logo

TechCodeview

En til en funktioner i matematik

En til en funktion eller One-One Function er en af ​​de typer af funktioner defineret over domæne og codomæne og beskriver den specifikke type forhold mellem domæne og codomæne. En til en funktion kaldes også den indsprøjtende funktion. En til en funktion er en matematisk funktion, hvor hvert element i domænet maps til et unikt element i codomænet .

Denne artikel udforsker begrebet en-til-én-funktion eller én-en-funktion i detaljer, herunder dens definition og eksempler, som hjælper dig med at forstå konceptet med lethed. Vi vil også diskutere nogle eksempler på problemer og give nogle praksisproblemer, som du kan løse. Så lad os lære om dette vigtige begreb i matematik kendt som en til en funktion.



Indholdsfortegnelse

Hvad er en-til-en funktion?

En en-til-en funktion, også kendt som en injektiv funktion, er en, hvor forskellige elementer i A har forskellige elementer relateret til B, eller forskellige elementer i A har forskellige billeder i B.

Hvis der er forskellige billeder for en funktion, betyder det, at det kun er muligt for en-til-en, hvis forbillederne var forskellige, hvis B-sæt har forskellige elementer, hvilket betyder, at det kun er muligt, når et sæt havde forskellige elementer, som disse var forbilleder.



xor c++

En til en funktionsdefinition

En funktion 'f' fra et sæt 'A' til sæt 'B' er en-til-en, hvis ikke to elementer i 'A' er knyttet til det samme element i 'B'.

En-til-en-funktion-1

Lad os overveje disse to diagrammer. For diagram A indser vi, at 10 kort til 1, 20 kort til 2 og 30 kort til 3.



Men for diagram B er det klart, at 10 og 30 kort til 3 og derefter 20 kort til 1.

Da vi har elementer i domænet, der svarer til forskellige værdier i hvert domæne for diagram A, gør det funktionen en-til-en, således vores diagram B er ikke en til en.

Dette kan udtrykkes matematisk som

f(a) = f(b) ⇒ a = b

Eksempel på en-til-en-funktioner

  • Identitetsfunktion: Identitetsfunktionen er et simpelt eksempel på en en-til-en funktion. Den tager et input og returnerer den samme værdi som outputtet. For ethvert reelt tal x er identitetsfunktionen defineret som:

f(x) = x

Hvert distinkt input x svarer til et distinkt output f(x), hvilket gør det til en en-til-en funktion.

  • Lineær funktion: En lineær funktion er en, hvor variablens højeste potens er 1. For eksempel:

f(x) = 2x + 3

Dette er en en-til-en funktion, fordi uanset hvilken værdi af x du vælger, vil du få en unik værdi for f(x).

  • Absolut værdi funktion: Absolutværdifunktionen f(x)=∣x∣ er også en en-til-en funktion. For ethvert reelt tal x returnerer absolutværdifunktionen en ikke-negativ værdi, og forskellige værdier af x vil resultere i forskellige absolutte værdier.

Lad os bevise et sådant eksempel for en-til-en-funktion.

Eksempel: Bevis, at funktionen f(x) = 1/(x+2), x≠2 er en-til-en.

Løsning:

Ifølge en-til-en funktion ved vi det

f(a) = f(b)

erstatte a med x og x med b

f(a) = 1/(a+2) , f(b) = 1/(b+2)

⇒ 1/(a+2) = 1/(b+2)

kryds gange ovenstående ligning

1(b+2)=1(a+2)

b+2=a+2

⇒ b=a+2-2

∴ a=b

Nu, da a = b, siges funktionen at være en-til-en funktion.

