Integral af sin x er -cos(x) plus en konstant (C). Det repræsenterer arealet under sinuskurven. Funktionen gentager hver 2π radianer på grund af dens periodiske natur. Denne artikel forklarer integralet af sinusfunktionen og viser dens formel, bevis og anvendelse til at finde specifikke bestemte integraler. Yderligere nævner den løste problemer og ofte stillede spørgsmål.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er integral af Sin x?
• Integral af Sin x Formel
• Grafisk betydning af integral af Sin x
• Integral af Sin x Bevis ved substitutionsmetode
• Bestemt integral af Sin x
• Integral af Sin x Fra 0 til π
• Integral af Sin x Fra 0 til π/2

Hvad er integral af Sin x?

Integralet af sin(x) vedrørende x er -cos(x) plus en konstant (C). Det betyder, at når du differentierer -cos(x) i forhold til x, får du sin(x). Integrationskonstanten (C) repræsenterer enhver yderligere konstant værdi, der kan være til stede i den oprindelige funktion.

Integralet af sin x betegner fysisk det område, der er dækket under sinuskurven.

Lære,

• Regning i matematik
• Integration i matematik

Integral af Sin x Formel

Integralet af sinusfunktionen, ∫ sin(x) dx, er lig med -cos(x) + C, hvor C er integrationskonstanten.

∫sin(x) dx = -cos(x) + C

Her er cos(x) cosinusfunktionen, og C repræsenterer konstanten, der lægges til antiderivatet, da den afledede af en konstant er nul.

Grafisk betydning af integral af Sin x

Integralet af sin(x) fra (a) til (b) har grafisk betydning i forhold til at beregne arealet under kurven inden for dette interval. Lad os undersøge den grafiske betydning ved hjælp af både den bestemte integralmetode og den geometriske metode.

Bestemt integreret metode

Integralet af sin(x) fra (a) til (b) er givet ved:

int_{a}^{b} sin(x) ,dx = -cos(x) Big|_{a}^{b} = -cos(b) + cos(a)

Dette repræsenterer fortegnsområdet mellem kurven sin(x) og x-aksen fra (a) til (b).

Geometrisk metode

Overvej grafen for sin(x) fra (a) til (b). Arealet under kurven kan opdeles i to områder:

• Positivt område: Områder hvor sin(x) er positiv (over x-aksen). Dette bidrager til det positive areal under kurven.
• Negativt område: Områder hvor sin(x) er negativ (under x-aksen). Dette bidrager til det negative areal under kurven.

Det samlede areal er den algebraiske sum af disse positive og negative områder.

Eksempel:

For at finde arealet under kurven for sin(x) fra ( a = 0 ) til ( b = π/2 ).

Ved hjælp af den bestemte integralmetode:

∫₀^p/2sin x = [-cos x]₀^p/2= -cos(π/2) – (-cos 0) = 0 + 1 = 1

Dette er det fortegnede område under kurven.

Ved hjælp af den geometriske metode:

Grafen for sin(x) fra 0 til (π/2) er en fjerdedel af en cirkel, og arealet er faktisk 1.

Integration af Sin x Proof ved substitutionsmetode

For at finde integralet af sin(x) ved hjælp af substitutionsmetoden, lad os overveje integralet:

En almindelig erstatning for trigonometriske integraler involverer at lade u være lig med udtrykket inde i den trigonometriske funktion. Lad i dette tilfælde u = cos(x). Beregn derefter du i form af dx:

du/dx = -sin(x)

Løs nu for dx:

dx = -1/sin(x) du

Erstat nu u og dx i form af u i det oprindelige integral:

Integral af sin(x) dx = ∫ sin(x) (-1/sin(x) du)

Forenkle udtrykket:

Integral af sin(x) dx = -∫ du

Integrer nu med hensyn til dig:

Integral af sin(x) dx = -u + C

Erstat nu tilbage med u, som blev defineret som cos(x):

Integral af sin(x) dx = -cos(x) + C

Så ved at bruge substitutionsmetoden er vi nået frem til det samme resultat som i beviset med derivater. Integralet af sin(x) er -cos(x) + C, hvor C er integrationskonstanten.

Bestemt integral af Sin x

Det bestemte integral af sin(x) fra a til b, betegnet som

∫ ^b _-en sin(x) dx = [-cos(b) -(-cos(a)]

Den beregner nettoarealet under sinuskurven mellem x = a og x = b under hensyntagen til områdets retning over og under x-aksen.

