Trigonometri er en vigtig gren af ​​matematikken, der beskæftiger sig med forholdet mellem vinkler og længder af siderne i en retvinklet trekant. De seks trigonometriske forhold eller funktioner er sinus, cosinus, tangent, cosecant og sekant, og et trigonometrisk forhold er et forhold mellem siderne i en retvinklet trekant. Sinus-, cosinus- og tangensfunktioner er tre vigtige trigonometriske funktioner, da de tre andre, dvs. cosecant-, sekant- og cotangensfunktioner er de reciproke funktioner af henholdsvis sinus-, cosinus- og tangentfunktioner.

• sin θ = Modsat side/hypotenuse
• cos θ = Tilstødende side/Hypotenuse
• tan θ = Modsat side/tilstødende side
• cosec θ = Hypotenuse/Modsat side
• sek θ = Hypotenuse/tilstødende side
• barneseng θ = Tilstødende side/Modsatte side

Tangentfunktion er en af ​​de 6 trigonometriske funktioner, der bruges i trigonometriske formler .

Indholdsfortegnelse

• Tangent formel
• Nogle grundlæggende Tangent-formler
• Tangentfunktion i form af sinusfunktion
• Tangentfunktion i form af cosinusfunktion
• Tangent-funktion i form af Cotangent-funktion
• Tangent-funktion i form af Cosecant-funktion
• Tangentfunktion i form af sekantfunktion

Tangent formel

Tangent af en vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem længden af ​​den modsatte side og længden af ​​den tilstødende side til den givne vinkel. Vi skriver en tangentfunktion som tan. Lad os betragte en retvinklet trekant XYZ, og en af ​​dens spidse vinkler er θ. En modsat side er den side, der er modsat vinklen θ, og den tilstødende side er den side, der støder op til vinklen θ.

Nu er tangentformlen for den givne vinkel θ,

tan θ = Modsat side/tilstødende side

Nogle grundlæggende Tangent-formler

Tangentfunktion i kvadranter

Tangentfunktionen er positiv i første og tredje kvadrant og negativ i anden og fjerde kvadrant.

• tan (2π + θ) = tan θ (1^stkvadrant)
• tan (π – θ) = – tan θ (2^ndkvadrant)
• tan (π + θ) = tan θ (3^rdkvadrant)
• tan (2π – θ) = – tan θ (4^thkvadrant)

Tangentfunktion som en negativ funktion

Tangentfunktionen er en negativ funktion, da tangenten af ​​en negativ vinkel er den negative af en tangent positiv vinkel.

tan (-θ) = – tan θ

Tangentfunktion i form af sinus- og cosinusfunktion

Tangentfunktion i form af sinus- og cosinusfunktioner kan skrives som,

tan θ = sin θ/cos θ

Vi ved, at tan θ = Modsat side/tilstødende side

Divider nu både tælleren og nævneren med hypotenusen

tan θ = (modsat side/hypotenuse)/(tilstødende side/hypotenuse)

Vi ved, at sin θ = modsatte side/hypotenuse

cos θ = tilstødende side/hypotenuse

Derfor er tan θ = sin θ/cos θ

Tangentfunktion i form af sinusfunktion

Tangentfunktion i form af sinusfunktionen kan skrives som,

tan θ = sin θ/(√1 – sin ² jeg)

Vi ved det,

tan θ = sin θ/cos θ

kø og prioritetskø i java

Fra de pythagoræiske identiteter har vi,

uden²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²jeg

cos θ = √(1 – sin²jeg)

Derfor er tan θ = sin θ/(√1 – sin²jeg)

Tangentfunktion i form af cosinusfunktion

Tangentfunktion i form af cosinusfunktionen kan skrives som,

tan θ = (√1 -cos ² i)/cos i

Vi ved det,

tan θ = sin θ/cos θ

Fra de pythagoræiske identiteter har vi,

uden²θ + cos²θ = 1

uden²θ = 1 – cos²jeg

sin θ = √(1 – cos²jeg)

Derfor er tan θ = (√1 – cos²i)/cos i

Tangent-funktion i form af Cotangent-funktion

Tangentfunktion med hensyn til cotangensfunktionen kan skrives som,

tan θ = 1/seng θ

eller

tan θ = tremmeseng (90° – θ) (eller) tremmeseng (π/2 – θ)

Tangent-funktion i form af Cosecant-funktion

Tangentfunktion i form af cosecant-funktionen kan skrives som,

tan θ = 1/√(cosec ² i – 1)

Fra de pythagoræiske identiteter har vi,

cosec²θ – barneseng²θ = 1

barneseng²θ = cosec²i – 1

barneseng θ = √(kossek²i – 1)

Vi ved det,

tan θ = 1/seng θ

Derfor er tan θ = 1/√(cosec²i – 1)

Tangentfunktion i form af sekantfunktion

Tangentfunktion med hensyn til sekantfunktionen kan skrives som,

tan θ = √sek ² i – 1

Fra de pythagoræiske identiteter har vi,

sek²θ – altså²θ = 1

tan θ = sek²i – 1

Derfor er tan θ = √(sek²i – 1)

Tangent funktion i form af dobbelt vinkel

Tangentfunktion for en dobbelt vinkel er,

tan 2θ = (2 tan θ)/(1 – tan ² jeg)

Tangentfunktion i form af tredobbelt vinkel

Tangentfunktion for en tredobbelt vinkel er,

tan 3θ = (3 tan θ – tan ³ θ) / (1 – 3 tan ² jeg)

Tangentfunktion i form af halvvinkel

Tangentfunktion for en halv vinkel er,

tan (θ/2) = ± √[ (1 – cos θ) / (1 + cos θ) ]

tan (θ/2) = (1 – cos θ) / ( sin θ)

Tangentfunktion i form af addition og subtraktion af to vinkler

Sum- og differensformler for en tangentfunktion er,

tan (A + B) = (tan A + tan B)/(1 – tan A tan B)

tan (A – B) = (tan A – tan B)/(1 + tan A tan B)

Trigonometrisk forholdstabel

Løst eksempel på Tangent-formler

Eksempel 1: Find værdien af ​​tan θ hvis sin θ = 2/5 og θ er den første kvadrantvinkel.

