En graf siges at være plan, hvis den kan tegnes i et plan, så ingen kant krydser.

Eksempel: Grafen vist i fig. er plan graf.

fang og prøv java

Region af en graf: Betragt en plan graf G=(V,E). Et område er defineret som et område af planet, der er afgrænset af kanter og ikke kan underinddeles yderligere. En plan graf opdeler planerne i en eller flere regioner. En af disse regioner vil være uendelig.

Finite Region: Hvis området i området er begrænset, kaldes det område for et begrænset område.

Uendelig region: Hvis området i området er uendeligt, kaldes det et uendeligt område. En plan graf har kun et uendeligt område.

Eksempel: Overvej grafen vist i fig. Bestem antallet af områder, endelige områder og et uendeligt område.

Løsning: Der er fem regioner i ovenstående graf, dvs₁,r₂,r₃,r₄,r₅.

Der er fire endelige områder i grafen, dvs. r₂,r₃,r₄,r₅.

Der er kun én endelig region, dvs. r₁

Egenskaber for plane grafer:

1. Hvis en forbundet plan graf G har e kanter og r områder, så er r ≦ Det er.
2. Hvis en forbundet plan graf G har e kanter, v hjørner og r områder, så er v-e+r=2.
3. Hvis en forbundet plan graf G har e kanter og v spidser, så 3v-e≧6.
4. En komplet graf K_ner en plan hvis og kun hvis n<5.< li>
5. En komplet todelt graf K_mner plan hvis og kun hvis m3.

Eksempel: Bevis den komplette graf K₄er plan.

Løsning: Den komplette graf K₄indeholder 4 hjørner og 6 kanter.

Vi ved, at for en forbundet plan graf 3v-e≧6. Derfor for K₄, vi har 3x4-6=6 som opfylder ejendommen (3).

tekstindpakning css

Således K₄er en plan graf. Derfor bevist.

Ikke-planart graf:

En graf siges at være ikke-plan, hvis den ikke kan tegnes i et plan, så ingen kant krydser.

Eksempel: Graferne vist i fig. er ikke-plane grafer.

Disse grafer kan ikke tegnes i et plan, så ingen kanter krydser, derfor er de ikke-plane grafer.

Egenskaber for ikke-planære grafer:

En graf er ikke-plan, hvis og kun hvis den indeholder en subgraf, der er homøomorf til K₅eller K_3.3

inorder gennemkøring

Eksempel 1: Vis at K₅er ikke-plan.

Løsning: Den komplette graf K₅indeholder 5 hjørner og 10 kanter.

Nu, for en forbundet plan graf 3v-e≧6.

Derfor for K₅, vi har 3 x 5-10=5 (som ikke opfylder egenskab 3, fordi den skal være større end eller lig med 6).

Således K₅er en ikke-plan graf.

Eksempel 2: Vis, at graferne vist i fig er ikke-plane ved at finde en subgraf, der er homøomorf til K₅eller K_3.3.

Løsning: Hvis vi fjerner kanterne (V₁,I₄),(I₃,I₄) og (V₅,I₄) grafen G₁, bliver homøomorf til K₅.Derfor er den ikke-plan.

Hvis vi fjerner kanten V_2,V7) grafen G₂bliver homøomorf for K_3.3.Derfor er det en ikke-plan.

Graffarvning:

Antag, at G= (V,E) er en graf uden flere kanter. En toppunktfarvning af G er en tildeling af farver til toppunkterne på G, således at tilstødende toppunkter har forskellige farver. En graf G er M-farverbar, hvis der findes en farve af G, som bruger M-farver.

Korrekt farve: En farve er korrekt, hvis to tilstødende hjørner u og v har forskellige farver ellers kaldes det forkert farve.

Eksempel: Overvej følgende graf og farve C={r, w, b, y}. Farv grafen korrekt med alle farver eller færre farver.

Grafen vist i fig er mindst 3-farverbar, derfor x(G)=3

Løsning: Fig. viser grafen korrekt farvet med alle fire farver.

Fig. viser grafen korrekt farvet med tre farver.

Kromatisk antal G: Det mindste antal farver, der er nødvendige for at producere en korrekt farvning af en graf G, kaldes det kromatiske antal G og er angivet med x(G).

palindrom nummer

Eksempel: Det kromatiske antal K_ner n.

Løsning: En farve af K_nkan konstrueres ved hjælp af n farver ved at tildele forskellige farver til hvert toppunkt. Ikke to hjørner kan tildeles de samme farver, da hver to hjørner af denne graf er tilstødende. Derfor det kromatiske antal K_n=n.

Anvendelser af graffarvning

Nogle anvendelser af graffarvning inkluderer:

• Registertildeling
• Kort farvelægning
• Todelt grafkontrol
• Mobilradiofrekvenstildeling
• Udarbejdelse af tidsplan mv.

Angiv og bevis Handshaking Theorem.

Håndtrykssætning: Summen af ​​grader af alle hjørnerne i en graf G er lig med det dobbelte af antallet af kanter i grafen.

Matematisk kan det siges som:

∑_v∈Vgrader(v)=2e

Bevis: Lad G = (V, E) være en graf, hvor V = {v₁,i₂, . . . . . . . . . .} være mængden af ​​toppunkter og E = {e₁,Det er₂. . . . . . . . . .} være sæt af kanter. Vi ved, at hver kant ligger mellem to toppunkter, så det giver grad et til hvert toppunkt. Derfor bidrager hver kant med grad to for grafen. Så summen af ​​grader af alle hjørner er lig med det dobbelte af antallet af kanter i G.

Derfor ∑_v∈Vgrader(v)=2e

er model examples