Det omvendt af Matrix er den matrix, der ved multiplikation med den oprindelige matrix resulterer i en identitetsmatrix. For enhver matrix A er dens inverse betegnet som A-1.
Lad os lære om Matrix Inverse i detaljer, herunder dens definition, formel, metoder til at finde den inverse af en matrix og eksempler.
Indholdsfortegnelse
- Matrix omvendt
- Begreber relateret til Matrix Inverse
- Hvordan finder man invers af matrix?
- Omvendt af en matrixformel
- Invers matrix metode
- Invers af 2×2 Matrix Eksempel
- Determinant af invers matrix
- Egenskaber for invers af matrix
- Matrix Inverse løste eksempler
Matrix omvendt
Den inverse af en matrix er en anden matrix, der, når den ganges med den givne matrix, giver multiplikativ identitet .
For matrix A og dens invers af A-1, besidder identitetsejendommen.
A.A -1 = A -1 A = I
hvor jeg er identitetsmatrixen.
Begreber relateret til Matrix Inverse
Terminologien nedenfor kan hjælpe dig med at forstå det omvendte af en matrix mere klart og lettere.
| Betingelser | Definition | Formel/proces | Eksempel med Matrix A |
|---|---|---|---|
| Mindre | Minor af et element i en matrix er determinanten for den matrix, der dannes ved at fjerne rækken og kolonnen af dette element. | For element aij, fjern ith række og jth kolonne for at danne en ny matrix og finde dens determinant. | Mindre af -en elleve er bestemmende for |
| Cofaktor | Kofaktoren for et element er minor af det element ganget med (-1) i+j , hvor i og j er række- og kolonneindeksene for elementet. | Cofaktor af enij= (-1)i+jMindre af enij | Cofaktor af -en elleve = (-1) 1+1 × Mindre af -en elleve = Mindre af -en elleve |
| Determinant | Determinanten af en matrix beregnes som summen af produkterne af elementerne i enhver række eller kolonne og deres respektive cofaktorer. | For en række (eller kolonne), opsummer produktet af hvert element og dets kofaktor. | Determinant for A = -en elleve × Cofaktor af -en elleve + -en 12 × Cofaktor af -en 12 + -en 13 × Cofaktor af -en 13 . |
| Stedfortræder | Adjointen af en matrix er transponeringen af dens cofaktormatrix. | Opret en matrix af cofaktorer for hvert element i den oprindelige matrix og transponer det derefter. | Adjoint af A er transponeringen af matrixen dannet af cofaktorerne for alle elementer i A. |
Singular Matrix
En matrix, hvis værdi af determinanten er nul, kaldes en singulær matrix, dvs. enhver matrix A kaldes en singulær matrix, hvis |A| = 0. Invers af en singular matrix eksisterer ikke.
Ikke-singular matrix
En matrix, hvis værdi af determinanten er ikke-nul, kaldes en ikke-singular matrix, dvs. enhver matrix A kaldes en ikke-singular matrix, hvis |A| ≠ 0. Der eksisterer en invers af en ikke-singular matrix.
Identitetsmatrix
En kvadratisk matrix, hvor alle elementerne er nul undtagen de vigtigste diagonale elementer, kaldes identitetsmatrixen. Det er repræsenteret ved hjælp af I. Det er identitetselementet i matrixen som for enhver matrix A,
A×I = A
Et eksempel på en identitetsmatrix er,
jeg3×3=
Dette er en identitetsmatrix af størrelsesordenen 3×3.
Læs mere :
- Identitetsmatrix
Hvordan finder man invers af matrix?
Der er to måder at finde det inverse af en matrix i matematik:
- Brug af Matrix Formel
- Brug af inverse matrixmetoder
Omvendt af en matrixformel
Det omvendte af matrix A, det vil sige A-1beregnes ved at bruge den omvendte af matrixformlen, som involverer at dividere adjointen af en matrix med dens determinant.
Omvendt af en matrixformel
A^{-1}=frac{ ext{Adj A}}
hvor,
- adj A = adjoint af matricen A, og
- |A| = determinant for matrix A.
