logo

TechCodeview

Omvendte trigonometriske identiteter

Omvendte trigonometriske identiteter: I matematik er inverse trigonometriske funktioner også kendt som arcus-funktioner eller anti-trigonometriske funktioner. De inverse trigonometriske funktioner er de inverse funktioner af grundlæggende trigonometriske funktioner, dvs. sinus, cosinus, tangent, cosecans, sekant og cotangens. Det bruges til at finde vinklerne med ethvert trigonometrisk forhold. Inverse trigonometriske funktioner bruges generelt inden for områder som geometri, teknik osv. Repræsentationen af ​​inverse trigonometriske funktioner er:

Hvis a = f(b), så er den inverse funktion



b = f-1(en)

tegn til int java

Eksempler på inverse inverse trigonometriske funktioner er sin-1x, fordi-1x, altså-1x osv.

Indholdsfortegnelse



Domæne og række af inverse trigonometriske identiteter

Følgende tabel viser nogle trigonometriske funktioner med deres domæne og rækkevidde.

Fungere Domæne Rækkevidde
y = uden-1x[-elleve][-p/2, s/2]
y = cos-1x[-elleve][0, p]
y = cosec-1x R – (-1,1)[-π/2,π/2] – {0}
y = sek-1x R - (-elleve)[0, π] – {π/2}
y = så-1x R (-p/2, p/2)
y = barneseng-1x R (0, p)

Egenskaber for inverse trigonometriske funktioner

Følgende er egenskaberne for inverse trigonometriske funktioner:

Ejendom 1:



  1. uden-1(1/x) = cosec-1x, for x ≥ 1 eller x ≤ -1
  2. cos-1(1/x) = sek-1x, for x ≥ 1 eller x ≤ -1
  3. så-1(1/x) = barneseng-1x, for x> 0

Ejendom 2:

  1. uden-1(-x) = -sin-1x, for x ∈ [-1 , 1]
  2. så-1(-x) = -tan-1x, for x ∈ R
  3. cosec-1(-x) = -cosec-1x, for |x| ≥ 1

Ejendom 3

  1. cos-1(-x) = π – cos-1x, for x ∈ [-1 , 1]
  2. sek-1(-x) = π – sek-1x, for |x| ≥ 1
  3. barneseng-1(-x) = π – barneseng-1x, for x ∈ R

Ejendom 4

  1. uden-1x + cos-1x = π/2, for x ∈ [-1,1]
  2. så-1x + barneseng-1x = π/2, for x ∈ R
  3. cosec-1x + sek-1x = π/2, for |x| ≥ 1

Ejendom 5

  1. så-1x + så-1y = så-1( x + y )/(1 – xy), for xy <1
  2. så-1x – altså-1y = så-1(x – y)/(1 + xy), for xy> -1
  3. så-1x + så-1y = π + tan-1(x + y)/(1 – xy), for xy>1; x, y>0

Ejendom 6

  1. 2tan-1x = synd-1(2x)/(1 + x2), for |x| ≤ 1
  2. 2tan-1x = cos-1(1 – x2)/(1 + x2), for x ≥ 0
  3. 2tan-1x = så-1(2x)/(1 – x2), for -1

Identiteter af omvendt trigonometrisk funktion

Følgende er identiteterne af inverse trigonometriske funktioner:

  1. uden-1(sin x) = x forudsat -π/2 ≤ x ≤ π/2
  2. cos-1(cos x) = x forudsat 0 ≤ x ≤ π
  3. så-1(tan x) = x forudsat -π/2
  4. uden (uden-1x) = x forudsat -1 ≤ x ≤ 1
  5. cos(cos-1x) = x forudsat -1 ≤ x ≤ 1
  6. så så-1x) = x forudsat x ∈ R
  7. cosec(cosec-1x) = x forudsat -1 ≤ x ≤ ∞ eller -∞
  8. sek(sek-1x) = x forudsat 1 ≤ x ≤ ∞ eller -∞
  9. barneseng (seng-1x) = x forudsat -∞
  10. sin^{-1}(frac{2x}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  11. cos^{-1}(frac{1 – x^2}{1 + x^2}) = 2 tan^{-1}x
  12. tan^{-1}(frac{2x}{1 – x^2}) = 2 tan^{-1}x
  13. 2cos-1x = cos-1(2x2- 1)
  14. 2sin-1x = synd-12x√(1 – x2)
  15. 3sin-1x = synd-1(3x – 4x3)
  16. 3cos-1x = cos-1(4x3– 3x)
  17. 3tan-1x = så-1((3x – x3/1 – 3x2))
  18. uden-1x + synd-1y = uden-1{ x√(1 – y2) + y√(1 – x2)}
  19. uden-1x – synd-1y = uden-1{ x√(1 – y2) – y√(1 – x2)}
  20. cos-1x + cos-1y = cos-1[xy – √{(1 – x2)(1 – og2)}]
  21. cos-1x - cos-1y = cos-1[xy + √{(1 – x2)(1 – og2)}
  22. så-1x + så-1y = så-1(x + y/1 – xy)
  23. så-1x – altså-1y = så-1(x – y/1 + xy)
  24. så-1x + så-1og +tan-1z = så-1(x + y + z – xyz)/(1 – xy – yz – zx)

