EN Hyperbel er en glat kurve i et plan med to grene, der spejler hinanden, og ligner to uendelige buer. Det er et keglesnit dannet ved at skære en ret cirkulær kegle med et plan i en vinkel, således at begge halvdele af keglen skæres.

Lad os lære om hyperbel i detaljer, herunder dens ligning, formler, egenskaber, grafer og afledning.

Hyperbel

Indholdsfortegnelse

• Hvad er hyperbel?
• Hyperbel definition
• Hyperbelligning
• Dele af hyperbel
• Hyperbelexcentricitet
• Standardligning for hyperbel
• Højre side af hyperbel
• Afledning af hyperbelligning
• Hyperbelformel
• Graf over hyperbel
• Konjugeret hyperbel
• Egenskaber ved hyperbel
• Hjælpecirkler af hyperbel
• Rektangulær hyperbel
• Parametrisk repræsentation af hyperbel
• Hyperbel klasse 11
• Løste eksempler på hyperbel
• Øv problemer på hyperbel

Hvad er hyperbel?

En hyperbel er stedet for punkter, hvis forskel i afstandene fra to brændpunkter er en fast værdi. Denne forskel opnås ved at trække afstanden til det nærmeste fokus fra afstanden til det fjernere fokus.

Hvis P (x, y) er et punkt på hyperbelen og F, F' er to brændpunkter, så er hyperbelens locus

PF – PF' = 2a

Bemærk: Se diagram tilføjet i afledning for billede.

Hyperbel definition

I analytisk geometri er en hyperbel en type keglesnit, der skabes, når et plan skærer gennem begge halvdele af en dobbelt ret cirkulær kegle i en vinkel. Dette skæringspunkt resulterer i to separate, uafgrænsede kurver, der er spejlbilleder af hinanden, der danner en hyperbel.

Hyperbelligning

Ligningen for en hyperbel i sin standardform afhænger af dens orientering, og om den er centreret ved oprindelsen eller et andet punkt. Her er de to primære former for hyperbler centreret ved oprindelsen, den ene åbner vandret og den anden åbner lodret:

x ² /en ² - og ² /b ² = 1

Denne ligning repræsenterer en hyperbel, der åbner til venstre og højre. Punkterne (±a,0) er hyperbelens toppunkter, placeret på x-aksen.

Dele af hyperbel

En hyperbel er et keglesnit, der udvikles, når et plan skærer en dobbelt ret cirkulær kegle i en vinkel, således at begge halvdele af keglen er forbundet. Det kan beskrives ved hjælp af begreber som foci, directrix, latus rectum og excentricitet.

Hyperbelexcentricitet

En hyperbels excentricitet er forholdet mellem afstanden af ​​et punkt fra fokus og dets vinkelrette afstand fra retningslinjen. Det er angivet med bogstavet ' det er '.

• En hyperbels excentricitet er altid større end 1, dvs. e>1.
• Vi kan nemt finde hyperbelens excentricitet ved formlen:

e = √[1 + (b ² /en ² )]

hvor,

• -en er Længden af ​​semi-hovedaksen
• b er Længden af ​​semi-minor-aksen

Læs mere: Excentricitet

Standardligning for hyperbel

Standardligningerne for en hyperbel er:

old{frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1}

ELLER

old{frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1}

En hyperbel har to standardligninger. Disse ligninger for en hyperbel er baseret på dens tværgående akse og konjugerede akse.

oracle sql ikke ens

• Standardligningen for hyperbelen er [(x²/en²) - (og²/b²)] = 1, hvor X-aksen er den tværgående akse, og Y-aksen er den konjugerede akse.
• Desuden er en anden standardligning for hyperbelen [(y²/en²)- (x²/b²)] = 1, hvor Y-aksen er den tværgående akse, og X-aksen er den konjugerede akse.
• Standardligning for hyperbelen med centrum (h, k) og X-aksen som den tværgående akse og Y-aksen som den konjugerede akse,

old{frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}= 1}

• Ydermere er en anden standardligning for hyperbelen med centrum (h, k) og Y-aksen som tværaksen og X-aksen som konjugatakse.

old{frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}= 1 }

Højre side af hyperbel

Latus rectum af en hyperbel er en linje, der går gennem et hvilket som helst af foci af en hyperbel og vinkelret på hyperbelens tværgående akse. Endepunkterne af en latus rectum ligger på hyperbelen, og dens længde er 2b²/en.

Afledning af hyperbelligning

Lad os betragte et punkt P på hyperbelen, hvis koordinater er (x, y). Fra definitionen af ​​hyperbelen ved vi, at forskellen mellem afstanden af ​​punktet P fra de to brændpunkter F og F' er 2a, dvs. PF'-PF = 2a.

Lad koordinaterne for brændpunkterne være F (c, o) og F '(-c, 0).

