Når du har den andengradsformel og det grundlæggende i andengradsligninger koldt, er det tid til næste niveau af dit forhold til parabler: at lære om deres vertex form .

Læs videre for at lære mere om parabelens toppunktsform og hvordan man konverterer en andengradsligning fra standardform til toppunktsform.

feature image credit: SBA73 /Flickr

Hvorfor er Vertex Form nyttig? Et overblik

Det vertex form af en ligning er en alternativ måde at udskrive ligningen for en parabel.

Normalt vil du se en andengradsligning skrevet som $ax^2+bx+c$, som, når den tegnes, vil være en parabel. Fra denne form er det let nok at finde ligningens rødder (hvor parablen rammer $x$-aksen) ved at sætte ligningen lig nul (eller bruge andengradsformlen).

Hvis du har brug for at finde toppunktet på en parabel, er standard kvadratisk form meget mindre nyttig. I stedet vil du konvertere din andengradsligning til toppunktsform.

Hvad er Vertex Form?

Mens den kvadratiske standardform er $ax^2+bx+c=y$, toppunktet for en andengradsligning er $i y=i a(i x-i h)^2+ i k$.

I begge former er $y$ $y$-koordinaten, $x$ er $x$-koordinaten, og $a$ er konstanten, der fortæller dig, om parablen vender opad ($+a$) eller nedad ($-a$). (Jeg tænker på det, som om parablen var en skål æblemos; hvis der er en $+a$, kan jeg tilføje æblemos til skålen; hvis der er en $-a$, kan jeg ryste æblemosen ud af skålen.)

Forskellen mellem en parabels standardform og topform er, at ligningens toppunktsform også giver dig parablens toppunkt: $(h,k)$.

Tag for eksempel et kig på denne fine parabel, $y=3(x+4/3)^2-2$:

Baseret på grafen ser parablens toppunkt ud til at være noget i stil med (-1,5,-2), men det er svært at sige præcis, hvor toppunktet er ud fra kun grafen alene. Heldigvis, baseret på ligningen $y=3(x+4/3)^2-2$, ved vi, at toppunktet på denne parabel er $(-4/3,-2)$.

Hvorfor er toppunktet $(-4/3,-2)$ og ikke $(4/3,-2)$ (ud over grafen, hvilket gør det tydeligt både $x$- og $y$-koordinaterne for toppunktet er negativ)?

Husk: i topformens ligning trækkes $h$ fra, og $k$ tilføjes . Hvis du har en negativ $h$ eller en negativ $k$, skal du sørge for at trække den negative $h$ fra og tilføje den negative $k$.

I dette tilfælde betyder det:

$y=3(x+4/3)^2-2=3(x-(-4/3))^2+(-2)$

og så toppunktet er $(-4/3,-2)$.

Du bør altid dobbelttjekke dine positive og negative fortegn, når du skriver en parabel i topform , især hvis toppunktet ikke har positive $x$- og $y$-værdier (eller for jer kvadrant-hoveder derude, hvis det ikke er i kvadrant I ). Dette svarer til det tjek, du ville foretage, hvis du løser den kvadratiske formel ($x={-b±√{b^2-4ac}}/{2a}$) og var nødt til at sikre, at du beholdt din positive og negativer lige til dine $a$s, $b$s og $c$s.

Nedenfor er en tabel med yderligere eksempler på et par andre parabel-hjørneformsligninger sammen med deres hjørner. Bemærk især forskellen i $(x-h)^2$-delen af ​​parablens toppunkts formligning, når $x$-koordinaten for toppunktet er negativ.

Sådan konverteres fra standard kvadratisk form til vertexform

Det meste af tiden, når du bliver bedt om at konvertere andengradsligninger mellem forskellige former, vil du gå fra standardform ($ax^2+bx+c$) til topform ($a(x-h)^2+k$ ).

Processen med at konvertere din ligning fra standard kvadratisk til toppunktsform involverer at udføre et sæt trin kaldet at fuldføre kvadratet. (For mere om at udfylde kvadratet, sørg for at læse denne artikel.)

Lad os gennemgå et eksempel på at konvertere en ligning fra standardform til topform. Vi starter med ligningen $y=7x^2+42x-3/14$.

Den første ting du skal gøre er at flytte konstanten eller udtrykket uden en $x$ eller $x^2$ ved siden af. I dette tilfælde er vores konstant $-3/14$. (Vi ved det er negativ $3/14$, fordi standard andengradsligningen er $ax^2+bx+c$, ikke $ax^2+bx-c$.)

