Midtpunktsformlen er ((x 1 + x 2 )/2 og 1 + og 2 )/2). Koordinaterne for de to punkter er (x1, og1) og (x2, og2) henholdsvis, og midtpunktet er et punkt, der ligger halvvejs mellem disse to punkter.
Mid Point er et grundlæggende koncept inden for koordinatgeometri. Det spiller en afgørende rolle i at finde midtpunktet af et linjestykke. Der er tilfælde i koordinatgeometri, hvor vi skal kende midtpunktet af to givne punkter eller midtpunktet af et linjestykke. I dette tilfælde bruger vi Mid Point-formel, da det er en enkel og effektiv måde at beregne midtpunktet af et givet linjestykke, uanset dets længde eller position på koordinatplanet.
Vi har dækket Mid Point Formula i detaljer med dens udledning ved hjælp af trekanters lighed. Sammen med det har vi kurateret de løste eksempler på Mid Point Formula.
Midtpunktsdefinition
Det punkt, der deler linjen nøjagtigt i to lige store halvdele, er linjens midtpunkt. Med andre ord er forholdet mellem begge halvdele af linjen, hvor midtpunktet deler den, 1:1.
Midtpunkt på linjen
Formel for Mid Point of Line
For et linjestykke AB i kartesiske koordinater, hvor x-aksens koordinat for punkt A er x1og y-aksens koordinat for punkt A er y1og på samme måde er x-aksens koordinat for punkt B x2og y-aksens koordinat for punkt B er y2,linjens midtpunkt vil være givet ved (xm, ogm).
Formlen for midtpunktet (xm, ogm) er:
latex skriftstørrelser
Midtpunktsformel
Afledning af Mid Point Formel
Lad P(x1,og1) og Q(x2,og2) være de to ender af en given linje i en koordinatplan, og R(x,y) er punktet på den linje, der deler PQ i forholdet m1:m2sådan at
PR/RQ = m1/m2. . .(1)
Afledning af Mid Point Formel
Tegn linjerne PM, QN og RL vinkelret på x-aksen og gennem R, tegn en ret linje parallelt med x-aksen for at møde MP ved S og NQ ved T.
Derfor kan vi ud fra figuren sige:
SR = ML = OL – OM = x – x1. . . (2)
RT = LN = TIL – Ol = x2- x . . . (3)
PS = MS – MP = LR – MP = y – y1. . . (4)
TQ = NQ – NT = NQ – LR = y2- og . . . (5)
Nu trekant ∆ SPR ligner trekant ∆TQR .
Derfor,
SR/RT = PR/RQ
Ved at bruge ligning 2, 3 og 1 ved vi:
x – x1/ x2– x = m1/ m2
⇒ m2x – m2x1= m1x2– m1x
⇒ m1x + m2x = m1x2+ m2x1
⇒ (m1+ m2)x = m1x2+ m2x1
⇒ x = (m1x2+ m2x1) / (m1+ m2)
Nu trekant ∆ SPR svarer til trekant ∆ TQR,
Derfor,
PS/TQ = PR/RQ
Ved at bruge ligning 4, 5 og 1 ved vi:
og – og1/ og2– y = m1/ m2
⇒ m2y – m2og1= m1og2– m1og
⇒ m1y + m2y = m1og2+ m2og1
⇒ (m1+ m2)y = m1og2+ m2og1
⇒ y = (m1og2+ m2og1) / (m1+ m2)
Derfor er koordinaterne for R(x,y):
R(x, y) = (m 1 x 2 + m 2 x 1 ) / (m 1 + m 2 ), (m 1 og 2 + m 2 og 1 ) / (m 1 + m 2 )
Da vi skulle beregne midtpunktet, beholder vi værdierne både af m1og m2som samme dvs.
For midtpunktet kender vi ved definitionen af midtpunkt, m1= m2= 1.
(x, y) = ((1,x2+ 1.x1) / (1 + 1), (1.år2+ 1.år1) / (1 + 1))
x, y = (x 2 + x 1 ) / 2 og 2 + og 1 ) / 2
Hvordan finder man Mid Point?
For at finde koordinaterne til midtpunktet af et givet linjestykke kan vi bruge midtpunktsformlen, hvis endepunkterne for linjestykket er givet. Overvej følgende eksempel for det samme.
Eksempel: Find koordinaterne for midtpunktet af et linjestykke, hvis endepunkter er (5, 6) og (-3, 4).
Løsning:
Som vi ved, er midtpunktet af et linjestykke givet af formlen:
Midtpunkt = ((x1+x2)/2 og1+y2)/2)
hvor (x1, og1) og (x2, og2) er koordinaterne for endepunkterne for linjestykket.
Midtpunkt = ((5+(-3))/2, (6+4)/2)
⇒ Midtpunkt = (2/2, 10/2)
⇒ Midtpunkt = (1, 5)
Derfor er koordinaterne for midtpunktet af linjestykket (1, 5).
