Funktioner i matematik kan opfattes som automater. Givet pengene i form af input, giver de nogle dåser eller småkager til gengæld. På samme måde tager funktioner nogle inputtal og giver os noget output. Man kan sige, at i det virkelige liv kan Alt formuleres og løses ved hjælp af funktioner. Fra bygningsdesign og arkitektur til Mega Skyskrabere kræver den matematiske model af næsten alt i det virkelige liv Funktioner, derfor kan det ikke undgås, at funktioner har gigantisk betydning i vores liv. Domæne og rækkevidde er et aspekt, hvorigennem en funktion kan beskrives.

For eksempel: Antag, at det er skrevet oven på maskinen, at kun Rs.20 og Rs.50 sedler kan bruges til at købe noget. Hvad hvis nogen bruger Rs.10-sedler? Maskinen giver ikke noget output. Så domænet repræsenterer, hvilken slags input vi kan have i en funktion. I dette tilfælde er Rs.20 og Rs.50 sedler domænet for automaten. På samme måde er det lige meget, hvor mange penge man lægger i maskinen, han/hun får aldrig Sandwicher fra den. Så konceptet med serien kommer i spil her, rækkevidde er de mulige output, maskinen kan give.

Område og domæne for en funktion

Domæne for en funktion:

Et domæne er alle de værdier, der kan indgå i en funktion, som det giver et gyldigt output for. Det er sættet af alle mulige input til en funktion.

java arraylist sortering

For eksempel: I figuren nedenfor er f(x) = x². Sættet af alle input kaldes domæne, og sættet af alle output betragtes som området.

Hvordan finder man domænet for en funktion?

Funktionens domæne skal indeholde alle reelle tal undtagen de punkter, hvor nævneren bliver nul, og led under kvadratrødderne bliver negative. For at finde domænet skal du prøve at finde de punkter eller inputværdier, som funktionen ikke er defineret over.

Spørgsmål 1: Find domænet for frac{1}{1-x}

Svar:

Denne funktion kan give udefineret output, når x = 1. Så er domænet R – {1} .

Spørgsmål 2: Find domænet for følgende funktion:

frac{x^2}{(x-3)(x-5)}

Svar :

Det er vigtigt ikke at gøre funktionen til hverken Infinity eller Undefined, derfor er vi nødt til at se, hvilke domæneværdier der kan gøre funktionen Udefineret eller Uendelig.

Tager man et kig på nævneren, er det tydeligt, at værdierne 3 og 5 gør nævneren til 0, hvilket gør funktionen uendelig, hvilket ikke er ønskeligt.

Derfor kan værdierne x=3 og x=5 ikke placeres her.

Domænet bliver R – {3,5}.

Spørgsmål 3: Find domæneværdierne, for hvilke funktionerne Y = (2x ² -1) og Z= (1-3x) er ens.

Svar :

Sæt lighedstegn mellem de to funktioner:

2 x²– 1 = 1 – 3 x

2x²+ 3x – 2 = 0

2x²+ 4x – x – 2 = 0

2x (x + 2) – 1 (x+2)= 0

(2x – 1) (x + 2) = 0

x = 1/2, -2.

Derfor er domæneværdierne {1/2, -2}.

c++ int til streng

Rækkevidde af en funktion

En funktions rækkevidde er et sæt af alle dens mulige udgange.

Eksempel: Lad os overveje en funktion ƒ: A⇢A, hvor A = {1,2,3,4}.

Elementerne i det indstillede domæne kaldes pre-images, og elementer i sættet Co-Domain, som er kortlagt til pre-images, kaldes billeder. Rækkevidden af ​​en funktion er et sæt af alle billeder af elementer i domænet. I dette eksempel er rækkevidden af ​​funktionen {2,3}.

Hvordan finder man rækkevidden af ​​en funktion?

Intervallet er spredningen af ​​værdierne af output fra en funktion. Hvis vi er i stand til at beregne funktionens maksimum- og minimumværdier, kan vi få en idé om funktionens rækkevidde.

