Permutation og kombination er de mest grundlæggende begreber i matematik, og med disse begreber introduceres en ny gren af ​​matematik for eleverne, dvs. kombinatorik. Permutation og kombination er måderne til at arrangere en gruppe af objekter ved at vælge dem i en bestemt rækkefølge og danne deres undersæt.

For at arrangere grupper af data i en bestemt rækkefølge bruges permutations- og kombinationsformler. At vælge data eller objekter fra en bestemt gruppe siges at være permutation, hvorimod den rækkefølge, de er arrangeret i, kaldes en kombination.

Permutationer og kombinationer

I denne artikel vil vi studere begrebet permutation og kombination og deres formler ved at bruge disse til også at løse mange prøveproblemer.

Indholdsfortegnelse

• Permutation Betydning
• Betydning af kombination
• Afledning af permutations- og kombinationsformler
• Forskellen mellem permutation og kombination
• Løste eksempler på permutation og kombination

Permutation Betydning

Permutation er de forskellige fortolkninger af et givet antal komponenter, der bæres én efter én, eller nogle eller alle ad gangen. For eksempel, hvis vi har to komponenter A og B, så er der to sandsynlige præstationer, AB og BA.

Et antal permutationer, når 'r'-komponenter er placeret ud af i alt 'n'-komponenter er ⁿ P _r . Lad for eksempel n = 3 (A, B og C) og r = 2 (Alle permutationer af størrelse 2). Så er der ³ P ₂ sådanne permutationer, som er lig med 6. Disse seks permutationer er AB, AC, BA, BC, CA og CB. De seks permutationer af A, B og C taget tre ad gangen er vist på billedet tilføjet nedenfor:

Permutation Betydning

Permutationsformel

Permutationsformel bruges til at finde antallet af måder at vælge på r ting ud af n forskellige ting i en bestemt rækkefølge og udskiftning er ikke tilladt og gives som følger:

Permutationsformel

Forklaring af Permutationsformel

Som vi ved, er permutation en arrangement af r ting ud af n, hvor rækkefølgen af ​​arrangement er vigtig (AB og BA er to forskellige permutationer). Hvis der er tre forskellige tal 1, 2 og 3, og hvis nogen er nysgerrig efter at permutere tallene ved at tage 2 på et øjeblik, viser det (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 3) (3, 1) og (3, 2). Det vil sige, at det kan opnås på 6 metoder.

Her er (1, 2) og (2, 1) forskellige. Igen, hvis disse 3 tal skal sættes håndtering alle ad gangen, så vil fortolkningerne være (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1) ), (3, 1, 2) og (3, 2, 1) dvs. på 6 måder.

Generelt kan n forskellige ting indstilles med r (r^thting kan være enhver af de resterende n – (r – 1) ting.

Derfor er hele antallet af permutationer af n forskellige ting, der bærer r ad gangen, n(n – 1)(n – 2)...[n – (r – 1)], som er skrevet somⁿP_r. Eller med andre ord,

old{{}^nP_r = frac{n!}{(n-r)!} }

Betydning af kombination

Det er de adskilte sektioner af et delt antal komponenter, der bæres én efter én, eller nogle eller alle ad gangen. For eksempel, hvis der er to komponenter A og B, så er der kun én måde at vælge to ting på, vælg dem begge.

Lad for eksempel n = 3 (A, B og C) og r = 2 (Alle kombinationer af størrelse 2). Så er der ³ C ₂ sådanne kombinationer, som er lig med 3. Disse tre kombinationer er AB, AC og BC.

Her, den kombination af to bogstaver ud af tre bogstaver A, B og C er vist nedenfor, bemærker vi, at i kombination er rækkefølgen, som A og B tages i, ikke vigtig, da AB og BA repræsenterer den samme kombination.

Betydning af kombination

Bemærk: I det samme eksempel har vi forskellige punkter for permutation og kombination. For, AB og BA er to forskellige elementer, dvs. to forskellige permutationer, men for at vælge er AB og BA de samme, dvs. samme kombination.

