Lokale Maxima og Minima henvise til de punkter af funktionerne, der definerer det højeste og laveste område for denne funktion. Funktionens afledte kan bruges til at beregne det lokale maksimum og det lokale minima. Lokale Maxima og Minima kan findes ved brug af både den første afledte test og den anden afledte test.

I denne artikel vil vi diskutere introduktionen, definitionen og den vigtige terminologi af Local Maxima og Minima og deres betydning. Vi vil også forstå de forskellige metoder til at beregne de lokale maksima og minima i matematik og regning . Vi vil også løse forskellige eksempler og stille øvelsesspørgsmål for en bedre forståelse af begrebet i denne artikel.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er Local Maxima og Local Minima?
• Definition af Local Maxima og Local Minima
• Vilkår relateret til lokale maksimum og lokale minima
• Hvordan finder man lokale Maxima og Minima?
• Eksempler på Local Maxima og Local Minima

Hvad er Local Maxima og Local Minima?

Lokale Maxima og Minima omtales som maksimum- og minimumværdier i et bestemt interval. Et lokalt maksimum opstår, når værdierne af a fungere i nærheden af ​​et bestemt punkt er altid lavere end værdierne af funktionen på samme punkt. I tilfælde af Local Minima er værdierne af en funktion nær et bestemt punkt altid større end værdierne af funktionen på samme punkt.

I en simpel forstand kaldes et punkt et lokalt maksimum, når funktionen når sin højeste værdi i et bestemt interval, og et punkt kaldes et lokalt minimum, når funktionen når sin laveste værdi i et specifikt interval.

For eksempel, hvis du går til et kuperet område og står på toppen af ​​en bakke, kaldes det punkt et Local Maxima-punkt, fordi du er på det højeste punkt i dine omgivelser. På samme måde, hvis du står på det laveste punkt i en flod eller et hav, kaldes dette punkt et Local Minima-punkt, fordi du er på det laveste punkt i dine omgivelser.

Definition af Local Maxima og Local Minima

Local Maxima og Minima er startværdierne for enhver funktion for at få en idé om dens grænser, såsom de højeste og laveste outputværdier. Local Minima og Local Maxima kaldes også Local Extrema.

Lokal Maxima

Et Local Maxima-punkt er et punkt på enhver funktion, hvor funktionen opnår sin maksimale værdi inden for et bestemt interval. Et punkt (x = a) af en funktion f (a) kaldes et lokalt maksimum, hvis værdien af ​​f(a) er større end eller lig med alle værdierne af f(x).

numpy unik

Matematisk, f (a) ≥ f (a -h) og f (a) ≥ f (a + h), hvor h> 0, så kaldes a det lokale maksimumpunkt.

Lokalt Minima

Et lokalt minimapunkt er et punkt på enhver funktion, hvor funktionen opnår sin minimumsværdi inden for et bestemt interval. Et punkt (x = a) af en funktion f (a) kaldes et lokalt minimum, hvis værdien af ​​f(a) er mindre end eller lig med alle værdierne af f(x).

Matematisk, f (a) ≤ f (a -h) og f (a) ≤ f (a + h), hvor h> 0, så kaldes a for det lokale minimumspunkt.

Vilkår relateret til lokale maksimum og lokale minima

Vigtig terminologi relateret til Local Maxima og Minima diskuteres nedenfor:

Maksimal værdi

Hvis en funktion giver den maksimale outputværdi for inputværdien af ​​x. Denne værdi af x kaldes maksimumværdi. Hvis det er defineret inden for et specifikt område. Så kaldes det punkt Lokal Maxima .

Absolut maksimum

Hvis en funktion giver den maksimale outputværdi for inputværdien af ​​x langs hele funktionens område. Denne værdi af x kaldes absolut maksimum.

Minimum værdi

Hvis en funktion giver den mindste outputværdi for inputværdien af ​​x. Denne værdi af x kaldes minimumsværdi. Hvis det er defineret inden for et specifikt område. Så kaldes det punkt Lokalt Minima .

Absolut minimum

Hvis en funktion giver den minimale outputværdi for inputværdien af ​​x langs hele funktionens område. Denne værdi af x kaldes Absolut Minimum.

Point of Inversion

Hvis værdien af ​​x inden for området for en given funktion ikke viser den højeste og laveste output, kaldes det Point of Inversion.

Lær mere, Absolut Maxima og Minima

Hvordan finder man lokale Maxima og Minima?

De lokale maksima og minima bestemmes kun for et specifikt område, det er ikke maksimum og minimum for hele funktionen og gælder ikke for hele funktionens område.