Egenskaber En-til-en-funktioner

Lad os betragte f og g som to en-til-en-funktioner, egenskaberne er som følger:

  • Hvis f og g begge er en til en, så følger f ∘ g efter injektivitet.
  • Hvis g ∘ f er en til en, så er funktion f en til en, men funktion g er det muligvis ikke.
  • f: X → Y er en-en, hvis og kun hvis, givet nogen funktioner g, h : P → X hver gang f ∘ g = f ∘ h, så g = h. Med andre ord er en-en-funktioner præcis monomorfismerne i kategorisættet af sæt.
  • Hvis f: X → Y er en-en og P er en delmængde af X, så f-1(f(A)) = P. Således kan P hentes fra sit billede f(P).
  • Hvis f: X → Y er en-en, og P og Q begge er delmængder af X, så er f(P ∩ Q) = f(P) ∩ f(Q).
  • Hvis både X og Y er begrænset med det samme antal elementer, så er f: X → Y en-en, hvis og kun hvis f er surjektiv eller på funktion.

Graf over en-til-en funktion

Lad os se en af ​​grafrepræsentationerne af en-til-en-funktion

En-til-en-funktionsgraf

Ovenstående graf for funktion f(x)= √x viser den grafiske repræsentation af en-til-en funktion.

Horisontal linjetest

En funktion er en-til-en, hvis hver vandret linje ikke skærer grafen mere end ét punkt.

Lad os bruge en lineær funktion som eksempel. Lad os kalde det f(x) , så f(x) har en invers funktion. For at afgøre, om f(x) har en invers funktion, skal du vise, at det er en en-til-en funktion, du skal vise, at den består den vandrette linjetest. Så hvis vi tegner en vandret linje, og hvis f(x) rører vandret linje mere end én gang, betyder det, at f(x) ikke er en en-til-en-funktion, og den har ikke en invers funktion.

Horisontal linjetest

I ovenstående eksempel skærer den kun den vandrette linje kun på ét punkt. Så f(x) er en-til-en funktion, hvilket betyder, at den har en invers funktion.

Omvendt af en-til-en funktion

Lad f være en en-til-en funktion med et domæne A og område B. Så er det inverse af f en funktion med domæne B og område A defineret af f-1(y) =x hvis og kun hvis f(x)=y for et hvilket som helst y i B. Husk altid at en funktion har en invers, hvis og kun hvis den er en-til-en. En funktion er en-til-en, hvis den højeste eksponent er et ulige tal. Men hvis det højeste tal er et lige tal eller en absolut værdi, er dette ikke en-til-en funktion.

Eksempel: f(x)=3x+2 find det inverse af funktionen

Løsning:

skriv funktionen på y=f(x) form

⇒ y=3x+2

lader udveksle y- og x-variabler

⇒ x=3y+2

løse y i form af x

⇒ x-2=3y

divider ligningen med 3

⇒ (x-2)/3=3y/3

⇒ y=(x-2)/3

∴ f-1(x)=(x-2)/3

En til en funktion og Onto funktion

De vigtigste forskelle mellem One-to-On- og Onto-funktioner er angivet i følgende tabel:

Ejendom En-til-en (injektiv) funktion Til (surjektiv) funktion
Definition En funktion, hvor ikke to forskellige elementer i domænet er knyttet til det samme element i codomænet. Med andre ord, hvert element i domænet maps til et unikt element i codomænet. En funktion, hvor hvert element i codomænet er mappet til af mindst ét ​​element i domænet. Med andre ord er rækkevidden af ​​funktionen lig med hele codomænet.
Symbolsk fremstilling f(x1) ≠ f(x2) hvis x1≠ x2for alle x1, x2i domænet. For hvert y i codomænet eksisterer der et x i domænet, således at f(x) = y.
Grafisk fremstilling Grafen for en en-til-en funktion har aldrig en vandret linje, der skærer den i mere end ét punkt. Grafen for en onto-funktion dækker muligvis ikke hvert punkt på codomænet, men den dækker hvert punkt, som den kan, hvilket betyder, at der ikke er huller i codomænet.
Eksempel f(x) = 2x er en-til-en, fordi ingen to forskellige værdier af x producerer det samme output. f(x) = √x er på for ikke-negative reelle tal som dets codomæne, fordi alle ikke-negative reelle tal har et forbillede i denne funktion.
Omvendt funktion En en-til-en-funktion har generelt en omvendt funktion. En onto-funktion kan have eller ikke have en omvendt funktion.
Kardinalitet Kardinaliteten af ​​domænet og codomænet kan være ens eller forskellig for en-til-en-funktioner. Kodomænets kardinalitet er normalt større end eller lig med domænets kardinalitet for onto-funktioner.

