En parabels toppunkt: Punktet, hvor parablen og dens symmetriakse skærer hinanden, kaldes en parabels toppunkt. Det bruges til at bestemme koordinaterne for punktet på parablens symmetriakse, hvor den krydser den. For standardligningen for en parabel y = ax²+ bx + c, toppunktet er koordinaten (h, k). Hvis koefficienten af ​​x²i ligningen er positiv (a> 0), så ligger toppunktet i bunden ellers ligger det på oversiden.

I denne artikel vil vi diskutere toppunktet for en parabel, dens formel, afledning af formlen og løste eksempler på den.

Indholdsfortegnelse

• Egenskaber af vertex af en parabel
• Toppunktet af en parabelformel
• Afledning af vertex af en parabelformel
• Prøveproblemer på vertex af en parabelformel

Toppunktet af en parabel

Egenskaber af vertex af en parabel

• Hver parabels toppunkt er dens vendepunkt.
• Den afledte af parabelfunktionen ved dens toppunkt er altid nul.
• En parabel, der enten er åben i toppen eller bunden, har et maksimum eller et minima i toppunktet.
• Toppunktet af en venstre eller højre åben parabel er hverken et maksima eller et minima for parablen.
• Vertex er skæringspunktet mellem parablen og dens symmetriakse.

Toppunktet af en parabelformel

For toppunktet for parablen er y = a(x – h)²+ k, koordinaterne (h, k) for toppunktet er,

(h, k) = (-b/2a, -D/4a)

hvor,

a er koefficienten af ​​x²,

b er koefficienten af ​​x,

D = b²– 4ac er diskriminanten af ​​standardformen y = ax²+ bx + c.

Afledning af vertex af en parabelformel

Antag, at vi har en parabel med standardligningen som, y = akse²+ bx + c.

Dette kan skrives som,

y – c = akse²+ bx

y – c = a (x²+ bx/a)

Addere og trække fra b²/4a²på RHS, får vi

y – c = a (x²+ bx/a + b²/4a²– b²/4a²)

y – c = a ((x + b/2a)²– b²/4a²)

y – c = a (x + b/2a)²– b²/4a

y = a (x + b/2a)²– b²/4a + c

y = a (x + b/2a)²– (b²/4a – c)

y = a (x + b/2a)²– (b²– 4ac)/4a

Vi ved, D = b²– 4ac, så ligningen bliver,

y = a (x + b/2a)²– D/4a

til loops java

Sammenligning af ovenstående ligning med toppunktet y = a(x – h)²+ k, vi får

h = -b/2a og k = -D/4a

Dette udleder formlen for koordinaterne for en parabels toppunkt.

Folk læser også:

• Graf, egenskaber, eksempler og ligning af parabel
• Standardligning af en parabel med eksempler

Prøveproblemer på vertex af en parabelformel

Opgave 1. Find koordinaterne for toppunktet for parablen y = 2x ² + 4x – 4.

Løsning:

Vi har ligningen som, y = 2x²+ 4x – 4.

Her er a = 2, b = 4 og c = -4.

Nu er det kendt, at koordinaterne for toppunktet er givet ved, (-b/2a, -D/4a) hvor D = b²– 4 ac.

D = (4)²– 4 (2) (-4)

= 16 + 32

= 48

Så x – koordinat af toppunkt = -4/2(2) = -4/4 = -1.

y – koordinat af toppunkt = -48/4(2) = -48/8 = -6

Derfor er parablens toppunkt (-1, -6).

Opgave 2. Find koordinaterne for toppunktet for parablen y = 3x ² + 5x – 2.

Løsning:

Vi har ligningen som, y = 3x²+ 5x – 2.

Her er a = 3, b = 5 og c = -2.

Nu er det kendt, at koordinaterne for toppunktet er givet ved, (-b/2a, -D/4a) hvor D = b²– 4 ac.

D = (5)²– 4 (3) (-2)

= 25 + 24

= 49

Så x – koordinat af toppunkt = -5/2(3) = -5/6

y – koordinat af toppunkt = -49/4(3) = -49/12

Derfor er parablens toppunkt (-5/6, -49/12).

Opgave 3. Find koordinaterne for toppunktet for parablen y = 3x ² – 6x + 1.

Løsning:

Vi har ligningen som, y = 3x²– 6x + 1.

Her er a = 3, b = -6 og c = 1.

Nu er det kendt, at koordinaterne for toppunktet er givet ved, (-b/2a, -D/4a) hvor D = b²– 4 ac.

