Afledt af buetangensfunktionen betegnes som tan^-1(x) eller arctan(x). Det er lig med 1/(1+x ² ) . Afledt af buetangensfunktion findes ved at bestemme ændringshastigheden af ​​arc tan-funktionen i forhold til den uafhængige variabel. Teknikken til at finde afledte af trigonometriske funktioner omtales som trigonometrisk differentiering.

Afledt af Arctan

I denne artikel vil vi lære om derivatet af arc tan x og dets formel inklusive beviset for formlen. Bortset fra det har vi også givet nogle løste eksempler for bedre forståelse.

Afledt af Arctan x

Afledt af buetangensfunktion eller arctan(x) er 1/(1+x ² ). Arktanen x repræsenterer den vinkel, hvis tangent er x. Med andre ord, hvis y = arctan(x), så er tan(y) = x.

Den afledede af en funktion kan findes ved hjælp af kædereglen. Hvis du har en sammensat funktion som arctan(x), differentierer du den ydre funktion med hensyn til den indre funktion og multiplicerer derefter med den afledede af den indre funktion.

Afledt af Arctan x Formula

Formlen for den afledte af inverse af tan x er givet ved:

d/dx(arctan(x)) = 1/(1+x ² )

Tjek også :

• Arctan – Formel, graf, identiteter, domæne, rækkevidde og ofte stillede spørgsmål
• Regning i matematik
• Omvendt Trigonometrisk funktion

Bevis for afledning af Arctan x

Den afledte af inverse af tan x kan bevises på følgende måder:

• Ved brug af Kæderegel
• Ved brug af Implicit differentieringsmetode
• Brug af de første principper for derivater

Afledt af Arctan x ved kæderegel

For at bevise afledt af Arctan x ved kæderegel, vil vi bruge grundlæggende trigonometrisk og omvendt trigonometrisk formel:

• sek²y = 1 + tan²og
• tan(arctan x) = x

Her er beviset for afledte af arctan x:

Lad os antage, y = arctan(x)

Når vi bliver brune på begge sider får vi:

tan y = tan(arctan x)

tan y = x [som tan (arctan x) = x]

Differentier nu begge sider med hensyn til x

d/dx (tan y) = d/dx(x)

d/dx(tan y) = 1 [som d/dx(x) = 1]

Ved at anvende kædereglen til at differentiere tan y med hensyn til x får vi

d/dx(tan y) = sek²y · dy/dx = 1

dy/dx = 1/sek²og

dy/dx = 1/1 + tan²y [som sek²y = 1 + tan²og]

Nu ved vi tan y = x, og erstatter værdien i ovenstående ligning, vi får

dy/dx = 1/1 + x²

Afledt af Arctan x ved implicit differentieringsmetode

Afledt af arctan x kan bevises ved hjælp af den implicitte differentieringsmetode. Vi vil bruge grundlæggende trigonometriske formler, som er anført nedenfor:

• sek²x = (1 + tan²x )

• Hvis y = arktan x ⇒ x = tan y og x²= så²og

Lad os starte beviset for derivatet af arctan x , antag f(x) = y = arktan x

Ved implicit differentieringsmetode

f(x) = y = arktan x

⇒ x = tan y

Tager afledt på begge sider med hensyn til x

⇒ d/dx[x] = d/dx[tan y]

⇒ 1 = d/dx[tan y]

Multiplicer og dividerer højre side med dy

⇒ 1 = d/dx[tan y] × dy/dy

⇒ 1 = d/dy[tan y] × dy/dx

⇒ 1 = sek²y × dy/dx

⇒ dx/dy = ( 1+tan²y) [Som stk²x = (1 + tan²x )]

⇒ dy/dx = 1/( 1+tan²og )

⇒ dy/dx = 1/( 1 + x²) = f'(x)

Derfor f'(x) = 1/ ( 1+x²)

Afledt af Arctan x efter det første princip

For at bevise afledt af arctan x ved hjælp af det første princip for afledt, vil vi bruge grundlæggende grænser og trigonometriske formler, som er anført nedenfor:

• lim_h→0arktan x/x = 1

• arctan x – arctan y = arctan [(x – y)/(1 + xy)]