Folk ser også:

Prøveproblemer på inverse trigonometriske identiteter

Spørgsmål 1: Prøv uden -1 x = sek -1 1/√(1-x 2 )

Løsning:

Lad uden-1x = y

⇒ sin y = x , (da sin y = vinkelret/hypotenusen ⇒ cos y = √(1- vinkelret2)/hypotenuse )

⇒ cos y = √(1 – x2), her hypotenuse = 1

⇒ sek y = 1/cos y

⇒ sek y = 1/√(1 – x2)

⇒ y = sek-11/√(1 – x2)

⇒ uden-1x = sek-11/√(1 – x2)

Derfor bevist.

Spørgsmål 2: Prøv det -1 x = cosec -1 √(1 + x 2 )/x

Løsning:

Lad det-1x = y

⇒ tan y = x, vinkelret = x og base = 1

⇒ sin y = x/√(x2+ 1), (da hypotenusen = √(vinkelret2+ base2))

⇒ cosec y = 1/sin y

⇒ cosec y = √(x2+ 1)/x

⇒ y = cosec-1√(x2+ 1)/x

⇒ altså-1x = cosec-1√(x2+ 1)/x

Derfor bevist.

Spørgsmål 3: Vurder dig selv som -1 x)

Løsning:

Lad cos-1x = y

⇒ cos y = x , base = x og hypotenuse = 1 derfor sin y = √(1 – x2)/1

⇒ tan y = sin y/ cos y

⇒ tan y = √(1 – x2)/x

⇒ y = så-1√(1 – x2)/x

⇒ cos-1x = så-1√(1 – x2)/x

Derfor skal tan(cos-1x) = tan(tan-1√(1 – x2)/x ) = √(1 – x2)/x.

Spørgsmål 4: så -1 √(sin x) + barneseng -1 √(sin x) = y. Find cos og.

Løsning:

Vi kender den brunfarve-1x + barneseng-1x = /2 derfor sammenligner vi denne identitet med ligningen givet i spørgsmålet får vi y = π/2

Således er cos y = cos π/2 = 0.

Spørgsmål 5: så -1 (1 – x)/(1 + x) = (1/2)brun -1 x, x> 0. Løs for x.

Løsning:

så-1(1 – x)/(1 + x) = (1/2)brun-1x

⇒ 2tan-1(1 – x)/(1 + x) = tan-1x …(1)

Det ved vi, 2tan-1x = så-12x/(1 – x2).

Derfor kan LHS af ligning (1) skrives som

så-1[ { 2(1 – x)/(1 + x)}/{ 1 – [(1 – x)(1 + x)]2}]

= så-1[ {2(1 – x)(1 + x)} / { (1 + x)2– (1 – x)2}]

= så-1[ 2(1 – x2)/(4x)]

= så-1(1 – x2)/(2x)

Da LHS = RHS derfor

så-1(1 – x2)/(2x) = tan-1x

⇒ (1 – x2)/2x = x

⇒ 1 – x2= 2x2

⇒ 3x2= 1

⇒ x = ± 1/√3

Da x skal være større end 0, er x = 1/√3 det acceptable svar.

Spørgsmål 6: Prøv det -1 √x = (1/2)cos -1 (1 – x)/(1 + x)

Løsning:

Lad det være-1√x = y

⇒ tan y = √x

⇒ altså2y = x

Derfor,

RHS = (1/2)cos-1(1- så2y)/(1 + tan2og)

= (1/2)cos-1(cos2og uden2y)/(cos2og + uden2og)

= (1/2)cos-1(cos2og uden2og)

= (1/2)cos-1(cos 2y)

= (1/2)(2 år)

= og

= så-1√x

= LHS

Derfor bevist.

Spørgsmål 7: så -1 (2x)/(1 – x 2 ) + barneseng -1 (1 – x 2 )/(2x) = π/2, -1

Løsninger:

så-1(2x)/(1 – x2) + barneseng-1(1 – x2)/(2x) = π/2

⇒ altså-1(2x)/(1 – x2) + så-1(2x)/(1 – x2) = π/2

⇒ 2tan-1(2x)/(1 – x2) = ¸/2

⇒ altså-1(2x)/(1 – x2) = ¸/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = tan ¸/4

⇒ (2x)/(1 – x2) = 1

⇒ 2x = 1 – x2

⇒ x2+ 2x -1 = 0

⇒ x = [-2 ± √(22– 4(1)(-1))] / 2

⇒ x = [-2 ± √8] / 2

⇒ x = -1 ± √2

⇒ x = -1 + √2 eller x = -1 – √2

Men ifølge spørgsmålet x ∈ (-1, 1) er løsningsmængden for den givne ligning derfor x ∈ ∅.

