ROW ECHELON FORM - TECHCODEVIEW.COM

En matrix er i Row Echelon-form, hvis den har følgende egenskaber:

Enhver række, der udelukkende består af nuller, forekommer i bunden af matrixen.
For hver række, der ikke indeholder helt nuller, er den første indtastning, der ikke er nul, 1 (kaldet en foranstående 1).
For to på hinanden følgende (ikke-nul) rækker er den førende 1 i den højere række længere til venstre end den førende i den nederste række.

For reduceret række echelon form, den forreste 1 af hver række indeholder 0 under og over sin i den kolonne.

Nedenfor er et eksempel på række-echelon-form:

egin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 2 end{bmatrix}

og reduceret række-echelon form:

download youtube video vlc

egin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 5 0 & 0 & 1 & 3 0 & 0 & 0 & 0 end{bmatrix}

Enhver matrix kan transformeres til reduceret række-echelonform ved hjælp af en teknik kaldet Gaussisk eliminering. Dette er især nyttigt til løsning af systemer med lineære ligninger.

Gaussisk Elimination

Gaussisk eliminering er en måde at konvertere en matrix til den reducerede række echelon-form. Det kan også bruges som en måde at finde en løsning på en løsning på systemet af lineære ligninger. Tanken bag dette er, at vi udfører nogle matematiske operationer på rækken og fortsætter, indtil der kun er én variabel tilbage.

Nedenfor er nogle operationer, som vi kan udføre:

Udskift to rækker
Tilføj to rækker sammen.
Multiplicer en række med en konstant, der ikke er nul (dvs. 1/3, -1/5, 2).

Givet følgende lineære ligning:

x - 2y + z = -1 2x + y - 3z = 8 4x - 7y + z = -2

og den udvidede matrix ovenfor

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 2 & 1 & 3 & : & 8 4 & -7 & 1 & : & -2 end{bmatrix}

Nu skal vi konvertere dette til række-echelon-formen. For at konvertere dette til række-echelon-form, skal vi udføre Gaussian Elimination.

deterministiske endelige automater

Først skal vi trække 2*r fra₁fra r₂og 4*r₁fra r₃for at få 0 på førstepladsen af r₂ogr₃.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 5 & -5 & : & 10 0 & 1 & -3 & : & 2 end{bmatrix}

int til streng konvertering i java

Dernæst vil vi udveksle rækkerne, r2 og r3 og derefter trække 5*r fra₂fra r₃for at få den anden 0 i tredje række.

egin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & : & -1 0 & 1 & -3 & : & 2 0 & 0 & 10 & : & 0 end{bmatrix}

Nu kan vi udlede værdien Med fra r_3,dvs. 10 z =0 ⇾ z=0. Ved hjælp af værdien af z =0 kan vi sætte den til r2, y = 2. På samme måde kan vi sætte værdien af y og z i r₁og vi får en værdi på x=3

Rang af matrix

Rangen af matricen er antallet af rækker, der ikke er nul, i rækkens echelonform. For at finde rangeringen skal vi udføre følgende trin:

Find række-echelon-formen for den givne matrix
Tæl antallet af rækker, der ikke er nul.

Lad os tage et eksempel på matrix:

egin{bmatrix} 4 & 0 & 1 2 & 0 & 2 3 & 0 & 3 end{bmatrix}

Nu reducerer vi ovenstående matrix til række-echelon-form

$egin{bmatrix} 1 & 0 & frac{1}{4} 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 end{bmatrix}$

Her indeholder kun to rækker ikke-nul elementer. Derfor er rangen af matrixen 2.

Implementering

For at konvertere en matrix til reduceret række-echelon-form brugte vi Sympy-pakken i python, først skal vi installere den.

python3

# install sympy> ! pip install sympy> # import sympy> import> sympy> # find the reduced row echelon form> sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rref()> # find the rank of matrix> print>('Rank of matrix :',sympy.Matrix([[>4>,>0>,>1>],[>2>,>0>,>2>],[>3>,>0>,>3>]]).rank())>

Produktion:

(Matrix([  [1, 0, 0],  [0, 0, 1],  [0, 0, 0]]), (0, 2))    Rank of matrix : 2>

TechCodeview