TRAPEZREGEL: DEFINITION, FORMEL, EKSEMPLER OG OFTE STILLEDE SPØRGSMÅL

Den trapezformede regel er en af de grundlæggende regler for integration, som bruges til at definere den grundlæggende definition af integration. Det er en meget brugt regel, og den trapezformede regel er navngivet sådan, fordi den giver arealet under kurven ved at opdele kurven i små trapezoider i stedet for rektangler.

Generelt finder vi arealet under kurven ved at dividere arealet i mindre rektangler og derefter finde summen af alle rektangler, men i trapezreglen opdeles arealet under kurven i trapezoider, og så beregnes deres sum. Den trapezformede reglen bruges til at finde værdien af de bestemte integraler i numerisk analyse. Denne regel kaldes også trapezreglen eller trapezreglen. Lad os lære mere om trapezreglen, dens formel og bevis, eksempel og andre i detaljer i denne artikel.

Hvad er den trapezformede regel?

Den trapezformede regel er en regel, som bruges til at finde værdien af formens bestemte integral^b∫_-enf(x) dx. Vi ved, at værdien af det bestemte integral^b∫_-enf(x) dx er arealet indesluttet under kurven y = f(x) og x-aksen i intervallet a og b på x-aksen. Vi beregner dette areal ved at dividere det fulde areal i flere små rektangler og derefter finde deres sum.

I den trapezformede reglen, som navnet antyder, er arealet under kurven opdelt i flere trapezoider, og derefter findes deres sum for at få arealet af kurven. Den trapezformede regel giver ikke den bedste tilnærmelse af arealet under kurven end Simpsons regel, men alligevel er resultatet præcist nok, og denne regel er en meget brugt regel i calculus.

Trapezregelformel

Den trapezformede regel er den formel, der bruges til at finde arealet under kurven. Nu for at finde området under kurven ved hjælp af den trapezformede reglen,

Lad y = f(x) være en kontinuert kurve defineret på det lukkede interval [a, b]. Nu opdeler vi det lukkede interval [a, b] i n lige store underintervaller, hvor hver har bredden på,

Δx = (b – a)/n

Sådan, at

a = x₀ ₁ ₂<⋯ < x_n= b

Ved at bruge den trapezformede regel kan vi nu finde arealet under kurven som,

∫^b_-enf(x) dx = Area Under the Curve = (Δx/2) [y₀+ 2 (og₁+ og₂+ og₃+ ….. + og_n-1) + y_n]

hvor, y₀, og₁, og₂,…. og_ner værdierne af funktion ved henholdsvis x = 1, 2, 3, ….., n.

Afledning af trapezformel

Trapezregelformlen til beregning af arealet under kurven udledes ved at dividere arealet under kurven i flere trapezoider og derefter finde deres sum.

Udmelding:

Lad f(x) være en kontinuert funktion defineret på intervallet (a, b). Nu opdeler vi intervallerne (a, b) i n lige store delintervaller, hvor bredden af hvert interval er,

Δx = (b – a)/n

sådan at a = x₀ ₁ ₂ ₃<…..< x_n= b

Så er den trapezformede regel,

∫^b_-enf(x) dx ≈ △x/2 [f(x₀) + 2f(x₁) + 2f(x₂) +….2f(x_n-1) + f(x_n)]

hvor, x_jeg= a + i△x

Hvis n → ∞, giver udtrykkets R.H.S det bestemte integral $int_{a}^{b}f(x) dx$

Bevis:

Denne formel bevises ved at dividere arealet under den givne kurve som vist i ovenstående figur i forskellige trapezoider. Den første trapez har en højde Δx og længden af parallelle baser er f(x₀) og f(x₁)

Arealet af den første trapez = (1/2) Δx [f(x₀) + f(x₁)]

Tilsvarende er arealet af de resterende trapezoider (1/2)Δx [f(x₁) + f(x₂)], (1/2)Δx [f(x₂) + f(x₃)], og så videre.

Nu kan vi sige, at

∫^b_-enf(x) dx ≈ (1/2)Δx (f(x₀)+f(x₁) ) + (1/2)Δx (f(x₁)+f(x₂) ) + (1/2)Δx (f(x₂)+f(x₃) ) + … + (1/2)Δx (f(x_n-1) + f(x_n))

Efter forenkling får vi,

∫^b_-enf(x) dx≈ (Δx/2) (f(x₀)+2 f(x₁)+2 f(x₂)+2 f(x₃)+ … +2f(x_n-1) + f(x_n))

Dermed er trapezreglen bevist.

Hvordan anvender man trapezregel?

Trapezreglen finder arealet under kurven ved at opdele arealet under kurven i forskellige trapezer og derefter finde summen af alle trapezerne. Den trapezformede regel er ikke den perfekte tilnærmelse af værdien af det bestemte integral, da den bruger den kvadratiske tilnærmelse.