Spørgsmål 8: så -1 1/(1 + 1,2) + tan -1 1/(1 + 2,3) + … + så -1 1/(1 + n(n + 1)) = tan -1 x. Løs for x.

Løsning:

så-11/(1 + 1,2) + tan-11/(1 + 2,3) + … + tan-11/(1 + n(n + 1)) = tan-1x

⇒ altså-1(2 – 1)/(1 + 1,2) + tan-1(3 – 2)/(1 + 2,3) + … + så-1(n + 1 – n)/(1 + n(n + 1)) = brun-1x

⇒ (altså-12 - altså-11) + (altså-13 - altså-12) + … + (altså-1(n + 1) – så-1n) = så-1x

⇒ altså-1(n + 1) – så-11 = altså-1x

⇒ altså-1n/(1 + (n + 1).1) = brun-1x

⇒ altså-1n/(n + 2) = tan-1x

⇒ x = n/(n + 2)

Spørgsmål 9: Hvis 2tan -1 (uden x) = så -1 (2 sek x) løs derefter for x.

Løsning:

2tan-1(uden x) = så-1(2 sek x)

⇒ altså-1(2sin x)/(1 – sin2x) = så-1(2/cos x)

⇒ (2sin x)/(1 – sin2x) = 2/cos x

⇒ sin x/cos2x = 1/cos x

⇒ sin x cos x = cos2x

⇒ sin x cos x – cos2x = 0

⇒ cos x(sin x – cos x) = 0

⇒ cos x = 0 eller sin x – cos x = 0

⇒ cos x = cos π/2 eller tan x = tan π/4

⇒ x = π/2 eller x = π/4

Men ved x = π/2 eksisterer den givne ligning ikke, derfor er x = π/4 den eneste løsning.

Spørgsmål 10: Bevis den tremmeseng -1 [ {√(1 + sin x) + √(1 – sin x)}/{√(1 + sin x) – √(1 – sin x)}] = x/2, x ∈ (0, π/4 )

Løsning:

Lad derfor x = 2y

LHS = barneseng-1[{√(1+sin 2y) + √(1-sin 2y)}/{√(1+sin 2y) – √(1-sin 2y)}]

= barneseng-1[{√(cos2og + uden2y + 2sin y cos y) + √(cos2og + uden2y – 2sin y cos y)}/{√(cos2og + uden2y + 2sin y cos y) – √(cos2og + uden2y – 2sin og cos y)} ]

= barneseng-1[{√(cos y + sin y)2+ √(cos y – sin y)2} / {√(cos y + sin y)2– √(cos og – sin og)2}]

= barneseng-1[(cos y + sin y + cos y – sin y )/(cos y + sin y – cos y + sin y)]

= barneseng-1(2cos y)/(2sin y)

= barneseng-1(seng og)

= og

= x/2.

Øv problemer på omvendte trigonometriske identiteter

Opgave 1: Løs for x i ligningen sin -1 (x) + cos -1 (x) = π/2

Opgave 2: Bevis den solbrune farve -1 (1) + så -1 (2) + så -1 (3) = s

Opgave 3: Evaluer cos⁡(uden -1 (0,5))

Problem 4: Hvis tan -1 (x) + tan -1 (2x) = π/4, find derefter x

Ofte stillede spørgsmål om inverse trigonometriske identiteter

Hvad er inverse trigonometriske funktioner?

Inverse trigonometriske funktioner er de inverse funktioner af de grundlæggende trigonometriske funktioner (sinus, cosinus, tangent, cosecant, sekant og cotangens). De bruges til at finde de vinkler, der svarer til givne trigonometriske forhold.

Hvorfor er inverse trigonometriske funktioner vigtige?

Inverse trigonometriske funktioner er essentielle på forskellige områder som geometri, teknik og fysik, fordi de hjælper med at bestemme vinkler ud fra trigonometriske forhold, hvilket er afgørende for at løse mange praktiske problemer.

Hvad er domænerne og intervallerne for inverse trigonometriske funktioner?

Hver invers trigonometrisk funktion har specifikke domæner og intervaller:

s i -1 (x) : Domæne [-1, 1] og område [- π/2, π/2]

cos -1 (x) : Domæne [-1, 1] og område [ 0, π]

så⁡ -1 (x) : Domæne R og område (- π/2, π/2)

Kan inverse trigonometriske funktioner bruges i calculus?

Ja, inverse trigonometriske funktioner bruges ofte i calculus til integration og differentiering. De er især nyttige til at integrere funktioner, der involverer trigonometriske udtryk.