Vektorprojektion er skyggen af ​​en vektor over en anden vektor. Projektionsvektoren opnås ved at gange vektoren med Cos for vinklen mellem de to vektorer. En vektor har både størrelse og retning. To vektorer siges at være ens, hvis de har samme størrelse såvel som retningen. Vektorprojektion er afgørende for at løse numeriske i fysik og matematik.

I denne artikel vil vi lære om, hvad der er vektorprojektion, vektorprojektionsformeleksemplet, vektorprojektionsformlen, vektorprojektionsformelafledning, vektorprojektionsformel lineær algebra, vektorprojektionsformel 3d og nogle andre relaterede begreber i detaljer.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er vektorprojektion?
• Vektorprojektionsformel
• Vektorprojektionsformelafledning
• Eksempler på vektorprojektionsformel
• Praktiske anvendelser og betydning af vektorprojektion
• Eksempler på problemløsning i den virkelige verden på vektorprojektion

Hvad er vektorprojektion?

Vektorprojektion er en metode til at rotere en vektor og placere den på en anden vektor. Derfor opnås en vektor, når en vektor opløses i to komponenter, parallel og vinkelret. Den parallelle vektor kaldes projektionsvektoren. Vektorprojektionen er således længden af ​​skyggen af ​​en vektor over en anden vektor.

Vektorprojektionen af ​​en vektor opnås ved at gange vektoren med Cos for vinklen mellem de to vektorer. Lad os sige, at vi har to vektorer 'a' og 'b', og vi skal finde fremskrivningen af ​​vektoren a på vektor b, så vil vi gange vektoren 'a' med cosθ hvor θ er vinklen mellem vektor a og vektor b.

Vektorprojektionsformel

Hvisvec Aer repræsenteret som A ogvec Ber repræsenteret som B, er vektorprojektionen af ​​A på B givet som produktet af A med Cos θ hvor θ er vinklen mellem A og B. Den anden formel for vektorprojektion af A på B er givet som produktet af A og B. B divideret med størrelsen af ​​B. Den opnåede projektionsvektor er et skalært multiplum af A og har en retning i retning af B.

Vektorprojektionsformelafledning

Vektorprojektionsformelafledningen diskuteres nedenfor:

Lad os antage, OP =vec Aog OQ =vec Bog vinklen mellem OP og OQ er θ. Tegnet PN vinkelret på OQ.

I den højre trekant OPN er Cos θ = ON/OP

⇒ ON = ON Cos θ

⇒ TIL = |vec A| Cos θ

ON er projektionsvektoren forvec Apåvec B

vec A.vec B = |vec A||vec B|cos heta

⇒vec A.vec B = |vec B(|vec A||cos heta)

⇒vec A.vec B = |vec B|ON

char + int i java

⇒ TIL =frac{vec A.vec B}

Derfor er ON =|vec A|.hat B

Således vektorprojektionen afvec Apåvec Ber givet somfrac{vec A.vec B}

vektorprojektionen afvec Bpåvec Aer givet somfrac{vec A.vec B}

generel beskyttelsesfejl

Tjek også: Typer af vektorer

Vektorprojektion Vigtige vilkår

For at finde vektorprojektionen skal vi lære at finde vinklen mellem to vektorer og også at beregne prikproduktet mellem to vektorer.

Vinkel mellem to vektorer

Vinklen mellem de to vektorer er givet som det inverse af cosinus af prikproduktet af to vektorer divideret med produktet af størrelsen af ​​to vektorer.

Lad os sige, at vi har to vektorervec Aogvec Bvinklen mellem dem er θ

⇒ cos θ =frac{vec A.vec B}.

⇒ θ = cos^-1frac{vec A.vec B}.

Punktprodukt af to vektorer

Lad os sige, at vi har to vektorervec Aogvec Bdefineret somvec A = a_1hat i + a_2hat j + a_3hat kogvec B = b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k så er prikprodukt mellem dem givet som

vec A.vec B = (a_1hat i + a_2hat j + a_3hat k)(b_1hat i + b_2hat j + b_3hat k)

⇒vec A.vec B= a₁b₁+ a₂b₂+a₃b₃

Relateret artikel:

• Vektor tilføjelse
• Enhedsvektor
• Vektor algebra
• Lineær algebra

Eksempler på vektorprojektionsformel

Eksempel 1. Find projektionen af ​​vektor 4hat i + 2hat j + hat k på 5hat i -3hat j + 3hat k .

