De Morgans lov er den mest almindelige lov i mængdeteori og boolsk algebra samt mængdelære. I denne artikel vil vi lære om De Morgans lov, De Morgans lov i mængdeteori og De Morgans lov i boolsk algebra sammen med dens beviser, sandhedstabeller og logiske portdiagrammer. Artiklen indeholder også det løste De Morgans loveksempel og ofte stillede spørgsmål om De Morgans lov. Lad os lære om De Morgans lov.

Indholdsfortegnelse

• Hvad er De Morgans lov
• De Morgans lov i mængdeteori
• Først De Morgans lov
• Anden De Morgans lov
• Bevis ved brug af algebra af sæt
• De Morgans lov i boolsk algebra
• Fra Morgans lovformel
• Løste eksempler på De Morgans lov
• Logiske anvendelser af De Morgans lov

Hvad er De Morgans lov

De Morgans lov er loven, der giver forholdet mellem forening, skæringspunkt og komplementer i mængdeteori. I boolsk algebra giver den relationen mellem AND, OR og komplementer til variablen, og i logik giver den relationen mellem AND, OR eller Negation af sætningen. Ved hjælp af De Morgans lov kan vi optimere forskellige booleske kredsløb, der involverer logiske porte, som hjælper os med at udføre den samme operation, men med meget få apparater.

De Morgans lov i mængdeteori

De Morgans lov i mængdeteori definerer forholdet mellem foreningen, skæringspunktet og komplementerne af sættene, og er givet for både komplement af forening og skæring af to sæt. I mængdeteori er der to De Morgans love, der er:

• Først De Morgans lov
• Anden De Morgans lov

Lad os forstå disse love i detaljer som nedenfor:

fil åben i java

Først De Morgans lov

Først siger De Morgans lov det Komplementet af foreningen af ​​to sæt er lig med skæringspunktet mellem komplementerne i hvert sæt.

Lad A og B være to sæt, så matematisk er først De Morgans lov givet som:

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Hvor

• I repræsenterer Unionens operation mellem sæt,
• ∩ repræsenterer skæringsoperation mellem sæt, og
• ' repræsenterer komplementdrift på et sæt.

Det kaldes også De Morgans lov om forening.

Detaljeret beviset for De Morgans lov

Bevis ved brug af algebra af sæt

Vi skal bevise, (A ∪ B)' = A' ∩ B'

Lad X = (A ∪ B)' og Y = A' ∩ B'

Lad p være et hvilket som helst element af X, så p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∪ B)'

⇒ p ∉ (A ∪ B)

⇒ p ∉ A eller p ∉ B

⇒ p ∈ A' og p ∈ B'

⇒ p ∈ A’ ∩ B’

⇒ p ∈ Y

∴X ⊂Y. . . (Jo)

Lad igen q være et hvilket som helst element af Y, så q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∩ B’

⇒ q ∈ A’ og q ∈ B’

⇒ q ∉ A eller q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∪ B)

⇒ q ∈ (A ∪ B)'

⇒ q ∈ X

∴Y ⊂X. . . (ii)

Fra (i) og (ii) X = Y

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Læs også - Bevis for De-Morgans love i boolsk algebra

Bevis ved hjælp af Venn-diagram

Venn Diagram for (A ∪ B)'

Venn Diagram for A' ∩ B'

Fra begge diagrammer kan vi tydeligt sige,

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Det er den første De Morgans lov.

Anden De Morgans lov

Anden De Morgans lov siger det Komplementet af skæringspunktet mellem to sæt er lig med foreningen af ​​komplementerne i hvert sæt.

Lad A og B være to sæt, så matematisk er først De Morgans lov givet som:

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Hvor

• I repræsenterer Unionens operation mellem sæt,
• ∩ repræsenterer skæringsoperation mellem sæt, og
• ' repræsenterer komplementdrift på et sæt.

Det kaldes også De Morgans lov om skæringspunkter .

Bevis ved brug af algebra af sæt

Anden De Morgans lov: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Lad X = (A ∩ B)' og Y = A' ∪ B'

Lad p være et hvilket som helst element af X, så p ∈ X ⇒ p ∈ (A ∩ B)'

⇒ p ∉ (A ∩ B)

⇒ p ∉ A og p ∉ B

⇒ p ∈ A’ eller p ∈ B’

⇒ p ∈ A’ ∪ B’

⇒ p ∈ Y

∴ X ⊂ Y ————–(i)

Lad igen q være et hvilket som helst element af Y, så q ∈ Y ⇒ q ∈ A’ ∪ B’

⇒ q ∈ A’ eller q ∈ B’

⇒ q ∉ A og q ∉ B

⇒ q ∉ (A ∩ B)

⇒ q ∈ (A ∩ B)'

⇒ q ∈ X

∴ Y ⊂ X ————–(ii)

Fra (i) og (ii) X = Y

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Bevis ved hjælp af Venn-diagram

Venn Diagram for (A ∩ B)'

Venn diagram for A' ∪ B'

Fra begge diagrammer kan vi tydeligt sige

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Det er den anden De Morgans lov.