Følgende illustration viser den klare forskel mellem én funktion og onto-funktion:

En-en-og-på-funktioner

Læs mere,

  • Funktioner
  • Typer af funktioner
  • Relation og funktion

Løste problemer på en til en funktion

Lad os løse nogle problemer for at illustrere en-til-en-funktioner:

Opgave 1: Bestem om følgende funktion er en-til-en: f(x) = 3x – 1

Løsning:

Løsning 1: For at kontrollere, om det er en-til-en, skal vi vise, at ikke to forskellige x-værdier er knyttet til den samme y-værdi.

Antag f(a) = f(b), hvor a ≠ b.

3a – 1 = 3b – 1

3a = 3b

a = b

Da den eneste måde for f(a) = f(b) er når a = b, er denne funktion faktisk en-til-en.

Opgave 2: Bestem om følgende funktion er en-til-en: g(x) = x 2

Løsning:

Løsning 2: Vi bruger den vandrette linjetest ved at tegne grafen for funktionen. Hvis en vandret linje skærer grafen mere end én gang, er den ikke en-til-en.

Grafen for g(x) = x^2 er en parabel, der åbner opad. Enhver vandret linje skærer kun grafen én gang, så denne funktion er ikke en-til-en.

Øv problemer på én til én-funktioner

Opgave 1: Bestem, om følgende funktion er en-til-en:

  • f(x) = 2x + 3
  • g(x) = 3x2- 1
  • h(x) =3√x

Opgave 2: Find en funktion, der er en-til-en fra mængden af ​​reelle tal til mængden af ​​reelle tal.

Opgave 3: Givet funktionen g(x) = x2+ 1, afgør, om det er en-til-en på hele sit domæne.

Opgave 4: Overvej funktionen h(x) = ex. Er det en en-til-en funktion?

Opgave 5: Find den inverse funktion af f(x) = 4x – 7 og bestem dens domæne.

Opgave 6: Bestem om funktionen p(x) = √x er en-til-en.

Opgave 7: Givet q(x) = x/2, find funktionens domæne og område.

Opgave 8: Tjek om funktionen r(x) = sin (x) er en-til-en over intervallet [0, π].

Opgave 9: Overvej funktionen s(x) = |x|. Er det en en-til-en funktion?

Opgave 10: Bestem om funktionen t(x) = 1/x er en-til-en og find dens domæne.

En til en funktioner – ofte stillede spørgsmål

1. Hvad er en en-til-en funktion?

En en-til-en funktion er en matematisk funktion, der kortlægger hvert element i dets domæne til et unikt element i dets codomæne. Med andre ord, det kortlægger ikke to forskellige elementer i domænet til det samme element i codomænet.

2. Hvordan kan jeg afgøre, om en funktion er en-til-en?

Du kan bruge den vandrette linjetest. Hvis ingen vandret linje skærer grafen for funktionen mere end én gang, er det en en-til-en-funktion.

3. Hvad er forskellen mellem en en-til-en funktion og en onto funktion?

En en-til-en-funktion sikrer, at der ikke er to forskellige elementer i domænet, der knytter sig til det samme element i codomænet, mens en onto-funktion, også kendt som en surjektiv funktion, sikrer, at hvert element i codomænet er kortlagt med mindst ét element i domænet.

4. Er alle lineære funktioner en-til-en?

Nej, ikke alle lineære funktioner er en-til-en. For eksempel er f(x) = 2x en-til-en, men g(x) = 2x + 1 er ikke, fordi den knytter to forskellige x-værdier til den samme y-værdi (f.eks. g(1) = 3 og g(2) = 5).