Spørgsmål 1: Find rækkevidden. f(x) = sqrt{x – 1}

Svar:

Nu, da funktionen er en kvadratrod, kan den aldrig give negative værdier som output. Så minimumsværdien kan kun være 0 ved x = 1. Den maksimale værdi kan gå op til uendeligt, mens vi bliver ved med at øge x.

Så rækkevidden af ​​funktionen er [0,∞).

Spørgsmål 2: Domænet for funktionen ƒ defineret af f(x) = frac{1}{sqrtx} er?

Svar:

Givet, f(x) = frac{1}{sqrtx – } .

Man skal sikre sig to ting, mens man vælger et sæt af domæne,

• Nævneren går aldrig til nul.
• Udtrykket er inde i kvadratroden bliver ikke negativt.

Lad os udvide, hvad der er skrevet inde i termen inden for kvadratroden.

sqrtx= egin{cases} x – x = 0,& ext{if } xgeq 0 2x, & ext{otherwise} end{cases}

ubuntu build vigtigt

I dette tilfælde kan vi ikke sætte nogen af ​​værdierne, x ≥ 0 eller x <0.

Derfor er f ikke defineret for nogen x ∈ R. Så domænet er et tomt sæt.

Domæne og række af kvadratiske funktioner

Kvadratiske funktioner er funktionerne på formen f(x) = ax²+ bx + c, hvor a, b og c er konstanter og a ≠ 0. Grafen for en kvadratisk funktion er i form af en parabel. Det er dybest set en buet form, der åbner op eller ned.

Lad os se på, hvordan man tegner kvadratiske funktioner,

Altså i vores kvadratiske funktion

• hvis a> 0, åbner parablen sig opad.
• hvis a <0, åbner parablen sig nedad.

Nu er toppunktet det højeste eller laveste punkt på vores kurve afhængigt af grafen for den kvadratiske funktion. At finde toppunktet på grafen for et generelt kvadratisk udtryk.

I den kvadratiske standardform er toppunktet givet ved(frac{-b}{2a}, f(frac{-b}{2a})) Man skal først finde x-værdien af ​​toppunktet og så skal man bare sætte den ind i funktionen for at få y-værdien.

type i java

Bemærk: Hver kurve er symmetrisk omkring sin lodrette akse.

Lad os se på nogle eksempler,

Spørgsmål: Tegn grafen for f(x) = 2x ² + 4x + 2.

Svar:

Sammenligning af denne ligning med den generelle andengradsfunktionsligning. a = 2, b = -4 og c = 2.

Da a> 0, vil denne parabel åbne sig opad.

• Toppunkt x-værdi =frac{-b}{2a} = frac{-4}{4} = -1
• Toppunkt y-værdi = 2(-1)²+ 4(-1) + 2 = 0

Så toppunktet er på (-1,0). Da parablen åbner opad, skal dette være minimumsværdien af ​​funktionen.

Punktet, hvor grafen skærer y-aksen, er (0,2).

Område og domæne af kvadratiske funktioner kan let findes ud ved at plotte grafen. Det er ikke altid nødvendigt at plotte hele grafen, for rækkevidde bør kun retningen af ​​parablen (opad eller nedad) og værdien af ​​parablen ved toppunktet være kendt. Værdien ved toppunktet er altid enten minimum/maksimum afhængigt af retningen af ​​parablen. Domænet for sådanne funktioner er altid hele reelle tal, fordi der er defineret overalt, dvs. der er ingen værdi af input, som kan få dem til at give udefineret som output.

Lad os se på et andet eksempel vedrørende parablens domæne og rækkevidde.

Spørgsmål: Plot grafen og find domæne og område for den givne funktion, f(x) = -x ² + 4.

Svar:

Da a = -1. Parabel vil åbne nedad dvs. der vil ikke være nogen minimumsværdi, den vil strække sig til det uendelige. Men der vil være en maksimal værdi, som vil forekomme ved toppunktet.

For at finde toppunktets position kan forrige formel bruges. Toppunktet er i position (0,4).

Værdien ved toppunktet (0,4) = (0)²+ 4 = 4.

Så den maksimale værdi er 4 og minimumsværdien er negativ eller uendelig.

Funktionens område – (-∞, 4] og domænet er R .