Lære, Bestemt integral

Integral af Sin x Fra 0 til Pi

For at finde integralet af sin(x) fra 0 til π kan vi bruge antiderivatet. Antiderivatet af sin(x) er -cos(x). Ved at evaluere dette antiderivat fra 0 til π får vi:

∫₀^Pisin(x) dx = [-cos(π) – (-cos(0))]

∫₀^Pisin(x) dx = [-(-1) + 1]

Da cos(π) er -1 og cos(0) er 1, forenkles udtrykket til:

∫₀^Pisin(x) dx = 1 + 1 = 2

Så integralet af sin(x) fra 0 til π er lig med 2. Dette repræsenterer fortegnsarealet mellem sin(x)-kurven og x-aksen fra x = 0 til x = π.

Integral af Sin x Fra 0 til Pi /2

Det bestemte integral repræsenterer fortegnsområdet mellem kurven og x-aksen over det givne interval.

Integralet er givet som:

∫₀^p/2sin(x) dx

Brug af antiderivatet -cos(x) til at evaluere integralet:

cos(x) |[0 til π/2]

Erstat nu π/2 i -cos(x):

java escape-tegn

cos(π/2) – (-cos(0))

Husk at cos(π/2) = 0 og cos(0) = 1. Erstat disse værdier:

-(0) – (-1)

Forenkle:

0 + 1 = 1

Bestemt integral af sin(x) fra 0 til π/2 er lig med 1. Det betyder, at fortegnsarealet mellem sinuskurven og x-aksen fra x = 0 til x = π/2 er 1.

Tjek også

• Integration af Cos x
• Integration af Tan x
• Integrationsformler

Integral af Sin x – løste eksempler

Eksempel 1: Find integralet af sin2(x)

Løsning:

For uden²(x), kan du bruge formlen, der involverer cos(2x).

∫uden²(x) dx = ∫(1 – cos(2x))/2 dx

Del det op i to dele:

= (1/2)∫dx – (1/2)∫cos(2x) dx

Integralet af dx er kun x. Integralet af cos(2x) involverer brug af sin(2x)-formlen. Det ser sådan ud:

= (1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Kombiner de to resultater, og tilføj en konstant C for at tage højde for enhver potentialkonstant i det oprindelige integral.

(1/2)x – (1/4)sin(2x) + C

Eksempel 2: Find integralet af sinus ³ x.

Løsning:

Integral af sinus i terninger med hensyn til x kan skrives som:

∫uden³x dx

Brug en trigonometrisk identitet for at forenkle:

uden³x = [1 – cos²(x)] sin(x)

∫[1 – cos²(x)] sin(x) dx

Fordel og adskil vilkårene:

∫[sin x – sin x. cos²(x)]dx

Integrer hvert udtryk separat:

-cos(x) + 1/3 cos³x + C

Her repræsenterer (C) integrationskonstanten.

Eksempel 3: Find integralet af sin x ^-1

Løsning:

Integralet af sin(x)^-1kan udtrykkes ved hjælp af arcsine-funktionen. Integralet er givet ved:

∫1/sin x = -ln|cosec x + cot x| + C

Her er (C) integrationskonstanten.

Eksempel 4: Find integral af sin x ²

Løsning:

Integral af sin²(x) med hensyn til x kan løses ved hjælp af en trigonometrisk identitet.

∫sin2x dx = 1/2∫(1 – cos(2x)dx

Nu skal du integrere hvert udtryk separat:

1/2​∫(1−cos(2x))dx = 1/2​(∫1dx−∫cos(2x)dx)

= 1/2 [x – 1/2 sin(2x)] + C

hvor (C) er integrationskonstanten.

Eksempel 5: Find integralet af sin x ^-3

Løsning:

Integral af sin(x)^-3med hensyn til (x) involverer en trigonometrisk substitution. Sådan kan du løse det:

Lad u = sin(x), så du = cos(x)dx

Erstat nu disse i integralet:

∫sin(x)⁻³dx = ∫u⁻³af

Nu skal du integrere med hensyn til (u):

∫u⁻³du = u⁻²/−2​+C

Erstat tilbage i form af (x) ved at bruge u = sin(x):

∫sin(x)⁻³dx = -1/2sin²x + C

Så integralet af sin(x)^-3med hensyn til (x) er -1/2sin²x , hvor (C) er integrationskonstanten.