Vi skal finde værdien af det bestemte integral, ∫^b_-enf(x) dx. Værdien af det bestemte integral kan beregnes ved hjælp af trapezreglen ved at følge nedenstående trin,

Trin 1: Marker værdien af delintervaller, n og intervaller a og b.

Trin 2: Find bredden af underintervallet (△x) ved hjælp af formlen △x = (b – a)/n
kandidatnøgle

Trin 3: Indsæt alle værdierne i den trapezformede regelformel og find det omtrentlige areal af den givne kurve, som repræsenterer det bestemte integral ∫^b_-enf(x) dx

∫ ^b _-en f(x) dx ≈ (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

hvor, x _jeg = a + i△x

Summation Notation af trapezformede regel

Vi ved, at arealet af et trapez stort set er gennemsnittet af længderne af de parallelle sider ganget med højden. Så overvej i dette tilfælde en trapez for i^thinterval,

$A_{i} = frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Da det samlede areal er summen af alle arealerne,

A = A₁+ A₂+ ….+ A_n

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n} A_{i}$

⇒ A = $sum_{i = 1}^{i = n}frac{f(x_{i}) + f(x_{i-1})}{2}Delta x$

Dette kaldes sigma-notation eller summeringsnotation af trapez-summerne.

Riemann Summer

Riemann opsummerer arbejdet med ideen om at dykke området under kurven i forskellige rektangulære dele. Efterhånden som antallet af rektangler stiger, bliver området tættere og tættere på det aktuelle område. I figuren vist nedenfor er der en funktion f(x). Arealet under denne funktion er opdelt i mange rektangler. Det samlede areal under kurven er summen af arealerne af alle rektangler.

Bemærk, at i ovenstående figur rører den højre ende af rektanglerne kurven. Dette kaldes højre-Riemann-summer.

I et andet tilfælde, når den venstre ende af rektanglerne rører kurven som vist på billedet nedenfor, kaldes de venstre Riemann-summer.

Lad os sige, at Δx er bredden af intervalbredden, n er antallet af intervaller som angivet ovenfor. Så er arealet af kurven repræsenteret ved summen givet ved,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(x_{i})Delta x}$

Midtpunktsummer

I Riemann-summen rører enten den venstre ende eller den højre ende af rektanglet kurven. I dette tilfælde rører rektanglets midterpunkt kurven. Alt andet er det samme som Riemann summerer. Figuren nedenfor viser funktionen f(x) og forskellige rektangler i midtpunktsummerne.

Lad os sige A_jegangiver arealet af i^threktangel. Arealet af dette rektangel vil i dette tilfælde være,

$A_{i} = f(frac{x_i + x_{i-1}}{2}) Delta x$

Nu vil det samlede areal i summeringsnotationen blive givet af,

$old{A = sum^{i = n}_{i = 1}A_{i} = sum^{i = n}_{i = 1}f(frac{x_{i} + x_{ i-1}}{2})Delta x}$

Læs mere,

Integrationsformler
Integration efter dele
Differentierings- og integrationsformel

Løst eksempel på trapezregel

Eksempel 1: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

f(x) = 4

Løsning:

Her er a = 0, b = 4 og n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Den trapezformede regel for n = 4 er,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Ved at erstatte værdierne i denne ligning,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) = frac{1}{2}( f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) = frac{1}{2}(4 + 2(4) + 2(4) + 2(4) ) + 4) = 16$

Eksempel 2: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 3 med 3 intervaller.

f(x) = x

Løsning:

Her er a = 0, b = 3 og n = 3.
svæver i css

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Den trapezformede regel for n = 3 er,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Ved at erstatte værdierne i denne ligning,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2 + 2(2) + 2(3)) Højrepil T_n= frac{1}{2}(2 + 4 + 6) = 6$

Eksempel 3: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 2 med 2 intervaller.

f(x) = 2x

Løsning:

Her er a = 0, b = 2 og n = 2.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{2 - 0}{2} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Den trapezformede regel for n = 2 er,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2))$

Ved at erstatte værdierne i denne ligning,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + f(x_2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f(0) + 2f( 1) + f(2)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(2) + 1(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}( 8) = 4$

Eksempel 4: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 3 med 3 intervaller.

f(x) = x ²

Løsning:

Her er a = 0, b = 3 og n = 3.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{3 - 0}{3} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Den trapezformede regel for n = 3 er,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3))$

Ved at erstatte værdierne i denne ligning,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + f(x_3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(f( 0) + 2f(1) + 2f(2) + f(3)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(0 + 2(1) + 2(4) + 2(9)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(2 + 8 + 18) = 14$

Eksempel 5: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

f(x) = x ³ + 1

Løsning:

Her er a = 0, b = 4 og n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Den trapezformede regel for n = 4 er,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Ved at erstatte værdierne i denne ligning,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n = frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 2(2) + 2(9) + 2(28) + (65) ) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(1 + 4 + 18 + 56 + 65) Rightarrow T_n= 72$

Eksempel 6: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

f(x) = e ^x

Løsning:

Her er a = 0, b = 4 og n = 4.