Først tager vi den $-3/14$ og flytter den over til venstre side af ligningen:

$y+3/14=7x^2+42x$

Det næste trin er at udregne de 7 ($a$-værdien i ligningen) fra højre side, sådan:

$y+3/14=7(x^2+6x)$

Store! Denne ligning ligner meget mere toppunktsform, $y=a(x-h)^2+k$.

På dette tidspunkt tænker du måske: 'Alt, jeg skal gøre nu, er at flytte $3/14$ tilbage til højre side af ligningen, ikke?' Ak, ikke så hurtigt.

Hvis du tager et kig på en del af ligningen inde i parentesen, vil du bemærke et problem: det er ikke i form af $(x-h)^2$. Der er for mange $x$s! Så vi er ikke helt færdige endnu.

Det, vi skal gøre nu, er den sværeste del - at fuldføre pladsen.

Lad os se nærmere på $x^2+6x$-delen af ​​ligningen. For at faktorisere $(x^2+6x)$ til noget, der ligner $(x-h)^2$, bliver vi nødt til at tilføje en konstant til indersiden af ​​parenteserne - og vi bliver nødt til at huske at tilføje den konstant til den anden side af ligningen også (da ligningen skal forblive afbalanceret).

For at sætte dette op (og sørge for, at vi ikke glemmer at tilføje konstanten til den anden side af ligningen), vil vi oprette et tomt rum, hvor konstanten vil gå på hver side af ligningen:

$y+3/14+7($ $)=7(x^2+6x+$ $)$

Bemærk, at i venstre side af ligningen sørgede vi for at inkludere vores $a$-værdi, 7, foran rummet, hvor vores konstant vil gå; det er fordi vi ikke bare tilføjer konstanten til højre side af ligningen, men vi multiplicerer konstanten med hvad der er på ydersiden af ​​parenteserne. (Hvis din $a$-værdi er 1, behøver du ikke bekymre dig om dette.)

Det næste trin er at færdiggøre firkanten. I dette tilfælde er det kvadrat, du udfylder, ligningen inde i parentesen - ved at tilføje en konstant, forvandler du den til en ligning, der kan skrives som et kvadrat.

For at beregne den nye konstant skal du tage værdien ud for $x$ (6, i dette tilfælde), dividere den med 2 og kvadrere den.

$(6/2)^2=(3)^2=9$. Konstanten er 9.

Grunden til, at vi halverer 6'eren og firkanter den, er, at vi ved, at i en ligning på formen $(x+p)(x+p)$ (som er det, vi prøver at komme til), $px+px= 6x$, så $p=6/2$; for at få konstanten $p^2$, skal vi altså tage $6/2$ (vores $p$) og kvadrere den.

Erstat nu det tomme mellemrum på hver side af vores ligning med konstanten 9:

$y+3/14+7(9)=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+63=7(x^2+6x+9)$

$y+{3/14}+{882/14}=7(x^2+6x+9)$

$y+{885/14}=7(x^2+6x+9)$

Faktorer derefter ligningen inde i parentesen. Fordi vi har fuldført firkanten, vil du være i stand til at faktorisere den som $(x+{some umber})^2$.

$y+{885/14}=7(x+3)^2$

Sidste trin: flyt ikke-$y$ værdien fra venstre side af ligningen tilbage til højre side:

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Tillykke! Du har med succes konverteret din ligning fra standard kvadratisk til toppunktsform.

Nu vil de fleste problemer ikke bare bede dig om at konvertere dine ligninger fra standardform til topform; de vil have dig til rent faktisk at give koordinaterne for parablens toppunkt.

For at undgå at blive narret af fortegnsændringer, lad os skrive den generelle toppunktsformligning direkte over den toppunktsformligning, vi lige har beregnet:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=7(x+3)^2-{885/14}$

Og så kan vi nemt finde $h$ og $k$:

$-h=3$

$h=-3$

$+k=-{885/14}$

Toppunktet af denne parabel er ved koordinaterne $(-3,-{885/14})$.

Puha, det var en masse blandede tal rundt omkring! Heldigvis er det meget enklere at konvertere ligninger i den anden retning (fra toppunkt til standardform).

Sådan konverteres fra Vertex Form til Standard Form

Konvertering af ligninger fra deres toppunktsform til den almindelige kvadratiske form er en meget mere ligetil proces: alt hvad du skal gøre er at multiplicere toppunktsformen.