Ved at bruge koordinatafstandsformlen kan vi nu finde afstanden fra punktet P (x, y) til brændpunkterne F (c, 0) og F '(-c, 0).

√[(x + c)²+ (og – 0)²] – √[(x – c)²+ (og – 0)²] = 2a

⇒ √[(x + c)²+ og²] = 2a + √[(x – c)²+ og²]

Nu, ved at kvadrere begge sider, får vi

(x + c)²+ og²= 4a²+ (x – c)²+ og²+ 4a√[(x – c)²+ og²]

⇒ 4cx – 4a²= 4a√[(x – c)²+ og²]

⇒ cx – a²= a√[(x – c)²+ og²]

Nu, ved at kvadrere på begge sider og forenkle, får vi

[(x²/en²) - (og²/(c²– en²))] = 1

Vi har, c²= a²+ b², så ved at erstatte dette i ovenstående ligning får vi

x²/en²- og²/b²= 1

Derfor er standardligningen for hyperbelen udledt.

På samme måde kan vi udlede standardligningerne for den anden hyperbel, dvs. [y]²/en²- x²/b²] = 1

Hyperbelformel

Følgende hyperbelformler bruges i vid udstrækning til at finde de forskellige parametre for hyperbelen, som omfatter ligningen for hyperbel, hoved- og lilleaksen, excentricitet, asymptoter, vertex, foci og semi-latus rektum.

Hvor,

• ( x₀, og₀) er midtpunktet
• -en er den semi-større akse
• b er semi-molaksen.

Graf over hyperbel

Hyperbel er en kurve, som har to ubundne kurver, som er spejlbilleder af hinanden. Grafen for hyperbelen viser den kurve i 2-D-planet. Vi kan observere de forskellige dele af en hyperbel i hyperbelgraferne for standardligninger givet nedenfor:

Hyperbelens ligning	Graf over hyperbel	Parametre for hyperbel
frac{x^{2}}{a^{2}}-frac{y^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinater for centrum: (0, 0) Koordinater for toppunktet: (a, 0) og (-a, 0) Koordinater for foci: (c, 0) og (-c, 0) Længden af ​​den tværgående akse = 2a Længden af ​​den konjugerede akse = 2b Længden af ​​latus rectum = 2b2/en Asymptoterligninger: y = (b/a) x og y = -(b/a) x Excentricitet (e) = √[1 + (b2/en2)]
frac{y^{2}}{a^{2}}-frac{x^{2}}{b^{2}}= 1		Koordinater for centrum: (0, 0) Koordinater for toppunktet: (0, a) og (0, -a) Koordinater af foci: (0, c) og (0, -c) Længden af ​​den tværgående akse = 2b Længden af ​​den konjugerede akse = 2a Længden af ​​latus rectum = 2b2/en Asymptoterligninger: y = (a/b) x og y = -(a/b) x Excentricitet (e) = √[1 + (b2/en2)]

Konjugeret hyperbel

Konjugerede hyperbeler er 2 hyperbler, således at de tværgående og konjugerede akser af en hyperbel er henholdsvis den konjugerede og tværgående akse af den anden hyperbel.

Konjugeret hyperbel af (x²/ a²) - (og²/b²) = 1 er,

(x ² / a ² ) - (og ² /b ² ) = 1

Hvor,

• -en er semi-hovedakse
• b er semi-mindre akse
• det er er Excentricitet af Parabel
• -en ² = b ² (Det er ² - 1)

Egenskaber ved hyperbel

• Hvis excentriciteterne af hyperbelen og dens konjugat er f.eks₁og e₂derefter,

(1 og ₁ ² ) + (1/e ₂ ² ) = 1

• Foci af en hyperbel og dens konjugat er koncykliske og danner hjørnerne af en firkant.
• Hyperbler er ens, hvis de har samme latus rectum.

Hjælpecirkler af hyperbel

Hjælpecirkel er en cirkel, som er tegnet med centrum C og diameter som en tværgående akse af hyperbelen. Hjælpecirklen til hyperbelligningen er,

x ² + og ² = a ²

Rektangulær hyperbel

En hyperbel med en tværgående akse på 2a enheder og en konjugeret akse på 2b enheder af lige længde kaldes den rektangulære hyperbel. dvs. i rektangulær hyperbel,

2a = 2b

⇒ a = b

Ligningen for en rektangulær hyperbel er givet som følger:

x ² - og ² = a ²

Bemærk: Excentriciteten af ​​rektangulær hyperbel er √2.

Parametrisk repræsentation af hyperbel

Parametrisk repræsentation af hyperbelens hjælpecirkler er:

x = a sek θ, y = b tan θ

Folk læser også

• Keglesnit
• Parabel
• Cirkel
• Ellipse

Hyperbel klasse 11

I klasse 11 matematik udgør studiet af hyperbler en del af keglesnittene i analytisk geometri. At forstå hyperbler på dette niveau involverer at udforske deres definition, standardligninger, egenskaber og forskellige elementer forbundet med dem.

