Kvadratroden af ​​enhver numerisk værdi er en værdi, der ved selvmultiplikation resulterer i det oprindelige tal. '√' er det radikale symbol, der bruges til at afbilde roden af ​​ethvert tal. Med kvadratrod mener vi en potens 1/2 af dette tal. Lad os f.eks. antage, at x er kvadratroden af ​​ethvert heltal y, hvilket betyder, at x=√y. Ved at gange ligningen får vi også x²= y.

Kvadratroden af ​​kvadratet af et positivt tal giver det oprindelige tal.

For at forstå begrebet ved vi, at kvadratet af 4 er 16, og kvadratroden af ​​16, √16 = 4. Nu, som vi kan se, er 16 et perfekt kvadrattal. Dette gør det nemt at beregne kvadratroden af ​​sådanne tal. Men at beregne kvadratroden af ​​et uperfekt kvadrat som 3, 5, 7 osv., er det en vanskelig proces at beregne roden.

En kvadratrodsfunktion er en en-til-en funktion, der som input bruger et positivt tal og returnerer kvadratroden af ​​det givne inputtal.

f(x) = √x

Egenskaber af kvadratrødder

Nogle af kvadratrodens vigtige egenskaber er som følger:

• For et perfekt kvadrattal eksisterer en perfekt kvadratrod.
• For et tal, der ender med et lige antal nuller, eksisterer der en kvadratrod.
• Kvadratroden af ​​negative tal er ikke defineret.
• For et tal, der ender med cifrene 2, 3, 7 eller 8, så eksisterer den perfekte kvadratrod ikke.
• For et tal, der ender med cifrene 1, 4, 5, 6 eller 9, vil tallet have en kvadratrod.

Hvordan beregner man en kvadratrod?

Perfekte kvadrattal er heltal, der er positive af natur og let kan udtrykkes i form af multiplikation af et tal med sig selv. Perfekte kvadrattal er afbildet som værdien af ​​potens 2 af ethvert heltal. Beregning af kvadratroden af ​​perfekte kvadrattal er relativt nemmere. Der er primært fire metoder, der bruges til at finde kvadratroden af ​​tal:

• Gentagen subtraktionsmetode af kvadratrod
• Kvadratrod efter Prime Factorization Method
• Kvadratrod efter estimeringsmetode
• Kvadratrod efter lang divisionsmetode

Ovenstående tre metoder kan bruges til at beregne kvadratroden af ​​perfekte kvadrattal. Den sidste metode kan dog bruges til begge typer tal.

Gentagen subtraktionsmetode af kvadratrødder

Metoden er afhængig af følgende rækkefølge af trin:

Trin 1: Træk på hinanden følgende ulige tal fra det tal, som vi finder kvadratroden for.

Trin 2: Gentag trin 1, indtil en værdi på 0 er opnået.

Trin 3: Antallet af gange trin 1 gentages er den nødvendige kvadratrod af det givne tal.

Bemærk: Denne metode kan kun bruges til perfekte firkanter.

For eksempel, for tallet 16, fungerer metoden som følger:

16 – 1 = 15

15 – 3 =12

12 – 5 = 7

7-7 = 0

Processen gentages 4 gange. Således √16 = 4.

Kvadratrod efter Prime Factorization Method

Primfaktorisering af ethvert tal er repræsentationen af ​​dette tal i form af et produkt af primtal. Metoden er afhængig af følgende rækkefølge af trin:

Trin 1: Opdel det angivne tal i dets primfaktorer.

Trin 2: Et par af lignende faktorer dannes på en sådan måde, at begge faktorerne i hvert af de dannede par er ens.

java punkt

Trin 3: Tag en faktor fra hvert af parrene.

Trin 4: Produktet af faktorerne fås ved at tage en faktor fra hvert par.

Trin 5: Dette opnåede produkt er kvadratroden af ​​det givne tal.

Bemærk: Denne metode kan kun bruges til perfekte firkanter.

For eksempel, for tallet 64, fungerer metoden som følger:

egin{array}l llap{2~~~~} 64 hline llap{2~~~~} 32 hline llap{2~~~~} 16 hline llap{2~~~~} 8 hline llap{2~~~~} 4 hline llap{2~~~~} 2 hline 1 end{array}

64 = {2 × 2} × {2 × 2} × {2 × 2}

64 = 2²×2²×2²

64 = (2 × 2 × 2)²

64 = (8)²

√64 = 8

Kvadratrod efter estimeringsmetode

Estimationsmetoden bruges til at tilnærme kvadratroden af ​​et givet tal. Den tilnærmer kvadratroden af ​​et tal til et rimeligt gæt på den faktiske værdi. Beregninger er nemmere i denne metode. Det er dog en rigtig lang og tidskrævende proces.

Trin 1: Find det nærmeste perfekte kvadrat, der forekommer både før og efter det givne tal.