D = (-6)²– 4 (3) (1)

= 36 – 12

= 24

Så x – koordinat af toppunkt = 6/2(3) = 6/6 = 1

y – koordinat af toppunkt = -24/4(3) = -24/12 = -2

Derfor er parablens toppunkt (1, -2).

Opgave 4. Find koordinaterne for toppunktet for parablen y = 3x ² + 8x – 8.

Løsning:

Vi har ligningen som, y = 3x²+ 8x – 8.

Her er a = 3, b = 8 og c = -8.

Nu er det kendt, at koordinaterne for toppunktet er givet ved, (-b/2a, -D/4a) hvor D = b²– 4 ac.

sæt java

D = (8)²– 4 (3) (-8)

= 64 + 96

= 160

Så x – koordinat af toppunkt = -8/2(3) = -8/6 = -4/3

y – koordinat af toppunkt = -160/4(3) = -160/12 = -40/3

Derfor er parablens toppunkt (-4/3, -40/3).

Opgave 5. Find koordinaterne for toppunktet for parablen y = 6x ² + 12x + 4.

Løsning:

Vi har ligningen som, y = 6x²+ 12x + 4.

Her er a = 6, b = 12 og c = 4.

Nu er det kendt, at koordinaterne for toppunktet er givet ved, (-b/2a, -D/4a) hvor D = b²– 4 ac.

D = (12)²– 4 (6) (4)

= 144 – 96

= 48

Så x – koordinat af toppunkt = -12/2(6) = -12/12 = -1

y – koordinat af toppunkt = -48/4(6) = -48/24 = -2

Derfor er parablens toppunkt (-1, -2).

Opgave 6. Find koordinaterne for toppunktet for parablen y = x ² + 7x – 5.

Løsning:

Vi har ligningen som, y = x²+ 7x – 5.

Her er a = 1, b = 7 og c = -5.

Nu er det kendt, at koordinaterne for toppunktet er givet ved, (-b/2a, -D/4a) hvor D = b²– 4 ac.

D = (7)²– 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

Så x – koordinat af toppunkt = -7/2(1) = -7/2

y – koordinat af toppunkt = -69/4(1) = -69/4

Derfor er parablens toppunkt (-7/2, -69/4).

Opgave 7. Find koordinaterne for toppunktet for parablen y = 2x ² + 10x – 3.

Løsning:

Vi har ligningen som, y = x2 + 7x – 5.

Her er a = 1, b = 7 og c = -5.

Nu er det kendt, at toppunktets koordinater er givet ved, (-b/2a, -D/4a) hvor D = b2 – 4ac.

D = (7)2 – 4 (1) (-5)

= 49 + 20

= 69

modem vs router

Så x – koordinat af toppunkt = -7/2(1) = -7/2

y – koordinat af toppunkt = -69/4(1) = -69/4

Derfor er parablens toppunkt (-7/2, -69/4).

Ofte stillede spørgsmål om Vertex of a Parabola Formula

Hvad mener du med toppunktet på en parabel?

Punktet, hvor parablen og dens symmetriakse skærer hinanden, kaldes en parabels toppunkt. Det bruges til at bestemme koordinaterne for punktet på parablens symmetriakse, hvor den krydser den.

Hvordan beregner man en parabels toppunkt?

For standardligning for en parabel y = ax²+ bx + c, toppunktet er koordinaten (h, k).

Skriv egenskaberne for en parabels toppunkt.

1. Toppunktet for hver parabel er dens vendepunkt.

2. Den afledte af parabelfunktionen ved dens toppunkt er altid nul.

3. En parabel, som enten er åben i toppen eller bunden, har et maksimum eller et minima i toppunktet.

4. Toppunktet af en venstre eller højre åben parabel er hverken et maksima eller et minima for parablen.

5. Toppunktet er skæringspunktet mellem parablen og dens symmetriakse.

Topformen af ​​en parabel er givet. Hvordan ville du finde dens toppunkt?

For standardligning af en parabel y = ax²+ bx + c, toppunktet er koordinaten (h, k).

Hvad mener du med fokus på en parabel?

En parabel er et sæt af alle punkter i et plan, som er lige langt væk fra et givet punkt og en given linje. Punktet kaldes parablens fokus.

Hvordan tegner man en parabel med dens toppunkt?

1. Find x- og y-koordinaterne.

2. Skriv to tal mindre og to større end fokus og marker dem som x-koordinater.

3. Erstat værdien af ​​funktion med x og find y-koordinater.

4. Identificer parablens fokus og toppunkt og plot koordinaterne på et millimeterpapir.