Der er følgende fremgangsmåde til at beregne de lokale maksimum og minima. Disse er:

• I første trin tager vi den afledte funktion.

• I andet trin sætter vi den afledede lig med nul og beregner de kritiske punkter for c.

• I tredje trin bruger vi Første afledte og Anden afledt test at bestemme det lokale maksimum og det lokale minima.

Hvad er første afledte test?

For det første tager vi den første afledede af en funktion, som giver funktionens hældning. Efterhånden som vi kommer tættere på et maksimumspunkt, øges funktionens hældning, for derefter at blive nul ved maksimumpunktet, og derefter falde, når vi går væk fra det.

På samme måde i minimumspunktet, når vi kommer tættere på et minimumspunkt, falder kurvens hældning, bliver derefter nul ved minimumspunktet, og stiger derefter, når vi går væk fra det punkt.

Lad os tage en funktion f(x), som er kontinuert i det kritiske punkt c, i et åbent interval I, og f'(c) = 0, betyder hældning i det kritiske punkt c = 0.

For at kontrollere arten af ​​f'(x) omkring det kritiske punkt c, har vi følgende betingelser for at bestemme værdien af ​​lokalt maksimum og minimum fra den første afledte test. Disse betingelser er:

• Hvis f ′(x) ændrer fortegn fra positivt til negativt, når x stiger via c, så viser f(c) den højeste værdi af den funktion i det givne område. Derfor er punkt c et lokalt Maxima-punkt, hvis den første afledte f '(x)> 0 på et hvilket som helst punkt nok tæt på venstre for c og f '(x) <0 på et hvilket som helst punkt nok tæt på højre for c.

• Hvis f ′(x) skifter fortegn fra negativ til positiv, når x stiger via c, så viser f(c) den laveste værdi af den funktion i det givne område. Derfor er punkt c et lokalt minima-punkt, hvis den første afledte f '(x) 0 på et hvilket som helst punkt nok tæt på højre for c.

• Hvis f'(x) ikke ændrer tegnet signifikant med x stigende via c, så viser punktet c ikke den højeste (Local Maxima) og laveste (Local Minima) værdi af funktionen. I så fald er punkt c kaldet Bøjningspunkt.

Læs mere om Første afledte test .

Hvad er anden afledt test?

Den anden afledte test bruges til at finde ud af værdien af ​​absolut maksimum og absolut minimum af enhver funktion inden for et specifikt interval. Lad os tage en funktion f(x), som er kontinuert i det kritiske punkt c, i et åbent interval I, og f'(c) = 0, betyder hældning i det kritiske punkt c = 0. Her tager vi den anden afledede f (x) af funktionen f(x), som giver funktionens hældning.

For at kontrollere arten af ​​f'(x) har vi følgende betingelser for at bestemme værdien af ​​lokalt maksimum og minimum fra den anden afledte test. Disse betingelser er:

• Punkt c er et lokalt Maxima-punkt, hvis den første afledte f'(c) = 0, og den anden afledede f(c) <0. Punktet ved x= c vil være den lokale maksimumværdi og f(c) vil være den lokale maksimumværdi af f(x).

• Punkt c er et lokalt minimumspunkt, hvis den første afledede f'(c) = 0, og f(c) den anden afledede> 0. Punktet ved x= c vil være det lokale minimum, og f(c) vil være Lokal minimumsværdi af f(x).

• Testen mislykkes, hvis den første afledede f'(c) = 0, og den anden afledede f(c) = 0, så viser punktet c ikke den højeste (Local Maxima) og laveste (Local Minima) værdi af funktionen , I et sådant tilfælde kaldes punkt c bøjningspunkt og punktet x = c kaldes Bøjningspunkt.

Tjek også

• Anvendelse af derivater
• Relativ Maxima og Minima
• Differentierings- og integrationsformel

Eksempler på Local Maxima og Local Minima

Eksempel 1: Analyser de lokale maksima og lokale minima for funktionen f(x) = 2x ³ – 3x ² – 12x + 5 ved at bruge den første afledte test.

Løsning:

Givet funktion er f(x) = 2x³– 3x²– 12x + 5

Første afledede af funktion er f'(x) = 6x²– 6x – 12, vil den bruge til at finde ud af de kritiske punkter.

For at finde det kritiske punkt, f'(x) = 0;

6x²– 6x – 12 = 0

6 (x²– x – 2) = 0

6(x + 1)(x – 2) = 0

Derfor er kritiske punkter x = -1 og x = 2.

