Lad L være et ikke-tomt sæt lukket under to binære operationer kaldet meet and join, angivet med ∧ og ∨. Så kaldes L et gitter, hvis følgende aksiomer gælder, hvor a, b, c er elementer i L:
1) Kommutativ lov: -
(a) a ∧ b = b ∧ a (b) a ∨ b = b ∨ a
2) Associativ ret:-
(a) (a ∧ b)∧ c = a ∧(b∧ c) (b) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)
3) Absorptionslov: -
(a) a ∧ ( a ∨ b) = a (b) a ∨ ( a ∧ b) = a
Dualitet:
Dualen af ethvert udsagn i et gitter (L,∧ ,∨ ) er defineret til at være et udsagn, der opnås ved at ombytte ∧ og ∨.
For eksempel , dualen af a ∧ (b ∨ a) = a ∨ a er a ∨ (b ∧ a )= a ∧ a
Afgrænsede gitter:
Et gitter L kaldes et afgrænset gitter, hvis det har det største element 1 og et mindste element 0.
Eksempel:
- Potensmængden P(S) af mængden S under operationerne af skæring og forening er et afgrænset gitter, da ∅ er det mindste element af P(S), og mængden S er det største element af P(S).
- Sættet af +ve heltal I+under den sædvanlige rækkefølge af ≦ er ikke et afgrænset gitter, da det har et mindste element 1, men det største element eksisterer ikke.
Egenskaber af afgrænsede gitter:
Hvis L er et afgrænset gitter, så har vi for ethvert element a ∈ L, følgende identiteter:
- a ∨ 1 = 1
- a ∧1= a
- a ∨0=a
- a ∧0=0
Sætning: Bevis, at hvert endeligt gitter L = {a1,en2,en3....enn} er afgrænset.
Bevis: Vi har givet det endelige gitter:
java regex $
L = {a1,en2,en3....enn}
Således er det største element i gitter L a1∨ en2∨ en3∨....∨an.
Det mindste element i gitter L er også a1∧ a2∧a3∧....∧an.
Siden eksisterer de største og mindste elementer for hvert endeligt gitter. Derfor er L afgrænset.
Undergitter:
Overvej en ikke-tom delmængde L1af et gitter L. Derefter L1kaldes et undergitter af L, hvis L1i sig selv er et gitter, dvs. driften af L, dvs. a ∨ b ∈ L1og a ∧ b ∈ L1hver gang en ∈ L1og b ∈ L1.
Eksempel: Overvej gitteret af alle +ve heltal I+under drift af delelighed. Gitteret Dnaf alle divisorer af n > 1 er et undergitter af I+.
Bestem alle undergitter af D30der indeholder mindst fire elementer, D30={1,2,3,5,6,10,15,30}.
Løsning: Undergitteret af D30der indeholder mindst fire elementer er som følger:
1. {1, 2, 6, 30} 2. {1, 2, 3, 30}
3. {1, 5, 15, 30} 4. {1, 3, 6, 30}
5. {1, 5, 10, 30} 6. {1, 3, 15, 30}
7. {2, 6, 10, 30}
Isomorfe gitter:
To gitter L1og L2kaldes isomorfe gitter, hvis der er en bijektion fra L1til L2dvs. f: L1⟶ L2, sådan at f (a ∧ b) =f(a)∧ f(b) og f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b)
Eksempel: Bestem, om gitterne vist i fig. er isomorfe.
Løsning: Gitterne vist i fig. er isomorfe. Overvej kortlægningen f = {(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4)}. For eksempel f (b ∧ c) = f (a) = 1. Vi har f (b) ∧ f(c) = 2 ∧ 3 = 1
Fordelingsgitter:
Et gitter L kaldes fordelingsgitter, hvis det for nogle af elementerne a, b og c i L opfylder følgende fordelingsegenskaber:
- a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
- a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
Hvis gitteret L ikke opfylder ovenstående egenskaber, kaldes det et ikke-distributivt gitter.
Eksempel:
- Effektsættet P (S) af sættet S under driften af kryds og forening er en fordelingsfunktion. Siden,
a ∩ (b ∪ c) = (a ∩ b) ∪ (a ∩ c)
og også a ∪ (b ∩ c) = (a ∪ b) ∩ (a ∪c) for enhver mængde a, b og c af P(S). - Gitteret vist i fig. II er et distributivt. Da det opfylder fordelingsegenskaberne for alle ordnede tripler, som er taget fra 1, 2, 3 og 4.
Komplementer og komplementerede gitter:
Lad L være et afgrænset gitter med nedre grænse o og øvre grænse I. Lad a være et element, hvis L. Et element x i L kaldes et komplement til a, hvis a ∨ x = I og a ∧ x = 0
Et gitter L siges at være komplementeret, hvis L er afgrænset, og hvert element i L har et komplement.
Eksempel: Bestem komplementet til a og c i fig.
Løsning: Komplementet af a er d. Da a ∨ d = 1 og a ∧ d = 0
Komplementet af c eksisterer ikke. Da der ikke eksisterer noget element c, således at c ∨ c'=1 og c ∧ c'= 0.
Modulært gitter:
Et gitter (L, ∧,∨) kaldes et modulært gitter, hvis a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c hver gang a ≦ c.
Direkte produkt af gitter:
Lad (L1∨1∧1) og (L2∨2∧2) være to gitter. Så (L, ∧,∨) er det direkte produkt af gitter, hvor L = L1x L2hvor den binære operation ∨(join) og ∧(mødes) på L er sådan, at for enhver (a1,b1) og (en2,b2) i L.
(en1,b1)∨( en2,b2)=(a1∨1-en2,b1∨2b2)
og (a1,b1) ∧ ( en2,b2)=(a1∧1-en2,b1∧2b2).
Eksempel: Betragt et gitter (L, ≦) som vist i fig. hvor L = {1, 2}. Bestem gitterne (L2, ≦), hvor L2=L x L.
Løsning: Gitteret (L2, ≦) er vist i fig.