c, n)} 

Find sammensætningen af ​​relationen (jeg) R₁den R₂ (ii) R₁den R₁^-1

Løsning:

(i) Sammensætningsforholdet R₁den R₂som vist i fig.

R₁den R₂ = {(4, l), (4, n), (4, m), (5, l), (5, m), (5, n), (6, l), (6, m), (6, n)}

(ii) Sammensætningsforholdet R₁den R₁^-1som vist i fig.

R₁den R₁^-1 = {(4, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (4, 6), (6, 6)}

Sammensætning af relationer og matricer

Der er en anden måde at finde R◦S på. Lad M_Rog M_Sangiver henholdsvis matrixrepræsentationerne af relationerne R og S. Så

Eksempel

 Let P = {2, 3, 4, 5}. Consider the relation R and S on P defined by R = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 5), (5, 3)} S = {(2, 3), (2, 5), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 5)}. Find the matrices of the above relations. Use matrices to find the following composition of the relation R and S. (i)RoS (ii)RoR (iii)SoR 

Løsning: Matricerne for relationen R og S er vist i fig.

(i) For at opnå sammensætningen af ​​relationen R og S. Gang først M_Rmed M_Sfor at få matrixen M_Rx M_Ssom vist i fig.

string array oprettelse i java

Indtastningerne uden nul i matrixen M_Rx M_Sfortæller de relaterede elementer i RoS. Så,

Derfor er sammensætningen R o S af relationen R og S

 R o S = {(2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}. 

(ii) Gang først matrixen M_Raf sig selv, som vist i fig

Derfor er sammensætningen R o R af relationen R og S

 R o R = {(2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 2), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 5)} 

(iii) Multiplicer matrixen M_Smed M_Rfor at få matrixen M_Sx M_Rsom vist i fig.

Indgange uden nul i matrix M_Sx M_Rfortæller de elementer, der er relateret i S o R.

Derfor er sammensætningen S o R af relationen S og R

 S o R = {(2, 4) , (2, 5), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 5), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5)}.