Klasse 11-pensum inkluderer typisk udledning af disse ligninger og egenskaber, skitsering af hyperbler baseret på givne ligninger og løsning af problemer relateret til hyperbelens elementer og positioner. Beherskelse af disse begreber giver et stærkt fundament i analytisk geometri , forberede eleverne til videre studier i matematik og beslægtede områder.

Resumé – Hyperbel

En hyperbel er en type keglesnit, der dannes, når et plan skærer en kegle i en vinkel, så der dannes to separate kurver. Karakteriseret ved sin spejlsymmetri består en hyperbel af to adskilte grene, der hver buer væk fra hinanden. Det kan defineres matematisk i et koordinatplan ved hjælp af en standardligning, som varierer baseret på dens orientering - enten vandret eller lodret - og om dens centrum er ved origo eller et andet punkt.

Standardformularerne er x ² /en ² - og ² /b ² = 1 for en hyperbel, der åbner horisontalt og og ² /en ² - x ² /b ² = 1 for én åbning lodret, med variationer for at rumme et center flyttet til (h,k). Nøgletræk ved hyperbler omfatter toppunkter, de nærmeste punkter på hver gren til midten; foci, punkter, hvorfra afstande til ethvert punkt på hyperbelen har en konstant forskel; og asymptoter, linjer, som grenene nærmer sig, men aldrig rører ved.

Egenskaberne ved hyperbler gør dem vigtige på forskellige områder, herunder astronomi, fysik og teknik, til modellering og analyse af hyperbolske baner og adfærd.

Løste eksempler på hyperbel

Spørgsmål 1: Bestem excentriciteten af ​​hyperbelen x ² /64 – og ² /36 = 1.

Løsning:

Ligningen for hyperbel er x²/64 – og²/36 = 0

Ved at sammenligne en given ligning med standardligningen for hyperbelen x²/en²- og²/b²= 1, får vi

-en²= 64, b²= 36

⇒ a = 8, b = 6

Vi har,

Excentricitet af en hyperbel (e) = √(1 + b²/en²)

⇒ e = √(1 + 6²/8²)

⇒ e = √(1 + 36/64)

⇒ e = √(64 + 36)/64) = √(100/64)

⇒ e = 10/8 = 1,25

Derfor er excentriciteten af ​​en given hyperbel 1,25.

Spørgsmål 2: Hvis ligningen for hyperbelen er [(x-4) ² /25] – [(y-3) ² /9] = 1, find længderne af hovedaksen, lilleaksen og latus rectum.

Løsning:

Ligning for hyperbel er [(x-4)²/25] – [(y-3)²/9] = 1

Ved at sammenligne en given ligning med hyperbelens standardligning, (x – h)²/en²– (og – k)²/b²= 1

npm ryd cache

Her er x = 4 den store akse og y = 3 er den lille akse.

-en²= 25 a = 5

b²= 9 b = 3

Længde af hovedaksen = 2a = 2 × (5) = 10 enheder

Længde af lille akse = 2b = 2 × (3) = 6 enheder

Længde af latus rectum = 2b²/a = 2(3)²/5 = 18/5 = 3,6 enheder

Spørgsmål 3: Find toppunktet, asymptoten, hovedaksen, lilleaksen og retningslinjen, hvis hyperbelligningen er [(x-6) ² /7 ² ]-[(y-2) ² /4 ² ] = 1.

Løsning:

Ligning for hyperbel er [(x-6)²/7²] – [(y-2)²/4²] = 1

Ved at sammenligne en given ligning med standardligningen for hyperbel, (x – h)²/en²– (og – k)²/b²= 1

h = 6, k = 2, a = 7, b = 4

Toppunkt for en hyperbel: (h + a, k) og (h – a, k) = (13, 2) og (-1, 2)

Hyperbelens hovedakse er x = h x = 6

Hyperbelens lille akse er y = k y = 2

Ligninger af asymptoter af hyperbel er

y = k − (b/a)x + (b/a)h og y = k+ (b/a)x – (b/a)h

⇒ y = 2 – (4/7)x + (4/7)6 og y = 2 + (4/7)x – (4/7)6

⇒ y = 2 – 0,57x + 3,43 og y = 2 + 0,57x – 3,43

⇒ y = 5,43 – 0,57x og y = -1,43 + 0,57x

Ligningen for en hyperbels retningslinje er x = ± a²/√(a²+ b²)

⇒ x = ± 7²/√(7²+ 4²)

⇒ x= ± 49/√65

⇒ x = ± 6,077

Spørgsmål 4: Find excentriciteten af ​​hyperbelen, hvis latus rectum er halvdelen af ​​dens konjugerede akse.

