Trigonometriformler er ligninger, der relaterer siderne og vinklerne i trekanter. De er afgørende for at løse en bred vifte af problemer inden for matematik, fysik, teknik og andre områder.

Her er nogle af de mest almindelige typer trigonometriformler:

• Grundlæggende definitioner: Disse formler definerer de trigonometriske forhold (sinus, cosinus, tangens osv.) i form af siderne i en retvinklet trekant.
• Pythagoras sætning: Denne sætning relaterer længden af ​​siderne i en retvinklet trekant.
• Vinkelforhold: Disse formler relaterer de trigonometriske forhold mellem forskellige vinkler, såsom sum- og differensformler, dobbeltvinkelformler og halvvinkelformler.
• Gensidige identiteter: Disse formler udtrykker et trigonometrisk forhold i forhold til et andet, såsom sin(θ) = 1/coc(θ).
• Enhedscirkel: Enhedscirklen er en grafisk repræsentation af de trigonometriske forhold, og den kan bruges til at udlede mange andre formler.
• Sinusloven og cosinusloven: Disse love relaterer siderne og vinklerne til enhver trekant, ikke kun retvinklede trekanter.

Læs videre for at lære om forskellige trigonometriske formler og identiteter, løste eksempler og øve problemer.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er trigonometri?
• Oversigt over trigonometriformel
• Grundlæggende trigonometriske forhold
• Trigonometriske identiteter
• Liste over trigonometriformler

Hvad er trigonometri?

Trigonometri er defineret som en gren af ​​matematikken, der fokuserer på studiet af forhold, der involverer trekanters længder og vinkler. Trigonometri består af forskellige slags problemer, som kan løses ved hjælp af trigonometriske formler og identiteter.

Trigonometri funktioner

Trigonometriske funktioner er matematiske funktioner, der relaterer vinkler af en retvinklet trekant til længden af ​​dens sider. De har brede applikationer på tværs af forskellige områder såsom fysik, teknik, astronomi og mere. De primære trigonometriske funktioner omfatter sinus, cosinus, tangens, cotangens, sekant og cosecans.

Oversigt over trigonometriformel

Trigonometriformler er matematiske udtryk, der relaterer til vinkler og sider af en retvinklet trekant . Der er 3 sider en retvinklet trekant er lavet af:

• Hypotenuse : Dette er den længste side af en retvinklet trekant.
• Vinkelret/modsat side : Det er siden, der danner en ret vinkel i forhold til den givne vinkel.
• Grundlag : Basen refererer til den tilstødende side, hvor både hypotenusen og den modsatte side er forbundet.

Trigonometrisk forhold

Alle trigonometriske forhold, produktidentiteter, halvvinkelformler, dobbeltvinkelformler, sum- og differensidentiteter, kofunktionsidentiteter, et tegn på forhold i forskellige kvadranter osv. er kort givet her for eleverne i klasse 9, 10, 11, 12. .

centerbillede i css

Her er listen over formler i trigonometri, vi skal diskutere:

• Grundlæggende trigonometriske forholdsformler
• Enhedscirkelformler
• Trigonometriske identiteter

Grundlæggende trigonometriske forhold

Der er 6 forhold i trigonometri. Disse kaldes trigonometriske funktioner. Nedenfor er listen over trigonometriske forhold , herunder sinus, cosinus, sekant, cosekant, tangent og cotangens.

Enhedscirkelformel i trigonometri

For en enhedscirkel, for hvilken radius er lig med 1, jeg er vinklen. Værdierne af hypotenusen og basen er lig med radius af enhedscirklen.

Hypotenuse = Tilstødende side (Base) = 1

Forholdet mellem trigonometri er givet ved:

• sin θ = y/1 = y
• cos θ = x/1 = x
• tan θ = y/x
• barneseng θ = x/y
• sek θ = 1/x
• cosec θ = 1/y

Trigonometriske funktioner diagram

Trigonometriske identiteter

Forholdet mellem trigonometriske funktioner udtrykkes via trigonometriske identiteter, nogle gange omtalt som trigonometriske identiteter eller trigonometriske formler. De forbliver sande for alle reelle talværdier af de tildelte variabler i dem.