Trin 2: Find de nærmeste heltal og rund dem af hver gang for at komme til det nærmeste svar.

For eksempel, for tallet 15, fungerer metoden som følger:

9 og 16 er de perfekte kvadrattal før og efter nærmest 15. Nu ved vi,

zip kommando i linux

√16 = 4 og √9 = 3. Dette indebærer, at kvadratroden af ​​tallet 15 forekommer mellem 3 og 4. Nu involverer processen en evaluering af, om kvadratroden af ​​tallet 15 er tættere på 3 eller 4.

Det første tilfælde tager 3,5 og 4. Kvadrat på 3,5 = 12,25 og kvadratroden af ​​4 = 16. Derfor ligger kvadratroden af ​​heltal 15 mellem 3,5 og 4 og er tættere på 4.

Yderligere finder vi kvadraterne på 3,8 og 3,9, som svarer til 3,8²= 14,44 og 3,9²= 15,21 hhv. Dette indebærer, at √15 ligger mellem 3,8 og 3,9. Ved yderligere evaluering opnår vi, at √15 = 3,872.

Kvadratrod efter lang divisionsmetode

Den lange divisionsmetode til beregning af kvadratroden af ​​tal involverer opdelingen af ​​store tal i trin eller dele, hvorved problemet opdeles i en sekvens af lettere trin.

For eksempel, for tallet 180, fungerer metoden som følger:

Trin 1: En streg er placeret over hvert par af cifre i tallet, der begynder med enhedens plads.

Trin 2: Tallet længst til venstre divideres derefter med det største tal, således at kvadratet er mindre end eller lig med tallet i parret længst til venstre.

Trin 3: Nu er tallet under den næste bjælke til højre for resten bragt ned. Det sidste ciffer i den opnåede kvotient lægges til divisoren. Nu er næste skridt at finde et tal til højre for den opnåede sum, sådan at den sammen med resultatet af summen danner en ny divisor for det nye udbytte.

Trin 4: Det opnåede tal i kvotienten svarer til det tal, som er valgt i divisoren.

Trin 5: Den samme proces gentages med et decimaltegn og tilføjelse af nuller i par til resten.

Trin 6: Kvotienten danner kvadratroden af ​​tallet.

Eksempel på spørgsmål

Spørgsmål 1. Beregn kvadratroden af ​​144 ved hjælp af Prime Factorization Method?

Løsning:

egin{array}l llap{2~~~~} 144 hline llap{2~~~~} 72 hline llap{2~~~~} 36 hline llap{2~~~~} 18 hline llap{3~~~~} 9 hline llap{3~~~~} 3 hline 1 end{array}

java tråd oprette

144 = {2 × 2} × {2 × 2} × {3 × 3}

144 = 2²×2²×3²

144 = (2 × 2 × 3)²

144 = (12)²

√144 = 12

Spørgsmål 2. Hvordan kan man forenkle kvadratroden?

Løsning:

Primfaktoriseringen af ​​det givne tal kan beregnes. Hvis faktoren ikke kan grupperes, bruges et kvadratrodssymbol til at gruppere dem. Følgende regel bruges til forenkling:

√xy = √(x × y), hvor x og y er positive heltal.

For eksempel, √12 =sqrt{2 × 2 × 3}= 23

I tilfælde af brøker anvendes følgende regel:frac{ sqrt{x}}{sqrt{y}} = sqrt{frac{x}{y}}

For eksempel:frac{sqrt50}{sqrt10} = sqrtfrac{50}{10}= √5

Spørgsmål 3. Løs: √(x + 2) = 4

Løsning:

Vi ved,

√(x + 2) = 4

Ved at kvadrere begge sider får vi;

x + 2 = √4

x + 2 = ±4

x = ±4 – 2

Derfor har vi,

Kat timpf

x = 2 eller x = -6

Spørgsmål 4. Kan kvadratroden af ​​et negativt tal være et helt tal? Forklare.

Løsning:

Vi ved, at de negative tal ikke kan have en kvadratrod. Grunden til dette er, at hvis to negative tal ganges sammen, vil resultatet altid være et positivt tal. Derfor vil kvadratroden af ​​et negativt tal være i form af et komplekst tal.

Spørgsmål 5. Beregn kvadratroden af ​​25 ved hjælp af gentagen subtraktion?

Løsning:

Ved at følge ovenstående trin har vi,

25 – 1 = 24

24 – 3 = 21

21 – 5 = 16

16 – 7 = 9

9 – 9 = 0

Da processen gentages 5 gange, har vi derfor √25 = 5.

Spørgsmål 6. Beregn kvadratroden af ​​484 ved lang divisionsmetode?

Løsning:

Ved den lange divisionsmetode har vi,

Nu,

Resten er 0, derfor er 484 et perfekt kvadrattal, således at

√484 = 22