Rang af en matrix er defineret som dimensionen af ​​vektorrummet dannet af dets søjler. Rang af en matrix er et meget vigtigt begreb inden for lineær algebra, da det hjælper os til at vide, om vi kan finde en løsning på ligningssystemet eller ej. Rang af en matrix hjælper os også med at kende dimensionaliteten af ​​dens vektorrum.

Denne artikel udforsker begrebet rang af en matrix i detaljer, herunder dens definition, hvordan man beregner rangeringen af ​​matrixen samt en nullitet og dens relation til rang. Vi vil også lære, hvordan man løser nogle problemer baseret på rangeringen af ​​en matrix. Så lad os starte med definitionen af ​​matrixens rangering først.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er Rank of Matrix?
• Hvordan beregner man rang af en matrix?
• Egenskaber for Rank of Matrix
• Eksempler på rang af en matrix
• Ofte stillede spørgsmål

Hvad er Rank of Matrix?

Rang af en matrix er et grundlæggende koncept i lineær algebra, som måler det maksimale antal lineært uafhængige rækker eller kolonner i enhver matrix. Med andre ord fortæller den dig, hvor mange af rækkerne eller kolonnerne i en matrix, der ikke er nyttige og bidrager til den overordnede information eller dimensionalitet af matrixen. Lad os definere rangeringen af ​​en matrix.

Rang af en Matrix Definition

Rang af en matrix er defineret som antallet af lineært uafhængige rækker i en matrix .

vikas diviakirti

Det er angivet ved hjælp af ρ(A), hvor A er en hvilken som helst matrix. Således er antallet af rækker i en matrix en grænse for rangeringen af ​​matrixen, hvilket betyder, at matrixens rang ikke kan overstige det samlede antal rækker i en matrix.

For eksempel, hvis en matrix er af størrelsesordenen 3×3, kan den maksimale rang af en matrix være 3.

Bemærk: Hvis en matrix har alle rækker med nul elementer, så siges rangen af ​​en matrix at være nul.

Nullitet af Matrix

I en given matrix kaldes antallet af vektorer i nulrummet for matricens nullitet, eller det kan også defineres som dimensionen af ​​nulrummet i den givne matrix.

Samlet antal kolonner i en matrix = Rangering + Nullitet

Læs mere om Nullitetssætning for rang .

Hvordan beregner man rang af en matrix?

Der er 3 metoder, som kan bruges til at få rangeringen af ​​en given matrix. Disse metoder er som følger:

• Mindre metode
• Brug af Echelon Form
• Brug af normal form

Lad os diskutere disse metoder i detaljer.

Mindre metode

Forudsætning: Mindreårige af Matrix

For at finde rangeringen af ​​en matrix ved hjælp af mindre metode, følges følgende trin:

• Beregn determinanten af ​​matricen (f.eks. A). Hvis det(A) ≠ 0, så rækkefølgen af ​​matrix A = rækkefølgen af ​​matrix A.
• Hvis det(A) = 0, så er matrixens rangorden lig med rækkefølgen af ​​den maksimalt mulige ikke-nul-minor af matrixen.

Lad os forstå, hvordan man finder rangeringen af ​​matrix ved hjælp af mindre metode.

Eksempel: Find rangeringen af ​​matrix egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix} ved hjælp af mindre metode.

GivetA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 7 end{bmatrix}

• Trin 1: Beregn determinanten for A

it(A) = 1 (35 – 48) – 2 (28 – 42) + 3 (32 – 35)

it(A) = -13 + 28 + 9 = 24

• Da det(A) ≠ 0, ρ(A) = rækkefølgen af ​​A = 3

Brug af Echelon Form

Den mindre metode bliver meget trættende, hvis rækkefølgen af ​​matrixen er meget stor. Så i dette tilfælde konverterer vi matrixen til Echelon Form. En matrix, der er inde øvre trekantet form eller nedre trekantet form anses for at være i Echelon-form. En matrix kan konverteres til sin Echelon-form ved at bruge elementære rækkeoperationer . Følgende trin følges for at beregne rangeringen af ​​en matrix ved hjælp af Echelon-formen:

• Konverter den givne matrix til dens Echelon-form.
• Antallet af rækker, der ikke er nul, opnået i Echelon-formen af ​​matrixen er rangeringen af ​​matrixen.

Lad os forstå, hvordan man finder rangeringen af ​​matrix ved hjælp af mindre metode.

Eksempel: Find rangeringen af ​​matrix egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix} ved hjælp af Echelon form metode.

GivetA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9 end{bmatrix}

• Trin 1: Konverter A til echelonform

Påfør R₂= R₂– 4R₁

Påfør R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & -6 & -12 end{bmatrix}

Påfør R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 3 0 & -3 & -6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Da matrix A nu er i lavere trekantet form, er den i Echelon-form.

• Trin 2: Antal rækker, der ikke er nul i A = 2. Således ρ(A) = 2

Brug af normal form

En matrix siges at være i normal form, hvis den kan reduceres til formen egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} . Her jeg_rrepræsenterer identitetsmatrixen af ​​orden r. Hvis en matrix kan konverteres til sin normale form, så siges rangen af ​​matrixen at være r.

Lad os forstå, hvordan man finder rangeringen af ​​matrix ved hjælp af mindre metode.

Eksempel: Find rangeringen af ​​matrix old{egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}} ved hjælp af normal form metode.

GivetA = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 1 & 3 & 2 & 2 2 & 4 & 3 & 4 3 & 7 & 4 & 6 end{bmatrix}

Påfør R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁og R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁– 2R₂og R₄= R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & 2 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁+ R₃og R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Anvend C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

A kan således skrives som egin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix} .

