Frustum af en kegle er en speciel form, der dannes, når vi skærer keglen med et plan parallelt med dens base. Keglen er en tredimensionel form med en cirkulær base og et toppunkt. Så en keglestub er et fast volumen, der er dannet ved at fjerne en del af keglen med et plan parallelt med den cirkulære base. Frustum er ikke kun defineret for kegler, men kan også defineres for de forskellige typer pyramider (firkantet pyramide, trekantet pyramide osv.).

Nogle af de almindelige former for en keglestub, som vi opdager i vores daglige liv, er spande, lampeskærm og andre. Lad os lære mere om keglernes frusttum i denne artikel.

Hvad er Frustum of Cone?

Frustum er et latinsk ord, som betyder stykker, derfor er keglestum et solidt stykke af keglen. Når en højre cirkulær kegle er skåret af et plan parallelt med keglens bund, den således opnåede form kaldes keglstub. Figuren nedenfor viser os, hvordan et fly skærer keglen parallelt med dens base for at danne keglens stum.

Nu kan keglens afstumning let defineres som,

Hvis en ret cirkulær kegle er afskåret af et plan parallelt med dens base, kaldes formen af ​​delen mellem skæreplanet og basisplanet keglestub.

Net af Piece of Cone

Hvis en tredimensionel (3D) form skæres op og laves til en todimensionel form, kaldes den således opnåede form nettet. Man kan antage, at når figurens net er foldet korrekt på en korrekt måde, danner det den ønskede 3D-form. Billedet nedenfor viser nettet af keglens stum.

Egenskaber af et stykke kegle

Egenskaber ved en keglestub er meget lig keglens, nogle af de vigtige egenskaber ved keglestum er,

• Basen af ​​keglen den oprindelige kegle er indeholdt i en keglestub, men dens top er ikke indeholdt i keglen.
• Formler for keglestub afhænger af dens højde og to radier (svarende til den øverste og nederste base).
• Højden af ​​keglens stum er den vinkelrette afstand mellem centrene af dens to baser.

Formler for Piece of Cone

Frustum of Cone er sådan en form, der ofte ses i vores daglige liv, for eksempel bordlamper, spande osv. De vigtige formler for frustum af en kegle er,

• Volumen af ​​Piece of Cone
• Overfladeareal af Frustum of Cone

Lad os lære om disse formler i detaljer nedenfor,

Volumen af ​​Piece of Cone

Frustum af kegle er en udskåret del af en kegle, hvor en lille kegle fjernes fra den større kegle. For at beregne rumfanget af keglestummet skal man derfor blot beregne forskellen mellem rumfanget af den større og mindre kegle.

Lad os antage,

• Den samlede højde af keglen skal være H + h
• Samlet hældningshøjde skal være l' + L
• Radius af en komplet kegle er r
• Radius af den udskårne kegle er r'

Da keglens rumfang er givet som V = 1/3πr²h

Volumen af ​​komplet kegle V₁= 1/3πr²(H+h)

Volumen af ​​mindre kegle V₂=1/3πr'²(h)

Nu kan rumfanget af keglestub (V) beregnes ved hjælp af formlen,

V=V₁- IN₂

V = 1/3πr²(H+h) – 1/3πr'²(h)

omdøb i linux bibliotek

V= 1/3π[r²(H+h) – r’²(h)]...(1)

Ved at bruge egenskaben for lighed af trekanter af △OCD og △OAB kan man skrive,

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

H + h = time / r'

Erstat denne værdi af (H+h) i ligning (1), og forenkle,

V = 1/3π[r²(rh / r') - r'²(h)}

= 1/3π[{hr³– hr’³} / r']...(2)

Ved at bruge den lignende trekants egenskab igen i △OCD og △OAB, finder vi ud af værdien af ​​h

r / (H + h) = r' / h

r / r' = (H + h) / h

rh = (H + h)r'

jquery forælder

rh = Hr' + hr'

(r -r')h = Hr'

h = Hr' / (r -r')

Ved at erstatte disse værdier i ligning (2),

V = 1/3π[{r³h – r³h} / r']

= 1/3π[{r³– r’³}t / r']

= 1/3π[{r³– r’³}{Hr’ / (r – r’)} / r’]

= 1/3 πH(r²+ r'²+rr')

Dermed,

Volumen af ​​keglestub = 1/3 πH(r ² + r' ² + rr')

Overfladeareal af Frustum of Cone

Overfladearealet af keglestub kan beregnes ved forskellen mellem overfladearealet af den komplette kegle og den mindre kegle (fjernet fra hele keglen). Overfladearealet af keglestub kan beregnes ved hjælp af nedenstående diagram, hvor man skal opsummere overfladearealerne af de buede overflader og overfladearealerne af top- og bundflader af keglestubningen.

Svarende til volumenet af keglestub, vil det buede overfladeareal også være lig med forskellen mellem overfladearealerne af den større kegle og den mindre kegle.