Eksempel 6: Find integralet af sin invers x

Løsning:

At finde syndens integral^-1(x) med hensyn til (x), kan du bruge integration af dele. Formlen for integration efter dele er:

∫udv=uv−∫vdu

u = synd^-1(x) og dv = dx

Find nu (du) og (v):

du = frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

v = x

Anvend formlen for integration efter dele:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) – int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx

Nu skal du integrere det resterende udtryk i højre side. Du kan bruge substitution ved at lade (t = 1 – x²), derefter (dt = -2x , dx):

int x , frac{1}{sqrt{1 – x^2}} , dx = -frac{1}{2} int frac{1}{sqrt{t}} , dt

= √t + C

Erstat nu tilbage i form af (x):

= -sqrt{1 – x^2} + C

Samler det hele:

int sin^{-1}(x) , dx = x sin^{-1}(x) + sqrt{1 – x^2} + C

hvor (C) er integrationskonstanten.

Eksempel 7: Find integralet af x sin 2x dx

Løsning:

For at finde integralet af xsin(2x) i forhold til (x), kan du bruge integration efter dele. Formlen for integration efter dele er givet af:

∫udv = uv − ∫vdu

u = x og dv = sin(2x)dx

Find nu (du) og (v):

du = dx og v = -1/2cos(2x)

Anvend formlen for integration efter dele:

∫x.sin (2x) dx = −1/2.​x.cos (2x) − ∫−1/2​ cos(2x) dx

Nu skal du integrere det resterende udtryk på højre side. Integralet af -1/2cos(2x) kan findes ved at lade (u = 2x) og bruge en simpel substitution:

∫−1/2​cos(2x)dx = −1/4​sin(2x)

Erstat dette resultat tilbage i den oprindelige ligning:

-1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C

Så integralet af xsin(2x) i forhold til (x) er -1/2x cos(2x) + 1/4 sin(2x) + C, hvor (C) er integrationskonstanten.

Eksempel 8: Find integralet af sin x cos 2x

Løsning:

For at finde integralet af sin(x) cos(2x) i forhold til (x), kan du bruge integration ved dele. Formlen for integration efter dele er:

∫udv = uv − ∫vdu

u = sin(x) og dv = cos(2x)dx

Find nu (du) og (v):

du = cos(x) dx og v = 1/2 sin(2x)

Anvend formlen for integration efter dele:

∫sin(x).cos(2x)dx = 1​/2sin(x)sin(2x) − ∫1​/2sin(2x)cos(x)dx

Nu skal du integrere det resterende udtryk i højre side. Du kan bruge integration efter dele igen:

∫1/2​sin(2x)cos(x)dx = 1/4​cos(2x)cos(x) − ∫1/4​cos(2x)sin(x)dx

Fortsæt processen, indtil integralet bliver overskueligt. Efter forenkling får du det endelige resultat:

1/2 sin(x)sin(2x) – 1/8 cos(X) cos(2x) + 1/8 sin(X) cos(2x) + C

hvor (C) er integrationskonstanten.

Integral af Sin x – Praksisspørgsmål

Q1. Find integralet af sinus fra 0 til pi.

Q2. Beregn integralet af sinus fra -π/2 til π/2.

Q3. Find værdien af ​​integralet af sinus plus cosinus i forhold til x.

Q4. Evaluer integralet af sinus(2x) fra 0 til π/3.

Q5. Find antiafledningen af ​​sinus(3x) i forhold til x.

Q6. Beregn integralet af sinus(2x) fra π til 2π.

Q7. Integrer funktionen sinus kvadreret med hensyn til x.

Q8. Evaluer integralet af sinus i anden kvadrat fra -π/4 til π/4.

Integral af Sin x – ofte stillede spørgsmål

Hvad er integral af Sin x?

Integral af sin x er -cos x

Hvad er Sin x?

Sin(x), er en trigonometrifunktion, der repræsenterer forholdet mellem længden af ​​siden modsat en vinkel og længden af ​​hypotenusen i en retvinklet trekant.

Hvad er Range of Sin x?

Området for Sin x er [-1, 1].

Hvad er integral og afledt af Sin x?

Integralet af sin x er -cos x og den afledte af si x er cos x

Hvad er integral af Sin x og Cos x?

Integralet af sin x er -cos x + C og integralet af cos x er sin x

Hvad er Integral af Sin 2x?

Integrationen af ​​sin 2x er (-cos2x)/2 + c