• Gensidige identiteter
• Pythagoræiske identiteter
• Periodicitetsidentiteter (i radianer)
• Lige og ulige vinkelformel
• Samfunktionsidentiteter (i grader)
• Sum- og forskelsidentiteter
• Dobbeltvinkelidentiteter
• Invers trigonometri formler
• Triple Angle Identiteter
• Halvvinkelidentiteter
• Sum til produktidentiteter
• Produktidentiteter

Lad os diskutere disse identiteter i detaljer.

Gensidige identiteter

Alle de gensidige identiteter opnås ved at bruge en retvinklet trekant som reference. Gensidige identiteter er som følger:

• cosec θ = 1/sin θ
• sek θ = 1/cos θ
• barneseng θ = 1/tan θ
• sin θ = 1/cosec θ
• cos θ = 1/sek θ
• tan θ = 1/seng θ

Pythagoræiske identiteter

Ifølge Pythagoras-sætningen, i en retvinklet trekant, hvis 'c' er hypotenusen og 'a' og 'b' er de to ben, så er c2 = a2 + b2. Vi kan opnå pythagoræiske identiteter ved hjælp af denne sætning og trigonometriske forhold. Vi bruger disse identiteter til at konvertere et trig-forhold til et andet .

• uden²θ + cos²θ = 1
• 1 + så²θ = sek²jeg
• 1 + barneseng²θ = cosec²jeg

Trigonometri formler diagram

Periodicitetsidentiteter (i radianer)

Disse identiteter kan bruges til at flytte vinklerne med π/2, π, 2π osv. Disse er også kendt som co-funktion identiteter.

Alle trigonometriske identiteter gentage sig selv efter en bestemt periode. Derfor er de af cyklisk karakter. Denne periode for gentagelse af værdier er forskellig for forskellige trigonometriske identiteter.

• sin (π/2 – A) = cos A & cos (π/2 – A) = sin A
• sin (π/2 + A) = cos A & cos (π/2 + A) = – sin A
• sin (3π/2 – A) = – cos A & cos (3π/2 – A) = – sin A
• sin (3π/2 + A) = – cos A & cos (3π/2 + A) = sin A
• sin (π – A) = sin A & cos (π – A) = – cos A
• sin (π + A) = – sin A & cos (π + A) = – cos A
• sin (2π – A) = – sin A & cos (2π – A) = cos A
• sin (2π + A) = sin A & cos (2π + A) = cos A

Her er en tabel, der sammenligner de trigonometriske egenskaber i forskellige kvadranter:

Lige og ulige vinkelformel

Lige og ulige vinkelformler, også kendt som lige-ulige identiteter, bruges til at udtrykke trigonometriske funktioner af negative vinkler i form af positive vinkler. Disse trigonometriske formler er baseret på egenskaberne for lige og ulige funktioner.

• sin(-θ) = -sinθ
• cos(-θ) = cosθ
• tan(-θ) = -tanθ
• cot(-θ) = -cotθ
• sek(-θ) = sekθ
• cosec(-θ) = -cosecθ

Samfunktionsidentiteter (i grader)

Kofunktionsidentiteter giver os det indbyrdes forhold mellem forskellige trigonometriske funktioner. Co-funktionen er angivet her i grader:

• sin(90°−x) = cos x
• cos(90°−x) = sin x
• tan(90°−x) = tremmeseng x
• tremmeseng(90°−x) = tan x
• sek(90°−x) = cosec x
• cosec(90°−x) = sek x

Sum- og forskelsidentiteter

Sum- og differensidentiteterne er de formler, der relaterer sinus, cosinus og tangens af summen eller differensen af ​​to vinkler til sinus, cosinus og tangenter for de enkelte vinkler.