Således er ρ(A) = 3

linkedlist java

Egenskaber for Rank of Matrix

Egenskaber for rang af matrix er som følger:

• Rangeringen af ​​en matrix er lig med rækkefølgen af ​​matrixen, hvis den er en ikke-singular matrix.
• Rangeringen af ​​en matrix er lig med antallet af rækker, der ikke er nul, hvis den er i Echelon-form.
• Rang af matrix er lig med rækkefølgen af ​​identitetsmatrix i den, hvis den er i normal form.
• Rang af matrix
• Rang af matrix
• Identitetsmatrixens rang er lig med rækkefølgen af ​​identitetsmatrixen.
• Rangeringen af ​​en nulmatrix eller en nulmatrix er nul.

Læs mere,

• Typer af matricer
• Transponering af en matrix
• Omvendt af Matrix

Eksempler på rang af en matrix

OG eksempel 1: Find rangeringen af ​​matrix old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}} ved hjælp af mindre metode.

Løsning:

GivetA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -7 end{bmatrix}

Trin 1: Beregn determinanten for A

it(A) = -1 (35 – 48) + 2 (28 – 42) – 3 (32 – 35)

it(A) = 13 – 28 – 9 = -24

Da det(A) ≠ 0, ρ(A) = rækkefølgen af ​​A = 3

Eksempel 2. Find rangeringen af ​​matrix old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}} ved hjælp af mindre metode.

Løsning:

GivetA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 0 end{bmatrix}

Trin 1: Beregn determinanten for A

it(A) = 2(0-192) – 4(0-168) + 6(128-140)

it(A) = -384 + 672 – 72 = 216

Da det(A) ≠ 0, ρ(A) = rækkefølgen af ​​A = 3

Eksempel 3. Find rangeringen af ​​matrix old{egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}} ved hjælp af Echelon form metode.

streng til int java

Løsning:

GivetA = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 -4 & -5 & -6 -7 & -8 & -9 end{bmatrix}

Trin 1: Konverter A til echelonform

Påfør R₂= R₂– 4R₁

Påfør R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 6 & 12 end{bmatrix}

Påfør R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} -1 & -2 & -3 0 & 3 & 6 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Da matrix A nu er i lavere trekantet form, er den i Echelon-form.

Trin 2: Antal rækker, der ikke er nul i A = 2. Således ρ(A) = 2

Eksempel 4. Find rangeringen af ​​matrix old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}} ved hjælp af Echelon form metode.

Løsning:

GivetA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 8 & 10 & 12 14 & 16 & 18 end{bmatrix}

Trin 1: Konverter A til echelonform

Påfør R₂= R₂– 4R₁

Påfør R₃= R₃– 7R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & -12 & -24 end{bmatrix}

Påfør R₃= R₃– 2R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 6 0 & -6 & -12 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Da matrix A nu er i lavere trekantet form, er den i Echelon-form.

Trin 2: Antal rækker, der ikke er nul i A = 2. Således ρ(A) = 2

Eksempel 5. Find rangeringen af ​​matrix old{egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}} ved hjælp af normal form metode.

Løsning:

GivetA = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 2 & 6 & 4 & 4 4 & 8 & 6 & 8 6 & 14 & 8 & 12 end{bmatrix}

Påfør R₂= R₂– R₁, R₃= R₃– 2R₁og R₄= R₄– 3R₁

A = egin{bmatrix} 2 & 4 & 2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 2 & 2 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁– 2R₂og R4 = R₄– R₂

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & -2 & 4 0 & 2 & 2 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁+ R₃og R₂= R₂– R₃

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 4 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Anvend C₄→ C₄-2C₁

A = egin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 0 & 2 & 0 & 0 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Påfør R₁= R₁/2, R₂= R₂/2, R₃= R₃/2

A = egin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

A kan således skrives somegin{bmatrix} I_3 & 0 0 & 0 end{bmatrix}

Således er ρ(A) = 3

Rang af en matrix – ofte stillede spørgsmål

Definer rang af en matrix.

Rang af en matrix er defineret som antallet af lineært uafhængige rækker i en matrix. Det er angivet ved hjælp af ρ(A), hvor A er en hvilken som helst matrix.

Hvordan finder man rangeringen af ​​en matrix?

Rang af matrix kan beregnes ved hjælp af forskellige metoder såsom:

• Mindre metode
• Brug af Echelon Form
• Brug af normal form

Hvad er rangeringen af ​​matrix, hvis determinant af matrix ikke er lig med nul?

Hvis determinanten for en matrix er nul, så er matrixens rangorden lig med matrixens rækkefølge.

Hvornår siges en Matrix at være i Echelon-form?

En matrix, som er i øvre trekantet form eller i nederste trekantede form, siges at være i echelonform.

Hvad er normal form af matrixen?

En matrix siges at være i normal form, hvis den kan skrives som egin{bmatrix} I_r & 0 0 & 0 end{bmatrix} hvor jeg_rer identitetsmatrixen af ​​ordenen 'r'.

Hvad er rangeringen af ​​Null Matrix?

Rangeringen af ​​en nulmatrix er nul.

Hvad er rangeringen af ​​en identitetsmatrix?

Rangeringen af ​​en identitetsmatrix er lig med rækkefølgen af ​​matrixen.

hvilken samling i java

Hvad er forholdet mellem ugyldighed og rang af en matrix?

Forholdet mellem ugyldighed og rang af en matrix er:

Samlet antal kolonner i en matrix = Rangering + Nullitet