Algebra er et af de grundlæggende emner i matematik. Polynomier er en væsentlig del af algebra. Vietas formel bruges i polynomier. Denne artikel handler om Vietas formel, som relaterer summen og produktet af rødder til polynomiets koefficient. Denne formel bruges specifikt i algebra.

Vietas formel

Vietas formler er de formler, der giver sammenhængen mellem summen og produktet af polynomiets rødder med polynomiets koefficienter. Vietas formel beskriver polynomiets koefficienter i form af summen og produktet af dets rod.

Vietas formel

Vietas formel omhandler summen og produktet af rødderne og koefficienten for polynomiet. Det bruges, når vi skal finde polynomiet, når der er givet rødder, eller vi skal finde summen eller produktet af rødderne.

Vietas formel for andengradsligning

• Hvis f(x) = ax ² + bx + c er en andengradsligning med rødder -en og b derefter,
  • Summen af ​​rødder = α + β = -b/a
  • Produkt af rødder = αβ = c/a
• Hvis summen og produktet af rødder er givet, er andengradsligningen givet ved:
  • x ² – (sum af rødder) x + (produkt af rødder) = 0

Vietas formel for den kubiske ligning

• Hvis f(x) = ax ³ + bx ² + cx +d er en andengradsligning med rødder a, b og c derefter,
  • Summen af ​​rødder = α + β + γ = -b/a
  • Summen af ​​produktet af to rødder = αβ + αγ + βγ = c/a
  • Produkt af rødder = αβγ = -d/a
• Hvis summen og produktet af rødder er givet, er den kubiske ligning givet ved:
  • x ³ – (sum af rødder)x ² + (sum af produktet af to rødder) x – (produkt af rødder) = 0

Vietas formel for generaliseret ligning

Hvis f(x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 + ……… + a ₂ x ² + a ₁ x +a ₀ er en andengradsligning med rødder r ₁ , r ₂ , r ₃ , …… r _n-1 , r _n derefter,

r ₁ + r ₂ + r ₃ +………. + r _n-1 + r _n = -a _n-1 /en _n

(r ₁ r ₂ + r ₁ r ₃ +…. +r ₁ r _n ) + (r ₂ r ₃ + r ₂ r ₄ +……. +r ₂ r _n ) + ……… + r _n-1 r _n = a _n-2 /en _n

:

:

r ₁ r ₂ …r _n = (-1) ⁿ (en ₀ /en _n )

Prøveproblemer

Opgave 1: Hvis α , β er rødderne til ligningen : x ² – 10x + 5 = 0 , find derefter værdien af ​​(α ² + b ² )/(en ² b + ab ² ).

Løsning:

Givet Ligning:

array c streng

• x²– 10x + 5 = 0

Af Vita's Formel

a + b = -b/a = -(-10)/1 = 10

αβ = c/a = 5/1 = 5

Som en²+b²) = (a + b)²– 2ab

= (10)²– 2×5

understreng java

= 100 – 10

(en²+b²) = 90

Nu værdi af (α²+ b²)/(en²b + ab²)

= (a²+ b²)/(αβ(α + β))

= 90/(5×10)

= 90/50

= 1.8

Opgave 2: Hvis α , β er rødderne til ligningen : x ² + 7x + 2 = 0 , find derefter værdien af ​​14÷(1/α + 1/ β).

Løsning:

Givet ligning:

• x²+ 7x + 2 = 0

Af Vita's Formel

a + b = -b/a = -7/1 = -7

αβ = c/a = 2/1 = 2

Nu, (1/α + 1/β) = (α + β)/αβ

(1/a + 1/b) = -7/2

Nu værdi af 14÷(1/α + 1/ β)

= 14 ÷ (-7/2)

= 14 × (-2/7)

= -4

Opgave 3: Hvis α , β er rødderne til ligningen : x ² + 10x + 2 = 0 , find derefter værdien af ​​(α/β + β/α).

Løsning:

Givet ligning:

• x²+ 10x + 2 = 0

Af Vita's Formel

a + b = -b/a = 10/1 = 10

αβ = c/a = 2/1 = 2

Som en²+b²) = (a + b)²– 2ab

= 10²– 2×2

= 100 – 4

= 96

Nu værdi af (a/b + b/a) = (a²+b²)/ab

= 96/2

c++ int til streng

= 48

Opgave 4: Hvis α og β er ligningens rødder og givet at α + β = -100 og αβ = -20, så find andengradsligningen.

Løsning:

givet,

• Summen af ​​rødder = α + β = -100
• Produkt af rødder = αβ = -20

Kvadratisk ligning er givet ved:

x²– (sum af rødder) x + (produkt af rødder) = 0

x²– (-100)x + (-20) = 0

x ² + 100x – 20 = 0

Opgave 5: Hvis α , β og γ er ligningens rødder og givet, at α + β + γ= 10, αβ + αγ + βγ = -1 og αβ γ = -6, så find den kubiske ligning.

Løsning:

givet,

• Summen af ​​rødder = α + β + γ = 10,
• Summen af ​​produktet af to rødder = αβ + αγ + βγ = -1
• Produkt af rødder = gns. = -6

Kubisk ligning er givet ved:

x³– (sum af rødder)x²+ (sum af produktet af to rødder) x – (produkt af rødder) = 0

x³– 10x²+ (-1)x – (-6) = 0

x ³ – 10x ² – x + 6 = 0

string sammenligne java

Opgave 6: Hvis α , β og γ er rødderne til ligningen x ³ + 1569x ² – 3 = 0, find derefter værdien af ​​[(1/α) + (1/β )] ³ + [(1/c) + (1/b )] ³ + [(1/c) + (1/a )] ³

Løsning:

givet,

• Summen af ​​rødder = α + β + γ= -b/a = -1569/1 = -1569
• Summen af ​​produktet af to rødder = αβ + αγ + βγ = c/a = 0/1 = 0
• Produkt af rødder = αβγ = -d/a = -(-3)/1 = 3

Siden, (s³+ q³+ r³– 3pqr) = (p + q + r)(s²+q²+ r²– pq – qr – pr) ……(1)

Lad, p = (1/a) + (1/b), q = (1/c) + (1/b), r = (1/c) + (1/a)

streng indeholder

p + q + r = 2[(1/α) + (1/β) + (1/γ) ] = 2(αβ + αγ + βγ)/αβγ

= 2(0/3) = 0

Fra ligning (1):

(s³+ q³+ r³– 3pqr) = 0

s³+ q³+ r³= 3pqr

[(1/a) + (1/b )]³+ [(1/c) + (1/b )]³+ [(1/c) + (1/a )]³= 3[(1/a) + (1/b)][(1/c) + (1/b)][(1/c) + (1/a)]

= 3(-1/c)(-1/a) (-1/b)

= -3/gennemsnit = -3/3

= -1

Opgave 7: Hvis α og β er rødderne til ligningen x ² – 3x +2 =0 find derefter værdien af ​​α ² – b ² .

Løsning:

givet,

• Summen af ​​rødder = α + β = -b/a = -(-3)/1 = 3
• Produkt af rødder = αβγ = c/a = 2/1 = 2

Som (a – b)²= (a + b)²-4ab

(a – b)²= (3)²– 4(2) = 9 – 8 = 1

(a – b) = 1

Siden,

-en²– b²= (a – b)(a + b) = (1)(3) = 3

-en ² – b ² = 3