Kombinationsformel

Kombinationsformel bruges til at vælge 'r'-komponenter ud af et samlet antal 'n'-komponenter og er givet af:

Kombinationsformel

Ved at bruge ovenstående formel for r og (n-r), får vi det samme resultat. Dermed,

old{{}^nC_r = {}^nC_{(n-r)}}

Forklaring af kombinationsformlen

Kombination er derimod en type pakke. Igen, ud af disse tre tal 1, 2 og 3, hvis sæt er oprettet med to tal, så er kombinationerne (1, 2), (1, 3) og (2, 3).

Her er (1, 2) og (2, 1) identiske, i modsætning til permutationer, hvor de er forskellige. Dette er skrevet som³C₂. Generelt er antallet af kombinationer af n forskellige ting taget r ad gangen,

old{{}^nC_r = frac{n!}{r! imes(n-r)!} = frac{{}^nP_r}{r!}}

Afledning af permutations- og kombinationsformler

Vi kan udlede disse permutations- og kombinationsformler ved hjælp af de grundlæggende tællemetoder, da disse formler repræsenterer det samme. Afledning af disse formler er som følger:

Formel for afledning af permutationer

Permutation er at udvælge r forskellige objekter fra n objekter uden udskiftning, og hvor udvælgelsesrækkefølgen er vigtig, får vi ved grundsætningen om optælling og definitionen af ​​permutation

P (n, r) = n. (n-1). (n-2). (n-3). . . . .(n-(r+1))

Ved at gange og dividere ovenfor med (n-r)! = (n-r).(n-r-1).(n-r-2). . . . .3. 2. 1, får vi

P (n, r) = [n.(n−1).(n−2)….(nr+1)[(n−r)(n−r−1)(n-r)!] / (n-r) !

⇒ P (n, r) = n!/(n−r)!

Således er formlen for P (n, r) udledt.

Formel for afledning af kombinationer

Kombination er at vælge r elementer ud af n elementer, når rækkefølgen af ​​udvælgelse er uden betydning. Dens formel beregnes som,

C(n, r) = Samlet antal permutationer /Antal måder at arrangere r forskellige objekter på.
[Eftersom vi ved grundsætningen om optælling kender antallet af måder at arrangere r forskellige objekter på på r måder = r!]

C(n,r) = P (n, r)/r!

⇒ C(n,r) = n!/(n−r)!r!

Således er formlen for kombination, dvs. C(n, r) afledt.

Forskellen mellem permutation og kombination

Forskelle mellem permutation og kombination kan forstås af følgende tabel:

Tjek også,

• Binomialsætning
• Binomial udvidelse
• Binomiale tilfældige variable
• Grundlæggende sætning om optælling

Løste eksempler på permutation og kombination

Eksempel 1: Find antallet af permutationer og kombinationer af n = 9 og r = 3 .

Løsning:

Givet, n = 9, r = 3

Ved at bruge formlen ovenfor:

For permutation:

ⁿP_r= (n!) / (n – r)!

⇒ⁿP_r= (9!) / (9 – 3)!

⇒ⁿP_r= 9! /6! = (9 × 8 × 7 × 6! )/ 6!

⇒ ⁿ P _r = 504

Til kombination:

ⁿC_r= n!/r!(n − r)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(9 − 3)!

⇒ⁿC_r= 9!/3!(6)!

⇒ⁿC_r= 9 × 8 × 7 × 6!/3!(6)!

⇒ ⁿ C _r = 84

Eksempel 2: På hvor mange måder kan et udvalg bestående af 4 mænd og 2 kvinder vælges blandt 6 mænd og 5 kvinder?

Løsning:

Vælg 4 mand ud af 6 mand =⁶C₄måder = 15 måder

Vælg 2 kvinder ud af 5 kvinder =⁵C₂måder = 10 måder

Udvalget kan vælges pr⁶C₄×⁵C₂= 150 måder.

Eksempel 3: På hvor mange måder kan 5 forskellige bøger placeres på en hylde?