$Delta x= frac{b - a}{n} = Delta x = frac{4 - 0}{4} = Delta x = 1$

$x_{i} = a + iDelta x = x_{i} = 0 + i = x_{i} = i$

Den trapezformede regel for n = 4 er,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4))$

Ved at erstatte værdierne i denne ligning,

$T_n = frac{Delta x}{2}(f(x_0) + 2f(x_1) + 2f(x_2) + 2f(x_3) + f(x_4)) Rightarrow T_n= frac{1}{ 2}(f(0) + 2f(1) + 2f(2) + 2f(3) + f(4)) Rightarrow T_n= frac{1}{2}(e^0 + 2e + 2e ^2 + 2e^3 + e^4 ) Rightarrow T_n= frac{1}{2} + e + e^2 + e^3 + frac{e^4}{2}$

Anvendelser af trapezreglen

Numerisk integration:

Den primære anvendelse af trapezreglen er tilnærmelse af bestemte integraler. Det bruges, når integrationen af en funktion er udfordrende, og en numerisk tilgang er mere gennemførlig. Den trapezformede reglen er ofte en del af mere avancerede numeriske integrationsteknikker.

Fysik og teknik:

I fysik og teknik kan trapezreglen anvendes til at beregne størrelser som forskydning, hastighed og acceleration. For eksempel, når eksperimentelle data indsamles med diskrete tidsintervaller, kan trapezreglen bruges til at estimere arealet under kurven, hvilket giver en tilnærmelse af integralet.

Økonomi og finans:

Den trapezformede regel kan anvendes i finansiel modellering til at estimere nutidsværdien af fremtidige pengestrømme. Dette er især nyttigt i diskonterede pengestrømsanalyser (DCF), hvor målet er at beregne nutidsværdien af en investering.

Statistikker:

I statistik kan den trapezformede reglen bruges til at estimere arealet under sandsynlighedstæthedsfunktioner eller kumulative fordelingsfunktioner. Dette er især nyttigt i tilfælde, hvor den nøjagtige form for distributionen er ukendt eller kompleks.

Ofte stillede spørgsmål om trapezregel

Q1: Hvad er trapezregel?

Svar:

Trapezreglen er reglen der bruges til at finde det bestemte integral den deler arealet under kurven op i flere trapezer og så findes deres individuelle areal og så beregnes summen for at få værdien af det bestemte integral.

Q2: Hvad er den trapezformede regelformel?

Svar:

Den trapezformede regel er,

∫ ^b _-en f(x) dx = (Δx/2) (f(x ₀ )+2 f(x ₁ )+2 f(x ₂ )+2 f(x ₃ )+ … +2f(x _n-1 ) + f(x _n ))

Spørgsmål 3: Hvorfor kaldes det en trapezformel?

Svar:

Trapezregelformel kaldes trapezreglen, fordi den deler arealet under kurven op i flere trapezer og derefter beregnes deres areal ved at finde summen af trapezerne.

Spørgsmål 4: Hvad er forskellen mellem Trapez-regel og Riemann Sums-regel?

Svar:

Den største forskel mellem Trapezreglen og Riemann Sums reglen er, da trapezreglen deler arealet under kurven som trapezerne og derefter finder arealet ved at tage deres sum, hvorimod Riemann Sums deler arealet under kurven som trapez og finder derefter området ved at tage deres sum.

TechCodeview

Trapezformet regel

Hvad er den trapezformede regel?

Trapezregelformel

Afledning af trapezformel

Udmelding:

Bevis:

Hvordan anvender man trapezregel?

Summation Notation af trapezformede regel

Riemann Summer

Midtpunktsummer

Løst eksempel på trapezregel

Eksempel 1: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

Eksempel 2: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 3 med 3 intervaller.

Eksempel 3: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 2 med 2 intervaller.

Eksempel 4: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 3 med 3 intervaller.

Eksempel 5: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

Eksempel 6: Find arealet omgivet af funktionen f(x) mellem x = 0 til x = 4 med 4 intervaller.

Anvendelser af trapezreglen

Numerisk integration:

Fysik og teknik:

Økonomi og finans:

Statistikker:

Ofte stillede spørgsmål om trapezregel

Q1: Hvad er trapezregel?

Q2: Hvad er den trapezformede regelformel?

Spørgsmål 3: Hvorfor kaldes det en trapezformel?

Spørgsmål 4: Hvad er forskellen mellem Trapez-regel og Riemann Sums-regel?