Bemærk : Denne formel virker kun på kvadratiske matricer.
Følg disse trin for at finde invers af matrix ved hjælp af invers af en matrixformel.
Trin 1: Bestem de mindreårige af alle A-elementer.
Trin 2: Beregn derefter cofaktorerne for alle elementer og opbyg cofaktormatrixen ved at erstatte elementerne i A med deres respektive cofaktorer.
Trin 3: Tag transponeringen af A's cofaktormatrix for at finde dens adjoint (skrevet som adj A).
Trin 4: Gang adj A med den reciproke af determinanten af A.
For enhver ikke-singular kvadratisk matrix A,
EN -1 = 1 / |A| × Adj (A)
Eksempel: Find det omvendte af matricen
Vi har,
A=left[egin{array}{ccc}4 & 3 & 86 & 2 & 51 & 5 & 9end{array} ight] Find adjointen af matrix A ved at beregne cofaktorerne for hvert element og derefter få cofaktormatrixens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] Find værdien af determinant af matricen.
|A| = 4(18–25) – 3(54–5) + 8(30–2)
⇒ |A| = 49
Så det omvendte af matricen er,
EN-1=
frac{1}{49}left[egin{array}{ccc}-7 & -49 & 2813 & 28 & -17-1 & 28 & -10end{array} ight] ⇒ A-1=
left[egin{array}{ccc}- frac{1}{7} & frac{13}{49} & – frac{1}{49}-1 & frac{4}{7} & frac{4}{7}\frac{4}{7} & – frac{17}{49} & – frac{10}{49}end{array} ight]
Invers matrix metode
Der er to invers matrix metoder til at finde matrix invers:
- Determinant metode
- Elementær transformationsmetode
Metode 1: Determinantmetode
Den vigtigste metode til at finde den inverse matrix er at bruge en determinant.
boble sortering i java
Den inverse matrix findes også ved hjælp af følgende ligning:
EN -1 = adj(A) / det(A)
hvor,
- adj(A) er adjunkten af en matrix A, og
- det(A) er determinanten for en matrix A.
For at finde adjointen af en matrix A kræves cofaktormatrixen for A. Så er adjoint (A) transponeringen af cofaktormatrixen af A, dvs.
adj (A) = [C ij ] T
- For cofaktoren af en matrix, dvs. Cij, kan vi bruge følgende formel:
C ij = (-1) i+j det (M ij )
hvor M ij henviser til (i, j) th mindre matrix hvornår jeg th række og j th kolonne fjernes.
Metode 2: Elementær transformationsmetode
Følg nedenstående trin for at finde en invers matrix efter elementær transformationsmetode.
Trin 1 : Skriv den givne matrix som A = IA, hvor I er identitetsmatrixen af samme rækkefølge som A.
Trin 2: Brug sekvensen af enten rækkeoperationer eller kolonneoperationer, indtil identitetsmatrixen er opnået på LHS, brug også lignende elementære operationer på RHS, således at vi får I = BA. Således er matrix B på RHS det omvendte af matrix A.
Trin 3: Sørg for, at vi enten bruger Row Operation eller Column Operation, mens vi udfører elementære operationer.
Vi kan nemt finde den inverse af 2 × 2 Matrix ved hjælp af den elementære operation. Lad os forstå dette ved hjælp af et eksempel.
Eksempel: Find det omvendte af 2 × 2, A =
Løsning:
Givet:
A = IA
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} Nu, R1⇢ R1/2
egin{bmatrix}1 & 1/2 1 & 2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 0 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R2– R1
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 3/2end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0 -1/2 & 1end{bmatrix}~×~A R2⇢ R223
egin{bmatrix}1 & 1/2 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}1/2 & 0-1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A R1⇢ R1– R2/2
egin{bmatrix}1 & 0 0 & 1end{bmatrix}~=~egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}~×~A Således er den inverse af matricen A =
egin{bmatrix}2 & 1 1 & 2end{bmatrix} erEN-1=
egin{bmatrix}2/3 & -1/6 -1/3 & 2/3end{bmatrix}
Invers af 2×2 Matrix Eksempel
Invers af 2×2-matricen kan også beregnes ved hjælp af genvejsmetoden bortset fra metoden beskrevet ovenfor. Lad os overveje et eksempel for at forstå genvejsmetoden til at beregne det inverse af 2 × 2 Matrix.