• sin(x+y) = sin(x)cos(y) + cos(x)sin(y)
• sin(x-y) = sin(x)cos(y) – cos(x)sin(y)
• cos(x+y) = cos(x)cos(y) – sin(x)sin(y)
• cos(x-y)=cos(x)cos(y) + sin(x)sin(y
• an(x+y)=frac{tan ext{ x}+tan ext{ y}}{1- tan ext{ x}.tan ext{ y}}
• an(x -y)=frac{tan ext{ x}-tan ext{ y}}{1+ tan ext{ x}.tan ext{ y}}

Dobbeltvinkelidentiteter

Dobbeltvinkelidentiteter er formlerne, der udtrykker trigonometriske funktioner af vinkler, som er dobbelt så store som en given vinkel i forhold til den oprindelige vinkels trigonometriske funktioner.

• sin (2x) = 2sin(x) • cos(x) = [2tan x/(1 + tan²x)]
• cos(2x) = cos²(x) – uden²(x) = [(1 – tan²x)/(1 + tan²x)] = 2cos²(x) – 1 = 1 – 2sin²(x)
• tan (2x) = [2tan(x)]/ [1 – tan²(x)]
• sek (2x) = sek²x/(2 – sek²x)
• cosec (2x) = (sek x • cosec x)/2

Invers trigonometri formler

Inverse trigonometriske formler relaterer til de inverse trigonometriske funktioner, som er de inverse af de grundlæggende trigonometriske funktioner. Disse formler bruges til at finde den vinkel, der svarer til et givet trigonometrisk forhold.

• uden ^-1 (–x) = – synd ^-1 x
• cos ^-1 (–x) = π – cos ^-1 x
• så ^-1 (–x) = – tan ^-1 x
• cosec ^-1 (–x) = – cosec ^-1 x
• sek ^-1 (–x) = π – sek ^-1 x
• barneseng ^-1 (–x) = π – barneseng ^-1 x

Triple Angle Identiteter

Triple Angle Identities er formler, der bruges til at udtrykke trigonometriske funktioner af tredobbelte vinkler (3θ) i form af funktionerne af enkeltvinkler (θ). Disse trigonometriske formler er nyttige til at forenkle og løse trigonometriske ligninger, hvor tredobbelte vinkler er involveret.

sin 3x=3sin x – 4sin ³ x

søgealgoritmer

cos 3x=4cos ³ x – 3cos x

\tan ext{ 3x}=frac{3 tan ext{ x}-tan^3x}{1- 3tan^2x}

Halvvinkelidentiteter

Halvvinkelidentiteter er de trigonometriske formler, der bruges til at finde sinus, cosinus eller tangens for halvdelen af ​​en given vinkel. Disse formler bruges til at udtrykke trigonometriske funktioner af halve vinkler i form af den oprindelige vinkel.

\sinfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1- cos ext{ x}}{2}}

cosfrac{x}{2}=pm sqrt{frac{1+ cos ext{ x}}{2}}

\tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

Også,

\ \tan(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{1- cos(x)}{1+cos(x)}}

\ an(frac{x}{2})=pm sqrt{frac{(1- cos(x))(1-cos(x))}{(1+cos(x))(1-cos(x))}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{1-cos^2(x)}}

=sqrt{frac{(1- cos(x))^2}{sin^2(x)}}

=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

\tan(frac{x}{2})=frac{1-cos(x)}{sin(x)}

Sum til produktidentiteter

Sum til produkt-identiteter er de trigonometriske formler, der hjælper os med at udtrykke summer eller forskelle af trigonometriske funktioner som produkter af trigonometriske funktioner.

• sinx + siny = 2[sin((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• sinx − siny = 2[cos((x + y)/2)sin((x − y)/2)]
• cosx + hyggelig = 2[cos((x + y)/2)cos((x − y)/2)]
• cosx − hyggelig = −2[sin((x + y)/2)sin((x − y)/2)]

Produktidentiteter

Produktidentiteter, også kendt som produkt-til-sum identiteter, er formlerne, der tillader udtryk for produkter af trigonometriske funktioner som summer eller forskelle af trigonometriske funktioner.