Løsning:

Dette er et permutationsproblem, fordi rækkefølgen af ​​bøgerne har betydning.

Ved at bruge permutationsformlen får vi:

⁵P₅= 5! / (5 – 5)! = 5! / 0! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120

Derfor er der 120 måder at arrangere 5 forskellige bøger på en hylde.

Eksempel 4: Hvor mange 3-bogstavs ord kan dannes ved at bruge bogstaverne fra ordet FABEL?

Løsning:

diskret matematik negation

Dette er et permutationsproblem, fordi rækkefølgen af ​​bogstaverne har betydning.

Ved at bruge permutationsformlen får vi:

⁵P₃= 5! / (5 – 3)! = 5! / 2! = 5 x 4 x 3 = 60

Derfor er der 60 3-bogstavs ord, der kan dannes ved hjælp af bogstaverne fra ordet FABEL.

Eksempel 5: Der skal dannes et udvalg på 5 medlemmer af en gruppe på 10 personer. På hvor mange måder kan dette gøres?

Løsning:

Dette er et kombinationsproblem, fordi rækkefølgen af ​​medlemmerne er ligegyldig.

Ved hjælp af kombinationsformlen får vi:

¹⁰C₅= 10! / (5! x (10 – 5)!) = 10! / (5! x 5!)

⇒¹⁰C₅= (10 x 9 x 8 x 7 x 6) / (5 x 4 x 3 x 2 x 1) = 252

Derfor er der 252 måder at danne et udvalg på 5 medlemmer fra en gruppe på 10 personer.

Eksempel 6: En pizzarestaurant tilbyder 4 forskellige toppings til deres pizzaer. Hvis en kunde ønsker at bestille en pizza med præcis 2 toppings, på hvor mange måder kan det så gøres?

Løsning:

Dette er et kombinationsproblem, fordi rækkefølgen af ​​toppings er ligegyldig.

Ved hjælp af kombinationsformlen får vi:

⁴C₂= 4! / (2! x (4 – 2)!) = 4! / (2! x 2!) = (4 x 3) / (2 x 1) = 6

Derfor er der 6 måder at bestille en pizza med præcis 2 toppings fra 4 forskellige toppings.

Eksempel 7: Hvor store ord kan der skabes ved at bruge 2 bogstaver fra udtrykket LOVE?

Løsning:

Udtrykket LOVE har 4 forskellige bogstaver.

Derfor påkrævet antal ord =⁴P₂= 4! / (4 – 2)!

Nødvendigt antal ord = 4! / 2! = 24/2

⇒ Nødvendigt antal ord = 12

Eksempel 8: Hvor mange ord af 3 konsonanter og 2 vokaler kan der dannes ud af 5 konsonanter og 3 vokaler?

Løsning:

Antal måder at vælge 3 konsonanter på fra 5 =⁵C₃

Antal måder at vælge 2 vokaler på fra 3 =³C₂

Antal måder at vælge 3 konsonanter på fra 2 og 2 vokaler fra 3 =⁵C₃׳C₂

⇒ Påkrævet tal = 10 × 3

= 30

Det betyder, at vi kan have 30 grupper, hvor hver gruppe indeholder i alt 5 bogstaver (3 konsonanter og 2 vokaler).

Antal måder at arrangere 5 bogstaver indbyrdes på

= 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Derfor er det nødvendige antal måder = 30 × 120

⇒ Påkrævet antal måder = 3600

Eksempel 9: Hvor mange forskellige kombinationer får du, hvis du har 5 genstande og vælger 4?

Løsning:

Indsæt de givne tal i kombinationsligningen og løs. n er antallet af elementer, der er i sættet (5 i dette eksempel); r er antallet af elementer, du vælger (4 i dette eksempel):

C(n, r) = n! /r! (n – r)!

⇒ⁿC_r= 5! / 4! (5 – 4)!

⇒ⁿC_r= (5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (4 × 3 × 2 × 1 × 1)

⇒ⁿC_r= 120/24

⇒ⁿC_r= 5

Løsningen er 5.