For givet matrix A =
egin{bmatrix}a & b c & dend{bmatrix} Vi ved, |A| = (annonce – f.eks.)
og adj A =
egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} brug derefter formlen for invers
EN-1= (1 / |A|) × Adj A
⇒ A-1=
[1 / (ad – bc)] × egin{bmatrix}d & -b -c & aend{bmatrix} Således beregnes den inverse af 2 × 2 matrixen.
Omvendt af 3X3 Matrix Eksempel
Lad os tage en hvilken som helst 3×3 Matrix A =
Den inverse af 3×3 matrix beregnes ved hjælp af invers matrixformel ,
EN -1 = (1 / |A|) × Adj A
java objekt til json
Determinant af invers matrix
Determinant af invers matrix er den reciproke af determinanten af den oprindelige matrix. dvs.
det (A -1 ) = 1 / it(A)
Beviset for ovenstående udsagn diskuteres nedenfor:
det(A × B) = det (A) × det(B) (ved allerede)
⇒ A × A-1= I (ved invers matrixegenskab)
⇒ det(A × A-1) = det(I)
⇒ it(A) × it(A-1) = det(I) [ men, det(I) = 1]
⇒ it(A) × it(A-1) = 1
⇒ det(A-1) = 1 / it(A)
Derfor bevist.
Egenskaber for invers af matrix
Invers matrix har følgende egenskaber:
- For enhver ikke-singular matrix A, (EN -1 ) -1 = A
- For alle to ikke-singulære matricer A og B, (AB) -1 = B -1 EN -1
- Invers af en ikke-singular matrix eksisterer, for en singular matrix eksisterer den inverse ikke.
- For ethvert ikke-ental A, (EN T ) -1 = (A -1 ) T
Relaterede:
- Inverterbar matrix
- Matricer: Egenskaber og formler
- Matematisk operation på matricer
- Determinant af Matrix
- Hvordan finder man Matrixens Determinant?
Matrix Inverse løste eksempler
Lad os løse nogle eksempelspørgsmål om Inverse of Matrix.
Eksempel 1: Find det omvendte af matricen
Løsning:
Vi har,
A=left[egin{array}{ccc}2 & 3 & 11 & 1 & 22 & 3 & 4end{array} ight] Find adjointen af matrix A ved at beregne cofaktorerne for hvert element og derefter få cofaktormatrixens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] Find værdien af determinant af matricen.
|A| = 2(4–6) – 3(4–4) + 1(3–2)
= –3
Så det omvendte af matricen er,
EN-1=
frac{1}{-3}left[egin{array}{ccc}-2 & -9 & 5 & 6 & -31 & 0 & -1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}frac{2}{3} & 3 & – frac{5}{3} & -2 & 1- frac{1}{3} & 0 & frac{1}{3}end{array} ight]
Eksempel 2: Find det omvendte af matricen A=fed{ ved hjælp af formlen.}
Løsning:
Vi har,
A=
left[egin{array}{ccc}6 & 2 & 3 & 0 & 42 & 0 & 0end{array} ight] Find adjointen af matrix A ved at beregne cofaktorerne for hvert element og derefter få cofaktormatrixens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] Find værdien af determinant af matricen.
|A| = 6(0–4) – 2(0–8) + 3(0–0)
= 16
Så det omvendte af matricen er,
EN-1=
frac{1}{16}left[egin{array}{ccc}0 & 0 & 88 & -6 & -24 & 4 & 0end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}0 & 0 & frac{1}{2}\frac{1}{2} & – frac{3}{8} & – frac{3}{2} & frac{1}{4} & 0end{array} ight]
Eksempel 3: Find det omvendte af matricen A=
Løsning:
Vi har,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 3 & 1 & 4 & 0 & 1end{array} ight] Find adjointen af matrix A ved at beregne cofaktorerne for hvert element og derefter få cofaktormatrixens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] Find værdien af determinant af matricen.