Løsning:

Her,vec{a}=4hat i + 2hat j + hat k \vec{b}=5hat i -3hat j + 3hat k .

Vi ved, projektion af vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(4.(5) + 2(-3) + 1.(3))}{|sqrt{5^2 + (-3)^2 + 3^2}|}=dfrac{17}{sqrt{43}}

ordbog c#

Eksempel 2. Find projektionen af ​​vektor 5hat i + 4hat j + hat k på 3hat i + 5hat j – 2hat k

Løsning:

Her,vec{a}=5hat i + 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i + 5hat j – 2hat k.

Vi ved, projektion af vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + 4(5) + 1.(-2))}{|sqrt{3^2 + 5^2 + (-2)^2}|}=dfrac{33}{sqrt{38}}

Eksempel 3. Find vektorens projektion 5hat i – 4hat j + hat k på 3hat i – 2hat j + 4hat k

Løsning:

Her,vec{a}=5hat i – 4hat j + hat k \vec{b}=3hat i – 2hat j + 4hat k.

Vi ved, projektion af vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(5.(3) + ((-4).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{3^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{49}{sqrt{29}}

Eksempel 4. Find vektorens projektion 2hat i – 6hat j + hat k på 8hat i – 2hat j + 4hat k .

Løsning:

Her,vec{a}=2hat i – 6hat j + hat k \vec{b}=8hat i – 2hat j + 4hat k

Vi ved, projektion af vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}b

dfrac{(2.(8) + ((-6).(-2)) + 1.(4))}{|sqrt{8^2 + (-2)^2 + (4)^2}|}=dfrac{32}{sqrt{84}}

Eksempel 5. Find vektorens projektion 2hat i – hat j + 5hat k på 4hat i – hat j + hat k .

Løsning:

Her,vec{a}=2hat i – hat j + 5hat k \vec{b}=4hat i – hat j + hat k.

wumpus verden

Vi ved, projektion af vektor a på vektor b =frac{vec{a}.vec{b}}

dfrac{(2.(4) + ((-1).(-1)) + 5.(1))}{|sqrt{4^2 + (-1)^2 + (1)^2}|}=dfrac{14}{sqrt{18}}

Kontrollere: Vektoroperationer

Praktiske anvendelser og betydning af vektorprojektion

Fysik

• Tving nedbrydning : I fysik er vektorprojektionsformlen afgørende for at nedbryde kræfter til komponenter parallelt og vinkelret på overflader. For eksempel kræver forståelse af kraften, der udøves af et reb i et tovtrækningsspil, at projicere kraftvektoren på rebets retning.

• Arbejdsberegning : Arbejdet udført af en kraft under forskydning beregnes ved hjælp af vektorprojektion. Værket er prikproduktet af kraftvektoren og forskydningsvektoren, der i det væsentlige projicerer en vektor på en anden for at finde kraftkomponenten i forskydningsretningen.

ingeniørarbejde

• Strukturel analyse : Ingeniører bruger vektorprojektion til at analysere spændinger på komponenter. Ved at projicere kraftvektorer på strukturelle akser kan de bestemme spændingskomponenterne i forskellige retninger, hvilket hjælper med at designe sikrere og mere effektive strukturer.

• Væskedynamik : I væskedynamik hjælper vektorprojektion med at analysere væskestrømmen omkring objekter. Ved at projicere væskehastighedsvektorer på overflader kan ingeniører studere strømningsmønstre og kræfter, som er afgørende for aerodynamisk design og hydraulisk teknik.

Computer grafik

• Rendering teknikker : Vektorprojektion er grundlæggende i computergrafik til gengivelse af skygger og refleksioner. Ved at projicere lysvektorer på overflader beregner grafiksoftware vinklerne og intensiteten af ​​skygger og refleksioner, hvilket øger realismen i 3D-modeller.

• Animation og spiludvikling : I animation bruges vektorprojektion til at simulere bevægelser og interaktioner. For eksempel, at bestemme, hvordan en karakter bevæger sig over ujævnt terræn, involverer projicering af bevægelsesvektorer på terrænoverfladen, hvilket giver mulighed for realistiske animationer.