Lad os tage vores eksempelligning fra tidligere, $y=3(x+4/3)^2-2$. For at gøre dette til standardform udvider vi bare højre side af ligningen:

$$y=3(x+4/3)^2-2$$

$$y=3(x+4/3)(x+4/3)-2$$

$$y=3(x^2+{8/3}x+16/9)-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-2$$

$$y=3x^2+8x+{16/3}-{6/3}$$

$$y=3x^2+8x+10/3$$

Tada! Du har med succes konverteret $y=3(x+4/3)^2-2$ til dens $ax^2+bx+c$-form.

Praksis i parabel vertexform: Prøvespørgsmål

For at afslutte denne udforskning af vertexform har vi fire eksempler på problemer og forklaringer. Se, om du selv kan løse problemerne, før du læser forklaringerne igennem!

#1: Hvad er toppunktet for andengradsligningen $x^2+ 2,6x+1,2$?

#2: Konverter ligningen $7y=91x^2-112$ til toppunktsform. Hvad er toppunktet?

#3: Givet ligningen $y=2(x-3/2)^2-9$, hvad er $x$-koordinaterne for, hvor denne ligning skærer $x$-aksen?

#4: Find toppunktet for parablen $y=({1/9}x-6)(x+4)$.

Parabola Vertex Form Practice: Løsninger

#1: Hvad er toppunktet for andengradsligningen ${i x^2}+ 2.6i x+1.2$?

Start med at adskille ikke-$x$-variablen på den anden side af ligningen:

$y-1.2=x^2+2.6x$

Da vores $a$ (som i $ax^2+bx+c$) i den oprindelige ligning er lig med 1, behøver vi ikke at faktorisere det ud af højre side her (selvom du kan skrive $y-1,2=1(x^2+2,6x)$).

Derefter skal du dividere $x$-koefficienten (2.6) med 2 og kvadrere den, og derefter tilføje det resulterende tal til begge sider af ligningen:

$(2,6/2)^2=(1,3)^2=1,69$

$y-1,2+1(1,69)=1(x^2+2,6x+1,69)$

Faktor den højre side af ligningen inden for parentesen:

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

Til sidst kombinerer du konstanterne i venstre side af ligningen, og flyt dem derefter over til højre side.

$y-1,2+1,69=(x+1,3)^2$

$y+0,49=(x+1,3)^2$

Vores svar er $y=(x+1.3)^2-0.49$.

#2: Konverter ligningen $7i y=91i x^2-112$ til toppunktsform. Hvad er toppunktet?

Når du konverterer en ligning til topform, vil du have, at $y$ har en koefficient på 1, så det første, vi skal gøre, er at dividere begge sider af denne ligning med 7:

$7y= 91x^2-112$

${7y}/7= {91x^2}/7-112/7$

$y=13x^2-16$

Bring derefter konstanten over til venstre side af ligningen:

$y+16=13x^2$

Faktorer koefficienten for $x^2$-tallet ($a$) fra højre side af ligningen

$y+16=13(x^2)$

Nu skal du normalt udfylde firkanten på højre side af ligningen inde i parentesen. $x^2$ er dog allerede et kvadrat, så du behøver ikke at gøre andet end at flytte konstanten fra venstre side af ligningen tilbage til højre side:

$y=13(x^2)-16$.

Nu for at finde toppunktet:

$y=a(x-h)^2+k$

$y=13(x^2)-16$

$-h=0$, så $h=0$

$+k=-16$, så $k=-16$

Parablens toppunkt er $(0, -16)$.

#3: Givet ligningen $i y=2(i x-3/2)^2-9$, hvad er $i x$-koordinaten(e) for hvor denne ligning skærer $i x$-akse?

Fordi spørgsmålet beder dig om at finde $x$-skæringspunkt(erne) af ligningen, er det første trin at indstille $y=0$.

$y=0=2(x-3/2)^2-9$.

Nu er der et par veje at gå herfra. Den luskede måde er at bruge det faktum, at der allerede er skrevet et kvadrat ind i topformens ligning til vores fordel.

Først flytter vi konstanten over til venstre side af ligningen:

$0=2(x-3/2)^2-9$

$9=2(x-3/2)^2$

Dernæst deler vi begge sider af ligningen med 2:

$9/2=(x-3/2)^2$

Nu den luskede del. Tag kvadratroden af ​​begge sider af ligningen:

$√(9/2)=√{(x-3/2)^2}$

$±3/{√2}=(x-3/2)$

$±