Prædikatlogik omhandler prædikater, som er propositioner, består af variable.
Prædikatlogik - Definition
Et prædikat er et udtryk for en eller flere variable bestemt på et bestemt domæne. Et prædikat med variable kan laves til en proposition ved enten at godkende en værdi til variablen eller ved at kvantificere variablen.
Det følgende er nogle eksempler på prædikater.- Betragt E(x, y) som betegner 'x = y'
- Betragt X(a, b, c) angiver 'a + b + c = 0'
- Overvej at M(x, y) angiver 'x er gift med y'.
Kvantifier:
Variablen af prædikater er kvantificeret af kvantifikatorer. Der er to typer kvantifier i prædikatlogik - Eksistentiel kvantificerer og Universal kvantificerer.
Eksistentiel kvantifier:
Hvis p(x) er en proposition over universet U. Så er den betegnet som ∃x p(x) og læst som 'Der eksisterer mindst én værdi i universet af variabel x, således at p(x) er sand. Kvantifikatoren ∃ kaldes den eksistentielle kvantifier.
Der er flere måder at skrive en proposition på med en eksistentiel kvantifier, dvs.
(∃x∈A)p(x) eller ∃x∈A sådan at p (x) eller (∃x)p(x) eller p(x) er sandt for nogle x ∈A.
Universal kvantifier:
Hvis p(x) er en proposition over universet U. Så er den betegnet som ∀x,p(x) og læst som 'For hver x∈U, er p(x) sand.' Kvantifikatoren ∀ kaldes Universal Quantifier.
Der er flere måder at skrive en proposition på, med en universel kvantifier.
∀x∈A,p(x) eller p(x), ∀x ∈A Eller ∀x,p(x) eller p(x) er sandt for alle x ∈A.
Afvisning af kvantificerede forslag:
Når vi negerer en kvantificeret proposition, dvs. når en universelt kvantificeret proposition negeres, opnår vi en eksistentielt kvantificeret proposition, og når en eksistentielt kvantificeret proposition negeres, opnår vi en universelt kvantificeret proposition.
De to regler for negation af kvantificeret proposition er som følger. Disse kaldes også DeMorgans lov.
Eksempel: Forkast hvert af følgende forslag:
1.∀x p(x)∧ ∃ y q(y)
Sol: ~.∀x p(x)∧ ∃ y q(y))
≅~∀ x p(x)∨∼∃yq (y) (∴∼(p∧q)=∼p∨∼q)
≅ ∃ x ~p(x)∨∀y∼q(y)
2. (∃x∈U) (x+6=25)
Sol: ~( ∃ x∈U) (x+6=25)
≅∀ x∈U~ (x+6)=25
≅(∀ x∈U) (x+6)≠25
3. ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y)
Sol: ~( ∃ x p(x)∨∀ y q(y))
≅~∃ x p(x)∧~∀ y q(y) (∴~(p∨q)= ∼p∧∼q)
≅ ∀ x ∼ p(x)∧∃y~q(y))
Forslag med flere kvantifikatorer:
Forslaget med mere end én variabel kan kvantificeres med flere kvantifikatorer. De multiple universelle kvantifikatorer kan arrangeres i enhver rækkefølge uden at ændre betydningen af den resulterende proposition. De multiple eksistentielle kvantifiers kan også arrangeres i en hvilken som helst rækkefølge uden at ændre betydningen af propositionen.
Propositionen, der indeholder både universelle og eksistentielle kvantifikatorer, rækkefølgen af disse kvantificerere kan ikke udveksles uden at ændre betydningen af propositionen, f.eks. betyder propositionen ∃x ∀ y p(x,y) 'Der eksisterer nogle x, således at p (x, y) er sandt for hvert y.'
hvis og andet i bash
Eksempel: Skriv negationen for hver af de følgende. Bestem, om det resulterende udsagn er sandt eller falsk. Antag U = R.
1.∀ x ∃ m(x2 Sol: Negation af ∀ x ∃ m(x2 2. ∃ m∀ x(x2 Sol: Negation af ∃ m ∀ x (x2