Kontrollere: Basisvektorer i lineær algebra

Eksempler på problemløsning i den virkelige verden på vektorprojektion

Eksempel 1: GPS-navigation

• Sammenhæng : I GPS-navigationssystemer bruges vektorprojektion til at beregne den korteste vej mellem to punkter på jordens overflade.
• Ansøgning : Ved at projicere forskydningsvektoren mellem to geografiske placeringer på jordens overfladevektor kan GPS-algoritmer nøjagtigt beregne afstande og retninger og optimere rejseruter.

Eksempel 2: Sports Analytics

• Sammenhæng : I sportsanalyse, især i fodbold eller basketball, hjælper vektorprojektion med at analysere spillerbevægelser og boldbaner.
• Ansøgning : Ved at projicere spillernes bevægelsesvektorer på banen eller banen kan analytikere studere mønstre, hastigheder og effektivitet af bevægelser, hvilket bidrager til strategisk planlægning og præstationsforbedring.

Eksempel 3: Renewable Energy Engineering

• Sammenhæng : I design af vindmøller er forståelsen af ​​vindkraftkomponenterne afgørende for at optimere energiproduktionen.
• Ansøgning : Ingeniører projicerer vindhastighedsvektorer på turbinevingernes plan. Denne analyse hjælper med at bestemme den optimale vinkel og orientering af vinger for at maksimere fangsten af ​​vindenergi.

Eksempel 4: Augmented Reality (AR)

• Sammenhæng : I augmented reality-applikationer bruges vektorprojektion til nøjagtigt at placere virtuelle objekter i rum i den virkelige verden.
• Ansøgning : Ved at projicere vektorer fra virtuelle objekter på fly i den virkelige verden, fanget af AR-enheder, kan udviklere sikre, at virtuelle objekter interagerer realistisk med miljøet, hvilket forbedrer brugeroplevelsen.

Kontrollere: Komponenter af vektor

Ofte stillede spørgsmål om vektorprojektion

Definer projektionsvektor.

Projektionsvektor er skyggen af ​​en vektor på en anden vektor.

Hvad er vektorprojektionsformlen?

Formel for projektion af vektor er givet somfrac{vec A.vec B}

Hvordan finder man projektionsvektor?

Projektionsvektor findes ved at beregne prikproduktet af de to vektorer divideret med den, som skyggen er kastet på.

Hvilke begreber kræves for at beregne projektionsvektor?

Vi skal kende vinklen mellem to vektorer og prikproduktet af to vektorer for at beregne vektorprojektion.

Hvor bruges projektionsvektor?

Projektionsvektor bruges til at løse forskellige numeriske fysik, der kræver, at vektormængden opdeles i dens komponenter.

Hvad er betydningen af ​​vektorprojektion i fysik?

I fysik er vektorprojektion afgørende for at nedbryde kræfter, beregne arbejde udført af en kraft i en bestemt retning og analysere bevægelse. Det hjælper med at forstå, hvordan forskellige komponenter i en vektor bidrager til effekter i forskellige retninger.

Kan vektorprojektion være negativ?

Ja, den skalære komponent af en vektorprojektion kan være negativ, hvis vinklen mellem de to vektorer er større end 90 grader, hvilket indikerer, at projektionen går i den modsatte retning af basisvektoren.

Hvordan bruges vektorprojektion i teknik?

Ingeniører bruger vektorprojektion til at analysere strukturelle spændinger, optimere design ved at nedbryde kræfter til håndterbare komponenter og i væskedynamik til at studere strømningsmønstre mod overflader.

Hvad er forskellen mellem skalar og vektorprojektion?

Skalarprojektion giver størrelsen af ​​en vektor i retning af en anden og kan være positiv eller negativ. Vektorprojektion tager på den anden side ikke kun hensyn til størrelsen, men giver også retningen af ​​projektionen som en vektor.

Hvad er real-world-applikationer af vektorprojektion?

Vektorprojektion har applikationer inden for GPS-navigation, sportsanalyse, computergrafik til gengivelse af skygger og refleksioner og i augmented reality til at placere virtuelle objekter i rum i den virkelige verden.