Analyser det første afledte umiddelbare punkt til det kritiske punkt x = -1. Punkterne er {-2, 0}.

f'(-2) = 6(4 + 2 – 2) = 6(4) = +24 og f'(0) = 6(0 + 0 – 2) = 6(-2) = -12

Tegn for afledt er positivt til venstre for x = -1 og er negativt mod højre. Derfor indikerer det, at x = -1 er det lokale maksimum.

Lad os nu analysere det første afledte umiddelbare punkt til det kritiske punkt x = 2. Punkterne er {1,3}.

f'(1) = 6(1 -1 -2) = 6(-2) = -12 og f'(3) = 6(9 + -3 – 2) = 6(4) = +24

np.histogram

Fortegn for afledet er negativt til venstre for x = 2 og er positivt mod højre. Derfor indikerer det, at x = 2 er det lokale minima.

Derfor er det lokale maksimum -1, og det lokale minimum er 2.

Eksempel 2: Analyser de lokale maksima og lokale minima for funktionen f(x) = -x ³ +6x ² -12x +10 ved at bruge den anden afledte test.

Løsning:

Givet funktion er f(x) = -x³+6x²-12x +10

Første afledede af funktion er f'(x) = -x³+6x²-12x +10, vil den bruge til at finde ud af de kritiske punkter.

For at finde det kritiske punkt, f'(x) = 0;

f'(x) = -3x²+ 12x -12 = 0

3(-x²+ 4x – 3) = 0

x²– 4x + 3 = 0

(x – 1)(x – 3) = 0

Derfor er de kritiske punkter x = 1 og x = 3

Tag nu en anden afledet af funktion,

f(x) = 6x – 12

Evaluer f(x) ved det kritiske punkt x=1

f(1) = 6(1) – 12 = 6 – 12 = -6

f(1) <0, og derfor svarer x = 1 til Local Maxima.

Evaluer f(x) ved det kritiske punkt x = 3

f(3) = 6(3) – 12 = 18 – 12 = 6

f(3)> 0, og derfor svarer x = 3 til Local Minima.

Nu vil vi beregne funktionsværdierne på de kritiske punkter:

f(1) = -(1)³+6(1)²-12(1) +10 = 3, Derfor er det lokale maksimum ved (1, 3)

f(3) = -(3)³+6(3)²-12(3) +10 = 1, Derfor er det lokale maksimum ved (3, 1)

Øvelsesspørgsmål om lokale minima og maksimum

Q1. Find Local Maxima og Local Minima for funktionen f(x) = 2×3 – 3x²-12x +5 ved at bruge den anden afledte test.

Q2. Find og analyser de lokale maksima og lokale minima for funktionen f(x) = – x²+4x -5 ved at bruge den anden afledte test.

Q3. Find Local Maxima og Local Minima for funktionen f(x) = x²-4x +5 ved at bruge den første afledte test.

java sammenligning

Q4. Find og analyser de lokale maksima og lokale minima for funktionen f(x) = 3x²-12x +5 ved at bruge den første afledte test.

Q5. Find og analyser de lokale maksima og lokale minima for funktionen f(x) = x³– 6x²+9x + 15 ved at bruge den første afledte test.

Q6. Find og analyser de lokale maksima og lokale minima for funktionen f(x) = 2x³-9x²+12x +5 ved at bruge den anden afledte test.

Local Maxima og Local Minima – ofte stillede spørgsmål

Hvad er Local Maxima?

Et punkt kaldes en Local Maxima, når funktionen når sin højeste værdi i et bestemt interval.

Hvordan kan du finde det lokale maksimum?

Ved at differentiere funktionen og finde den kritiske værdi, hvor hældningen er nul, kan vi finde det lokale maksimum.

Hvad er Local Minima?

Et punkt kaldes et lokalt minima, når funktionen når sin laveste værdi i et bestemt interval.

Hvilke metoder kan du bruge til at beregne det lokale maksimum og det lokale minima?

Første afledte test og anden afledt test.

Hvad er forskellen mellem første afledte test og anden afledt test?

Første afledte test er den omtrentlige metode til at beregne værdien af ​​lLcal maksima og lokale minima og Anden afledt test er den systematiske og nøjagtige metode til at beregne værdien af ​​lokale maksima og lokale minima.

Hvad er meningen med Point of Inversion?

Hvis værdien af ​​et punkt inden for området for en given funktion ikke viser det højeste og laveste output, kaldes det punkt for inversion.

Hvad er brugen af ​​Local Maxima og Local Minima?

At finde ud af den ekstreme værdi af en funktion inden for et bestemt område.