Eksempel 10: Ud af 6 konsonanter og 3 vokaler, hvor mange udtryk af 2 konsonanter og 1 vokal kan oprettes?

Løsning:

Antal måder at vælge 2 konsonanter fra 6 =⁶C₂

Antal måder at vælge 1 vokal på fra 3 =³C₁

Antal måder at vælge 3 konsonanter på fra 7 og 2 vokaler fra 4.

⇒ Påkrævede måder =⁶C₂׳C₁

⇒ Påkrævede måder = 15 × 3

⇒ Påkrævede måder= 45

Det betyder, at vi kan have 45 grupper, hvor hver gruppe indeholder i alt 3 bogstaver (2 konsonanter og 1 vokaler).

Antal måder at arrangere 3 bogstaver indbyrdes på = 3! = 3 × 2 × 1

⇒ Påkrævede måder at arrangere tre bogstaver = 6

Derfor er det nødvendige antal måder = 45 × 6

⇒ Påkrævede måder = 270

Eksempel 11: I hvor mange forskellige former kan bogstaverne i udtrykket 'TELEFON' organiseres, så vokalerne konsekvent komme i fællesskab?

Løsning:

Ordet 'TELEFON' har 5 bogstaver. Den har vokalerne 'O',' E' i sig, og disse 2 vokaler bør konsekvent komme sammen. Disse to vokaler kan således grupperes og ses som et enkelt bogstav. Det vil sige PHN(OE).

Derfor kan vi tage samlede bogstaver som 4, og alle disse bogstaver er forskellige.

Antal metoder til at organisere disse bogstaver = 4! = 4 × 3 × 2 × 1

⇒ Nødvendige måder at arrangere bogstaver på = 24

Alle de 2 vokaler (OE) er adskilte.

Antal måder at arrangere disse vokaler indbyrdes på = 2! = 2 × 1

⇒ Nødvendige måder at arrangere vokaler på = 2

Derfor er det nødvendige antal måder = 24 × 2

⇒ Påkrævede måder = 48.

Ofte stillede spørgsmål om permutationer og kombinationer

Hvad er faktorformlen?

Faktoriel formel bruges til beregning af permutationer og kombinationer. Faktorialformlen for n! er givet som

n! = n × (n-1) × . . . × 4 × 3 × 2 × 1

For eksempel 3! = 3 × 2 × 1 = 6 og 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.

Hvad gør ⁿ C _r repræsentere?

ⁿC_rrepræsenterer antallet af kombinationer, der kan laves ud fra n genstande tager r på et tidspunkt.

Hvad mener du med permutationer og kombinationer?

En permutation er en handling med at arrangere ting i en bestemt rækkefølge. Kombinationer er måderne at vælge på r genstande fra en gruppe af n objekter, hvor rækkefølgen af ​​det valgte objekt ikke påvirker den samlede kombination.

Skriv eksempler på permutationer og kombinationer.

Antal 3-bogstavs ord, der kan dannes ved at bruge bogstaverne i ordet siger, HEJ;⁵P₃= 5!/(5-3)! dette er et eksempel på en permutation.
Antal kombinationer vi kan skrive ordene ved hjælp af vokalerne i ordet HEJ;⁵C₂=5!/[2! (5-2)!], dette er et eksempel på en kombination.

Skriv formlen til at finde permutationer og kombinationer.

• Formel til beregning af permutationer: ⁿ Pr = n!/(n-r)!
• Formel til beregning af kombinationer: ⁿ Cr = n!/[r! (n-r)!]

Skriv nogle eksempler fra det virkelige liv på permutationer og kombinationer.

Sortering af personer, tal, bogstaver og farver er nogle eksempler på permutationer.
Valg af menu, tøj og emner er eksempler på kombinationer.

Hvad er værdien af ​​0!?

Værdien af ​​0! = 1, er meget nyttig til at løse permutations- og kombinationsproblemerne.