Lad os starte beviset for den afledte af arctan x

vi har arctan(x) = y

Anvend definitionen af ​​afledt, vi får

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan (x + h)- arctan x}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {x + h – x}{1 + (x + h)x})}{h}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac { h}{1 + (x + h)x})}{h imes frac{1 + (x+h)x}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{arctan( frac {h}{1 + (x + h)x})}{(1+(x+h)x) imes frac{h}{1 + (x + h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +(x+h)x)} imes displaystyle lim_{ h o 0}frac{arctanfrac{h}{1+(x+h)x}}{frac{h}{1+(x+h)x}}

frac{d arctan x}{dx} =displaystyle lim_{h o 0} frac{1}{(1 +x^2+hx)} imes 1

frac{d arctan x}{dx} = frac{1}{(1 +x^2)}

Tjek også

• Afledt af inverse trigonometriske funktioner
• Differentieringsformler
• Omvendte trigonometriske identiteter

Eksempler på afledning af Arctan x

Eksempel 1: Find den afledede af funktionen f(x) = arctan(3x).

Løsning:

Vi vil bruge kædereglen, som siger, at hvis g(x) er differentierbar ved x og f(x) = arctan (g(x)), så er den afledte f'(x) givet ved:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I dette tilfælde er g(x) = 3x, så g'(X) = 3. Anvendelse af kædereglens formlen:

f'(x) = 3/(1+(3x)²)

f'(x) = 3/(1+9x²)

Eksempel 2: Find den afledede af funktionen h(x) = tan ^-1 (x/2)

Løsning:

Vi vil bruge kædereglen, ifølge hvilken f(x) = tan^-1(g(x)), så er den afledte f'(x) givet ved:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I dette tilfælde er g(x) = x/2, så g'(X) = 1/2. Anvendelse af kæderegelformlen:

f'(x) = (1/2)/(1+(x/2)²)

f'(x) = (1/2)/(1+x²/4)

Forenkling får vi,

f'(x) = 2/(4+x²)

Eksempel 3: Find den afledede af f(x) = arctan (2x ² )

Løsning:

hvad er rom

Vi vil bruge kædereglen, som siger, at hvis g(x) er differentierbar ved x og f(x) = arctan (g(x)), så er den afledte f'(x) givet ved:

f'(x) = g'(X)/(1+[g(x)]²)

I dette tilfælde er g(x) = 2x², så g'(X) = 4x.

Anvendelse af kæderegelformlen:

f'(x) = 4x/(1+(2x²)²)

f'(x) = 4x/(1+4x⁴)

f'(x) = d/dx(arctan (2x²)) = 4x/(1+4x⁴)

Praksisspørgsmål om afledning af Arctan x

Q.1: Find den afledede af funktionen f(x) = x ² arkan (2x)

Q.2: Find den afledede af funktionen k(x) = arctan (x ³ +2x)

Q.3: Find den afledede af funktionen p(x) = x arctan(x ² +1)

Q.4: Find den afledede af funktionen f(x) = arctan (x)/1+x

Sp.5: Find den afledede af funktionen r(x) = arctan (4x)

Læs mere,

• Afledt i matematik
• Afledt af tan invers x
• Arctan

Afledt af Arctan x – ofte stillede spørgsmål

Hvad er afledt i matematik?

I matematik måler de afledte, hvordan en funktion ændrer sig, når dens input (uafhængig variabel) ændres. Den afledte funktion af en funktion f(x) betegnes som f'(x) eller (d /dx)[f(x)].

Hvad er afledt af tan ^-1 (x)?

Afledt af tan^-1(x) med hensyn til x er 1/1+x²

Hvad er omvendt af tan x?

Arctan er det omvendte af tan-funktion, og det er en af ​​de omvendte trigonometriske funktioner. Det er også kendt som den arktiske funktion.

Hvad er Chain Rule i Arctan (x)?

Kæderegel er en differentieringsregel. Til arctan (u), kædereglen siger, at hvis f(x) = arctan(u), så f'(x) = (1/1+u²)× du/dx. Anvendelse af dette på arctan(x), hvor u=x, giver 1/1+x²

Hvad er afledt af f(x) = x tan ^-1 (x)?

Afledt af f(x) = xtan^-1(x) kan findes ved hjælp af produktreglen. Resultatet er så ^-1 (x) + {x/(1 + x ² )} .

Hvad er Anti Derivative of Arctan x?

Antiderivat af arctan x er givet ved ∫tan^-1x dx = x tan^-1x – ½ ln |1+x²| + C.

Hvad er afledt?

Afledt af funktion er defineret som ændringshastigheden af ​​funktionen i forhold til en uafhængig variabel.