|A| = 1(1–0) – 2(0–0) + 3(0–0)
= 1
Så det omvendte af matricen er,
EN-1=
frac{1}{1}left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}1 & -2 & 5 & 1 & -4 & 0 & 1end{array} ight]
Eksempel 4: Find det omvendte af matricen A=
Løsning:
Vi har,
A=
left[egin{array}{ccc}1 & 2 & 32 & 1 & 43 & 4 & 1end{array} ight] Find adjointen af matrix A ved at beregne cofaktorerne for hvert element og derefter få cofaktormatrixens transponering.
adj A =
left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] Find værdien af determinant af matricen.
|A| = 1(1–16) – 2(2–12) + 3(8–3)
= 20
Så det omvendte af matricen er,
EN-1=
frac{1}{20}left[egin{array}{ccc}-15 & 10 & 510 & -8 & 25 & 2 & -3end{array} ight] =
left[egin{array}{ccc}- frac{3}{4} & frac{1}{2} & frac{1}{4}\frac{1}{2} & – frac{2}{5} & frac{1}{10}\frac{1}{4} & frac{1}{10} & – frac{3}{20}end{array} ight]
Ofte stillede spørgsmål om invers af matrix
Hvad er omvendt af matrix?
Gensidig af en matrix kaldes den omvendte af en matrix. Kun kvadratiske matricer med ikke-nul determinanter er inverterbare. Antag for enhver kvadratisk matrix A med invers matrix B, at deres produkt altid er en identitetsmatrix (I) af samme orden.
[A]×[B] = [I]
Hvad er Matrix?
Matrix er en rektangulær matrix af tal, der er opdelt i et defineret antal rækker og kolonner. Antallet af rækker og kolonner i en matrix kaldes dens dimension eller rækkefølge.
Hvad er det omvendte af 2×2 Matrix?
For enhver matrix A eller orden 3×3 findes dens inverse ved hjælp af formlen,
EN -1 = (1 / |A|) × Adj A
Hvad er det omvendte af 3×3 Matrix?
Det omvendte af enhver kvadratisk 3×3 matrix (f.eks. A) er matrixen af samme orden angivet med A-1sådan at deres produkt er en identitetsmatrix af orden 3×3.
[EN] 3×3 × [A -1 ] 3×3 = [I] 3×3
Er Adjoint og Invers af Matrix det samme?
Nej, adjointen af en matrix og den inverse af en matrix er ikke den samme.
Hvordan bruger man den omvendte matrix?
Det omvendte af en matrix bruges til at løse algebraiske udtryk i matrixform. For eksempel for at løse AX = B, hvor A er koefficientmatrixen, X er den variable matrix og B er den konstante matrix. Her findes den variable matrix ved hjælp af den inverse operation som,
X = A -1 B
Hvad er inverterbare matricer?
De matricer, hvis inverse eksisterer, kaldes invertible. Inverterbare matricer er matricer, der har en ikke-nul determinant.
Hvorfor findes invers af 2 × 3 Matrix ikke?
Det omvendte af kun en kvadratisk matrix eksisterer. Da 2 × 3-matricen ikke er en kvadratisk matrix, men snarere en rektangulær matrix, eksisterer dens inverse derfor ikke.
Tilsvarende er 2 × 1-matricen heller ikke en kvadratisk matrix, men snarere en rektangulær matrix, så dens inverse eksisterer ikke.
Hvad er invers af identitetsmatrix?
Det omvendte af en identitetsmatrix er selve identitetsmatrixen. Dette skyldes, at identitetsmatrixen, betegnet som jeg (eller jeg n til en n × n matrix), er den eneste matrix, hvor hvert element langs hoveddiagonalen er 1, og alle andre elementer er 0. Når vi multiplicerer en identitetsmatrix med sig selv (eller dens inverse), får vi identitetsmatrixen igen.