De Morgans lov i boolsk algebra

De Morgans lov boolesk algebra definerer forholdet mellem OR, AND og komplementerne af variabler og er givet for både komplementet af AND og OR af to værdier. I boolsk algebra er der to De Morgans love, der er:

• Først De Morgans lov
• Anden De Morgans lov

Lad os forstå disse love i detaljer som nedenfor:

Første De Morgans lov i boolsk algebra

Først siger De Morgans lov det Komplementet af OR af to eller flere variable er lig med AND af komplementet af hver variabel.

Lad A og B være to variable, så matematisk er først De Morgans lov givet som:

(A + B)' = A'. B'

Hvor

• + repræsenterer OR-operatoren mellem variabler,
• . repræsenterer OG-operator mellem variabler, og
• ' repræsenterer komplementoperation på variabel.

Først De Morgan's Law Logic Gates

I sammenhæng med logiske porte og boolsk algebra, siger De Morgans lov, at begge de logiske portkredsløb, dvs. NOT-porten føjes til outputtet fra OR-porten, og NOT-porten tilføjes til AND-portens input, er ækvivalente. Disse to logiske portkredsløb er givet som følger:

Første De Morgan's Law Truth Table

Sandhedstabellen for den første De Morgans lov er givet som følger:

Anden De Morgans lov i boolsk algebra

Anden De Morgans lov siger det Komplementet af AND af to eller flere variable er lig med ELLER for komplementet af hver variabel.

Lad A og B være to variable, så er anden De Morgans lov matematisk givet som:

(A . B)' = A' + B'

Hvor

• + repræsenterer OR-operatoren mellem variabler,
• . repræsenterer OG-operator mellem variabler, og
• ' repræsenterer komplementoperation på variabel.

Anden De Morgan's Law Logic Gates

I forbindelse med logiske porte og boolsk algebra, siger De Morgans lov, at begge de logiske portkredsløb, dvs. NOT-porten føjes til outputtet fra AND-porten, og NOT-porten tilføjes til OR-portens input, er ækvivalente. Disse to logiske portkredsløb er givet som følger:

Anden De Morgan's Law Truth Table

Sandhedstabellen for den anden De Morgans lov er givet som følger:

Fra Morgans lovlogik

I De Morgans lov for logik er nedenstående præpositioner tautologi:

∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b

∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Hvor,

• ∧ gengiver sammensætningen af ​​udsagn,
• ∨ repræsenterer adskillelsen af ​​udsagn,
• ~ repræsenterer negationen af ​​udsagn, og
• ≡ repræsenterer ækvivalensen af ​​udsagn.

Fra Morgans lovformel

Lad os kompilere alle formlerne for De Morgans lov i den følgende liste.

For mængdelære:

• (A ∪ B)' = A' ∩ B'
• (A ∩ B)' = A' ∪ B'

For boolesk algebra:

• (A + B)' = A'. B'
• (A . B)' = A' + B'

For logik:

• ∼ (a ∧ b) ≡ ∼ a ∨ ∼ b
• ∼ (a ∨ b) ≡ ∼ a ∧ ∼ b

Løste eksempler på De Morgans lov

Opgave 1: Givet at U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} og B = {2, 3, 9}. Bevis De Morgans anden lov.

Løsning:

U = {2, 3, 7, 8, 9}, A = {2, 7} og B = {2, 3, 9}

For at bevise: (A ∩ B)' = A' ∪ B'

(A ∩ B) = {2}

(A ∩ B)' = U – (A ∩ B) = {2, 3, 7, 8, 9} – {2}

(A ∩ B)' = {3, 7, 8, 9}

A' = U – A = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 7}

afkorte og slette forskel

A' = {3, 8, 9}

B' = U – B = {2, 3, 7, 8, 9} – {2, 3, 9}

B' = {7, 8}

A' ∪ B' = {3, 8, 9} ∪ {7, 8}

A' ∪ B' = {3, 7, 8, 9}

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

Opgave 2: Givet at U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} og B = {4, 6, 9}. Bevis De Morgans første lov.