Løsning:

Længden af ​​latus rectum er halvdelen af ​​dens konjugerede akse

Lad, ligning for hyperbel være [(x²/ a²) - (og²/b²)] = 1

Konjugeret akse = 2b

Længde af Latus rectum = (2b²/ a)

Ud fra givne data, (2b²/ a) = (1/2) × 2b

2b = a

Vi har,

Excentricitet af hyperbel (e) = √[1 + (b²/en²)]

Erstat nu a = 2b i formlen for excentricitet

⇒ e = √[1 + (b²/(2b)²]

⇒ e = √[1 + (b²/4b²)] = √(5/4)

⇒ e = √5/2

Derfor er den påkrævede excentricitet √5/2.

Øv problemer på hyperbel

P1. Find standardligningen for hyperbelen med hjørner ved (-3, 2) og (1, 2) og en brændvidde på 5.

P2. Bestem hyperbelens centrum, toppunkter og foci med ligningen 9x ² – 4 år ² = 36.

P3. Givet hyperbelen med ligningen (x – 2) ² /16 – (og + 1) ² /9 = 1, find koordinaterne for dets centrum, toppunkter og foci.

P4. Skriv hyperbelens ligning med en vandret hovedakse, centreret ved (0, 0), et toppunkt ved (5, 0) og et fokus ved (3, 0).

Hyperbel – ofte stillede spørgsmål

Hvad er hyperbel i matematik?

Lokuset for et punkt i et plan, således at forholdet mellem dets afstand fra et fast punkt til det fra en fast linje er en konstant større end 1, kaldes hyperbel.

Hvad er standardligningen for hyperbel?

Standardligning for hyperbel er

(x ² /en ² ) - (og ² /b ² ) = 1

Hvad er excentricitet af hyperbel?

Excentricitet af en hyperbel er forholdet mellem afstanden af ​​et punkt fra fokus og dets vinkelrette afstand fra retningslinjen. For Hyperbola er excentriciteten altid større end 1.

Hvad er Formel for Excentricitet af Hyperbel?

Formel for excentricitet af hyperbel er e = √(1 + (b ² /en ² ))

Hvad er Foci af hyperbel?

En hyperbel har to foci. For hyperbelen (x²/en²) - (og²/b²) = 1, brændpunkterne er givet ved (ae, 0) og (-ae, 0)

Hvad er Transversal Axis of Hyperbela?

For hyperbel (x²/en²) - (og²/b²) = 1, tværgående akse er langs x-aksen. Dens længde er givet ved 2a. Linje, der går gennem hyperbelens centrum og foci kaldes en hyperbels tværgående akse.

Hvad er asymptoter af hyperbel?

Linjer parallelt med hyperbel, som møder hyperbel i det uendelige, kaldes hyperbelens asymptoter.

Hvor mange asymptoter har hyperbelen?

En hyperbel har 2 asymptoter. Asymptoter er en linje, der tangerer hyperbelen, som møder hyperbelen i det uendelige.

Hvad bruges Hyperbola til?

Hyperbler finder anvendelser inden for forskellige områder såsom astronomi, fysik, teknik og økonomi. De bruges blandt andet i satellitbaner, radiotransmissionsmønstre, artillerimålretning, finansiel modellering og himmelmekanik.

Hvad er forskellen mellem parabel og hyperbel i standardform?

I standardform involverer ligningen af ​​en parabel led hævet til 1 og 2 potens, mens ligningen for en hyperbel involverer udtryk hævet til 2 og -2. Også parablen er karakteriseret ved et enkelt fokuspunkt, mens hyperbelen har to.

Hvad er grundlæggende ligning af hyperbelgraf?

Grundlæggende ligning for en hyperbelgraf er:

(x – h)²/ a²– (og – k)²/b²= 1

Eller

(og – k)²/b²– (x -h)²/ a²= 1

Hvad er typer hyperbel?

Hyperbler kan klassificeres i tre typer baseret på deres orientering: vandrette, lodrette og skrå hyperbler.

Hvordan identificerer man en hyperbelligning?

En hyperbelligning involverer typisk udtryk med begge x og og variable, med en forskel mellem kvadraterne på x og og koefficienter, og koefficienterne for disse udtryk er henholdsvis positive og negative.

Hvad er formlen for B i hyperbel?

I standardformen af ​​en hyperbelligning, B repræsenterer længden af ​​den konjugerede akse, og dens formel er B = 2 b , hvor b er afstanden fra centrum til hjørnerne langs den konjugerede akse.

Hvordan tegner man en hyperbel?

For at tegne en hyperbel starter du typisk med at plotte midtpunktet, og derefter markere hjørnerne, foci, asymptoter og andre nøglepunkter baseret på den givne ligning eller egenskaber. Til sidst skitser du hyperbelens kurver ved at bruge disse punkter som guider.