Relateret formel
Der er lignende formler til midtpunktsformlen, som er som følger:
- Sektionsformel
- Centroid formel
Sektionsformel
Sektionsformel bruges til at finde koordinaten for det punkt, som deler det givne linjestykke i det ønskede forhold. Lad os antage, at endepunkterne for et linjestykke er A og B med koordinater (x 1 , og 1 ) og (x 2 , og 2 ) , og P er det punkt, der deler linjestykket, der forbinder linjen AB i m:n. Så er koordinat af P givet ved:
P(x, y) = [(mx 2 + nx 1 )/(m+n), (min 2 + den 1 )/(m+n)]
Centroid formel
Centroidformlen bruges til at finde polygoners midtpunkt og matematisk for trekanter og firkanter er givet som følger:
Centroid of a Triangle Formel
Koordinaterne for tyngdepunktet i en trekant med hjørner (x1, og1), (x2, og2), og (x3, og3) er:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 )/3, (og 1 + og 2 + og 3 )/3)
Centroid of Triangle
Centroide of a Quadrilateral Formel
Koordinaterne for tyngdepunktet af en firkant med hjørner (x1, og1), (x2, og2), (x3, og3), og (x4, og4) er:
C(x, y) = ((x 1 + x 2 + x 3 + x 4 )/4, (og 1 + og 2 + og 3 + og 4 )/4)
Centroid of Quadrilateral
Løste spørgsmål om Mid-Point Formel
Spørgsmål 1: Hvad er midtpunktet af linjestykke AB, hvor punkt A er ved (6,8) og punkt B er (3,1)?
Løsning:
Lad midtpunktet være M(xm, ogm),
xm= (x1+ x2) / 2
x1= 6, x2= 3
Altså xm= (6 + 3) / 2 = 9 / 2 = 4,5
ogm= (og1+ og2) / 2
og1= 8, og2= 1
Således, ym= (8 + 1) / 2 = 9 / 2 = 4,5
Derfor er midtpunktet af linje AB (4,5, 4,5).
Spørgsmål 2: Hvad er midtpunktet af linjestykke AB, hvor punkt A er ved (-6,4) og punkt B er (4,2)?
Løsning:
Lad midtpunktet være M(xm, ogm),
x1= -6, x2= 4, og1= 4, og2= 2
(xm, ogm) = ((x1+ x2) / 2 og1+ og2) / 2)
(xm, ogm) = ((-6 + 4) / 2, (4 + 2) / 2)
(xm, ogm) = ((-2)/2, (6)/2)
(xm, ogm) = (-1, 3)
Derfor er midtpunktet af linje AB (-1, 3).
Spørgsmål 3: Find værdien af p, så (–2, 2,5) er midtpunktet mellem (p, 2) og (–1, 3).
Løsning:
Lad midtpunktet være M(xm, ogm) = (-2, 2,5) hvor,
x1= -1, xm= -2
y-koordinaten for slutpunktet er allerede kendt som 2, derfor skal vi kun finde x-koordinaten
xm= (x1+ x2) / 2
-2 = (-1 + p) / 2
-4 = -1 + p
p = -3
Derfor er linjens andet endepunkt (-3, 2).
Spørgsmål 4: Hvis koordinaterne for endepunkterne i et linjestykke er (3, 4) og (7, 8), skal du finde afstanden mellem midtpunktet af linjestykket og punktet (3, 4).
Løsning:
Lad A(3, 4) og B(7, 8) være endepunkterne for det givne linjestykke, og C er midtpunktet af linjestykket AB.
Brug derefter middelpunktsformlen,
Koordinat for C = ( (3+7)/2 , (4+8)/2 ) = (5, 6)
Brug af afstandsformel
Afstand = √{(x2- x1)2+ (og2- og1)2}
⇒ Afstand = √{(3 – 5)2+ (4 – 6)2}
⇒ Afstand =√{(-2)2+ (-2)2}
⇒ Afstand =√8 = 2√2
Derfor er afstanden mellem midtpunktet af linjestykket og punkt (3, 4) 2√2.
| Skal læses | |
|---|---|
| Afstandsformel | Koordinat geometri |
| Pythagoras sætning | Cartesisk fly |
Mid Point Formula – ofte stillede spørgsmål
Hvad er middelpunktsformlen?
Matematisk Midpoint Formel er givet som følger:
Midtpunkt = ((x 1 + x 2 )/2 og 1 + og 2 )/2)
Hvad er betydningen af middelpunktsformlen?
Midtpunktsformlen er signifikant, fordi den giver os mulighed for at finde midtpunktet af ethvert linjestykke på et kartesisk koordinatsystem.
Hvad er anvendelser af middelpunktsformler?
Der er mange anvendelsestilfælde af middelpunktsformlen, da vi i geometri kan bruge den til løsninger og egenskaber af trekanter, polygoner og andre former, i fysik har den også anvendelse til at finde massecentrum.
Kan middelpunktsformel bruges til tre eller flere punkter?
Nej, midtpunktsformlen kan ikke bruges til tre punkter, da midtpunkt kun er defineret for to punkter. For tre punkter kan vi bruge tyngdepunktsformlen, hvis vi vil finde koordinaten for tyngdepunkt for trekanten dannet af de givne tre punkter.
Hvor mange midtpunkter har et segment?
Et segment har kun ét midtpunkt.