Løsning:

U = {1, 4, 6, 8, 9}, A = {1, 9} og B = {4, 6, 9}

For at bevise: (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(A ∪ B) = {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = U – (A ∪ B) = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 4, 6, 9}

(A ∪ B)' = {8}

A' = U – A = {1, 4, 6, 8, 9} – {1, 9}

A' = {4, 6, 8}

B’ = U – B = {1, 4, 6, 8, 9} – {4, 6, 9}

B' = {1, 8}

A' ∩ B' = {4, 6, 8} ∩ {1, 8}

A' ∩ B' = {8}

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

Derfor bevist

Opgave 3: Simplificere det booleske udtryk: Y = [(A + B).C]'

Løsning:

Y = [(A + B).C]'

Anvendelse af De Morgans lov (A . B)' = A' + B'

Y = (A + B)' + C'

Anvendelse af De Morgans lov (A + B)' = A'. B'

Y = A'. B' + C'

Opgave 4: Simplificere det booleske udtryk: X = [(A + B)' + C]'

Løsning:

X = [(A + B)' + C]'

Anvendelse af De Morgans lov (A + B)' = A'. B'

X = [(A + B)']'. C'

X = (A + B). C'

Tjek denne kilde for mere:

Vis eksempler på De Morgans lov

Fra Morgans lov Praktiske eksempler

Eksempel 1: Pizzapålæg

Forestil dig, at du er til en pizzafest, og du får at vide, at du kan vælge et hvilket som helst toppings bortset fra både svampe og oliven sammen.

• Brug af De Morgans lov : Det betyder, at hvis du ikke vil have både svampe og oliven (Ikke (Svampe og Oliven)), kan du enten ikke have svampe (Ikke Svampe) eller ikke have oliven (Ikke Oliven) på din pizza. Så du kunne have en pizza med bare svampe, bare oliven eller ingen af ​​delene!

Eksempel 2: Biblioteksbøger

Din lærer siger, at du ikke kan tage bøger om troldmænd eller drager med ind i klasseværelset.

• Brug af De Morgans lov : Det betyder, at hvis du ikke har tilladelse til bøger om troldmænd eller drager (Ikke (trollmænd eller drager)), kan du ikke medbringe bøger om troldmænd (ikke troldmænd), og du kan ikke medbringe bøger om drager (ikke drager). Så bøger om rum eller dyr er stadig okay!

Eksempel 3: At spille udenfor

Din mor siger, at du ikke kan lege udenfor, hvis det regner og er koldt på samme tid.

• Brug af De Morgans lov : Det betyder, at hvis du ikke går ud, fordi det regner og er koldt (Ikke (regner og koldt)), vil du ikke gå ud, hvis det bare regner (regner ikke) eller bare koldt (ikke koldt). Men hvis det er solrigt og varmt, er du klar!

Eksempel 4: Valg af film

Din ven siger, at de ikke vil se en film, der er skræmmende eller kedelig.

• Brug af De Morgans lov : Det betyder, at hvis din ven ikke vil have en film, der er skræmmende eller kedelig (Not (Scary or Boring)), vil de ikke have en skræmmende film (Not Scary), og de vil ikke have en kedelig film (Not Boring) . Så en sjov eller spændende film ville være perfekt!

Logiske anvendelser af De Morgans lov

Fra Morgans lov – ofte stillede spørgsmål

Angiv De Morgans første lovudsagn i mængdelære.

De Morgans første lov i mængdeteori siger, at komplementet af forening af to sæt er lig med skæringspunktet mellem deres individuelle komplementer.

Angiv De Morgans anden loverklæring i boolsk algebra.

De Morgans anden lov i boolsk algebra siger, at komplementet af AND af to eller flere variabler er lig med OR for komplementet af hver variabel.

Skriv formlen for De Morgans lov i mængdelære.

Formlen for De Morgans lov i mængdeteori:

(i) (A ∪ B)' = A' ∩ B'

(ii) (A ∩ B)' = A' ∪ B'

Skriv formlen for De Morgans lov i boolsk algebra.

Formlen for De Morgans lov i boolsk algebra:

(i) (A + B)' = A'. B'

(ii) (A . B)' = A' + B'

Skriv nogle anvendelser af De Morgans lov.

Nogle af anvendelserne af De Morgans lov er at minimere det komplekse boolske udtryk og simpelthen det.

Hvordan beviser man De Morgans lov?

De Morgans lov i mængdeteorien kan bevises med Venn-diagrammerne, og De Morgans lov i den boolske algebra kan bevises med sandhedstabeller.