Disse trigonometriske formler er afledt af sum- og differensformlerne for sinus og cosinus.

• sinx⋅cosy = [sin(x + y) + sin(x − y)]/2
• cosx⋅cosy = [cos(x + y) + cos(x − y)]/2
• sinx⋅siny = [cos(x − y) − cos(x + y)]/2

Liste over trigonometriformler

Tabellen nedenfor består af grundlæggende trigonometriforhold for vinkler som f.eks. 0°, 30°, 45°, 60° og 90°, der almindeligvis bruges til at løse problemer.

Løste spørgsmål om trigonometriformel

Her er nogle løste eksempler på trigonometriformler for at hjælpe dig med at få en bedre forståelse af begreberne.

Spørgsmål 1: Hvis cosec θ + cot θ = x, find værdien af ​​cosec θ – cot θ ved hjælp af trigonometriformel.

Løsning:

cosec θ + cot θ = x

Vi ved, at cosec²θ+ barneseng²θ = 1

(cosec θ -cot θ)( cosec θ+ cot θ) = 1

(cosec θ -cot θ) x = 1

cosec θ -cot θ = 1/x

Spørgsmål 2: Brug trigonometriske formler til at vise, at tan 10° tan 15° tan 75° tan 80° =1

Løsning:

Vi har,

L.H.S= tan 10 ° altså 15 ° altså 75 ° altså 80 °

= tan(90-80) ° altså 15 ° solbrun (90-15) ° altså 80 °

= tremmeseng 80 ° altså 15 ° barneseng 15 ° altså 80 °

=(sengeseng 80 ° *altså 80 ° )( barneseng 15 ° *så 15 ° )

= 1 = R.H.S

Spørgsmål 3: Hvis sin θ cos θ = 8, find værdien af ​​(sin θ + cos θ) ² ved hjælp af trigonometriformlerne.

Løsning:

(sin θ + cos θ)²

tilfældig værdi generator i java

= uden²θ + cos²θ + 2sinθcosθ

= (1) + 2(8) = 1 + 16 = 17

= (sin θ + cos θ)²= 17

Spørgsmål 4: Bevis ved hjælp af trigonometriske formler, at (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1) = (1 + sin θ)/cos θ.

Løsning:

L.H.S = (tan θ + sek θ – 1)/(tan θ – sek θ + 1)

= [(tan θ + sek θ) – (sek²θ – altså²θ)]/(tan θ – sek θ + 1), [Siden, sek.²θ – altså²θ = 1]

iskcon fuld formular

= {(tan θ + sek θ) – (sek θ + tan θ) (sek θ – tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (1 – sek θ + tan θ)}/(tan θ – sek θ + 1)

= {(tan θ + sek θ) (tan θ – sek θ + 1)}/(tan θ – sek θ + 1)

= tan θ + sek θ

= (sin θ/cos θ) + (1/cos θ)

= (sin θ + 1)/cos θ

= (1 + sin θ)/cos θ = R.H.S. Bevist.

Ofte stillede spørgsmål om trigonometriske formler og identiteter

Hvad er trigonometri?

Trigonometri er en gren af ​​matematikken, der fokuserer på forholdet mellem vinkler og sider af trekanter, især retvinklede trekanter.

Hvad er tre grundlæggende trigonometriske forhold?

• Sin A = Vinkelret/ Hypotenus
• Cos A= Base/Hypotenuse
• Tan A= Vinkelret/ Base

Hvilken trekant er trigonometriske formler anvendelige til?

Trigonometriske formler gælder for retvinklede trekanter.

Hvad er de vigtigste trigonometriske forhold?

Sinus, Cosinus, Tangent, Cotangent, Secant og Cosecant.

For hvilken vinkel er værdien af ​​tan-forholdet lig med barnesengsforholdet?

For værdien 45°, tan 45°= tremmeseng 45° = 1.

Hvad er formlen for sin3x?

Formlen for sin3x er 3sin x – 4 sin³x.