Løsning:

givet,

• sin θ = 2/5

Fra de pythagoræiske identiteter, vi har,

uden²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (2/5)²

cos²θ = 1 – (4/5) = 21/25

cos θ = ±√21/5

Da θ er den første kvadrantvinkel, er cos θ positiv.

cos θ = √21/5

Vi ved det,

tan θ = sin θ/cos θ

= (2/5)/(√21/5) = 2/√21

tan θ = 2√21/21

Så værdien af ​​tan θ når sin θ = 2/5 og θ er i første kvadrant er (2√21) /(21)

Eksempel 2: Find værdien af ​​tan x hvis sek x = 13/12 og x er den fjerde kvadrantvinkel.

Løsning:

Givet, sek x = 13/12

Fra de pythagoræiske identiteter har vi,

sek²x – altså²x = 1

så²x = sek²x – 1= (13/12)²- 1

så²x = (169/144) – 1 = 25/144

tan x = ± 5/12

Da x er den fjerde kvadrantvinkel, er tan x negativ.

tan x = – 5/12

Derfor, tan x = – 5/12

Eksempel 3: Hvis tan X = 2/3 og tan Y = 1/2, hvad er så værdien af ​​tan (X + Y)?

Løsning:

givet,

tan X = 2/3 og tan Y = 1/2

Vi ved det,

tan (X + Y) = (tan X + tan Y)/(1 – tan X tan Y)

tan (X + Y) = [(2/3) + (1/2)]/[1 – (2/3)×(1/2)]

= (7/6)/(2/3) = 7/4

Derfor, tan(X + Y) = 7/4

Eksempel 4: Beregn tangentfunktionen, hvis de tilstødende og modstående sider af en retvinklet trekant er henholdsvis 4 cm og 7 cm.

Løsning:

konverter strengdato

givet,

Tilstødende side = 4 cm

Modsatte side = 7 cm

Vi ved det,

tan θ = Modsat side/tilstødende side

tan 6 = 7/4 = 1,75

Derfor, tan θ = 1,75

Eksempel 5: En mand ser på et klokketårn i en vinkel på 60° til toppen af ​​tårnet, hvis højde er 100 m. Hvad er afstanden mellem manden og foden af ​​tårnet?

Løsning:

givet,

Tårnets højde = 100 m og θ = 60°

Lad afstanden mellem mennesket og foden af ​​tårnet = d

Vi har,

tan θ = Modsat side/tilstødende side

brun 60° = 100/d

√3 = 100/d [Siden, så 60° = √3]

d = 100/√3

Derfor er afstanden mellem manden og foden af ​​tårnet 100/√3

Eksempel 6: Find værdien af ​​tan θ hvis sin θ = 7/25 og sek θ = 25/24.

Løsning:

givet,

sin θ = 7/25

sek θ = 25/24

Vi ved det,

sek θ = 1/cos θ

25/24 = 1/cos θ cos θ = 24/25

Vi har,

tan θ = sin θ/cos θ

= (7/25)/(24/25)

= 7/24

Derfor, tan θ = 7/24

Eksempel 7: Find værdien af ​​tan θ hvis cosec θ = 5/3, og θ er den første kvadrantvinkel.

Løsning:

Givet, cosec θ = 5/3

Fra de pythagoræiske identiteter har vi,

string.format java

cosec²θ – barneseng²θ = 1

barneseng²θ = cosec²i – 1

barneseng θ = (5/3)²– 1 = (25/9) – 1 = 16/9

barneseng θ = ±√16/9 = ± 4/3

Da θ er den første kvadrantvinkel, er både cotangens- og tangentfunktioner positive.

barneseng θ = 4/3

Vi ved det,

barneseng θ = 1/tan θ

4/3 = 1/tanθ

tan θ = 3/4

Derfor, tan θ = 3/4

Eksempel 8: Find tan 3θ hvis sin θ = 3/7 og θ er den første kvadrantvinkel.

Løsning :

Givet, sin θ = 12/13

Fra de pythagoræiske identiteter, vi har,

uden²θ + cos²θ = 1

cos²θ = 1 – sin²θ = 1 – (12/13)²

cos2 θ = 1 – (144/169) = 25/169

cos θ = ±√25/169 = ±5/13

Da θ er den første kvadrantvinkel, er cos θ positiv.

cos θ = 5/13

Vi ved det,

tan θ = sin θ/cos θ

= (12/25)/(5/13) = 12/5

Derfor er tan θ = 12/5

Nu ved vi det,

tan 3θ = (3 tan θ – tan3θ) / (1 – 3 tan2θ)

tan 3θ = 3 × (12/5)