I figuren ovenfor er trekanter OAB og OCD ens. Derfor kan man ved at bruge lighedskriterierne skrive,

l' / l = r' / r...(1)

Da, l' = l - L, derfor fra ligning (1),

(l – L) / l = r’ / r

Efter krydsmultiplikation,

lr – Lr = lr’

l(r – r’) = Lr

l = Lr / (r – r’)...(2)

Det buede overfladeareal af en komplet kegle = πrl

Det buede overfladeareal af den mindre kegle = πr'l'

Forskellen mellem de buede overfladearealer af komplet kegle og mindre kegle = π (rl – r’l’)

Således er det buede overfladeareal (CSA) af keglestumlen = πl (r – r’l’/l)

Brug ligning (1) til at erstatte værdien af ​​l'/l i ovenstående ligning, og forenkle,

CSA af keglestub = πl (r – r'×r'/r) = πl (r²– r’²)/r

Erstat nu værdien af ​​l fra ligning (2), og forenkle,

CSA af keglestub = πlr/(r – r’)× (r²– r’²)/r = πl (r + r')

Således kan man skrive,

Buet overfladeareal af keglestub = πl (r + r’)

Lad os nu beregne overfladearealet af de øverste og nederste baser af keglens stum, således at

Overfladearealet af den øverste base af keglestummet med en radius r' = πr'²

nøgle til bærbar indsættelse

Overfladearealet af bunden af ​​keglestumlen med en radius r = πr²

Så,

Samlet overfladeareal af keglestub = Buet overfladeareal af keglestub + overfladeareal af den øverste base + overfladeareal af den nederste base

Derfor,

Det samlede overfladeareal af keglestubningen = πl (r + r') + πr'²+ πr²= πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Således er det samlede overfladeareal af keglestumlen = πl (r + r') + π (r²+ r'²)

Denne formel kan også skrives som,

Det samlede overfladeareal af keglestub er = πl (r²– r’²)/r + π (r²+ r'²)

Så man kan skrive,

Samlet overfladeareal af keglestub = πl(r + r’) + π (r ² + r' ² )

eller

Samlet overfladeareal af keglestub = πl (r ² – r’ ² )/r + π (r ² + r' ² )

Bemærk, at l er skråhøjden på den mindre kegle, der kan angives som

L = √ [H ² + (r – r’) ² ]

Læs mere

• Volumen af ​​kegle
• Volumen af ​​cylinder
• Volumen af ​​sfære

Løste eksempler på fragment af kegle

Eksempel 1: Find ud af volumen af ​​en keglestub, der er 15 cm høj, og radierne for begge baser er 5 cm og 8 cm.

Løsning:

Ved at bruge formlen, der er studeret ovenfor, kan man skrive,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

givet,

H = 15 cm
r' = 5 cm
r = 8 cm

V = 1/3 π15(8²+ 5²+ 40)

V = 5π(129)

V = 645π cm³

vindue.åbn

Eksempel 2: Find ud af overfladearealet og det samlede overfladeareal af en keglestub, som er 10 cm høj, og radierne for begge baser er 4 cm og 8 cm.

Løsning:

Vi kender formlen for overfladeareal og total overfladeareal af frustum. Vi skal tilslutte de nødvendige værdier.

Buet overfladeareal af frustum = πl(r+r’)

hvor,
L = √ [H²+ (R – r)²]

givet,
H = 10 cm
r = 4 cm
R = 8 cm

Beregning af værdien af ​​L,

L = √ [10²+ (8 – 4)²]

= √(100+16) = √(116)

Buet overfladeareal af Frustum = πL(R+r)

= π√(116)×(8+4)

= 48π√(29)

Samlet overfladeareal = buet overfladeareal af Frustum + areal af begge baser

= 48π√(29) + π(8)²+ p(4)²

= 48π√(29) + 64π + 16π

= 48π√(29) + 80π cm²

Eksempel 3: Lad os sige, at vi har en åben metalspand, hvis højde er 50 cm og radierne af baserne er 10 cm og 20 cm. Find arealet af metalplade, der bruges til at lave spanden.

Løsning:

Spanden er i form af stum, som lukkede fra bunden. Vi er nødt til at beregne det samlede overfladeareal af denne frustum.

Givet
H = 50 cm
r = 10 cm
r = 20 cm

Buet overfladeareal af Frustum = πL(R+r)

L = √ [H²+ (r – r’)²]

L = √ [50²+ (20 – 10)²]

= √(2500+100) = √(2600)

= √100(26) = 10√(26)

Buet overfladeareal af Frustum = πL(R+r)

= π10√(26)×(20+10)

= 300π√(26)

Samlet overfladeareal = buet overfladeareal af Frustum + areal af begge baser

= 300π√(26) + π(20)²+ π(10)²

= 300π√(26) + 400π + 100π

= (300π√(26) + 500π) cm²

Eksempel 4: Find ud af udtryk for volumen for en frustum, hvis dens højde er 6y, og dens radier er henholdsvis y og 2y.

Løsning:

Ved at bruge formlen studeret ovenfor,

V = 1/3 πH(r²+ r'²+ rr')

givet,

H = 6 år
r'= y
r = 2y

V = 1/3 π6[(2y)²+ (og)²+ (y)(2y)]

V = 2πy(7y²)

V = 14πy³enhed³

Ofte stillede spørgsmål om Piece of Cone

Spørgsmål 1: Hvad er frustum af en kegle?

Svar:

Når vi skærer en kegle på en sådan måde, at skæreplanet er parallelt med keglens bund. Den således opnåede figur kaldes keglens Frustum.

Spørgsmål 2: Hvad er frustum af kegleformler?

Svar:

Formlerne for en keglestub er diskuteret nedenfor. Lad os tage en afstødning af basisradius 'R' og topradius 'r', højde 'H' og skråhøjde så,

• Volumen af ​​stykket af en kegle (V) = 1/3πH(r²+rr’ +r’²)
• Samlet overfladeareal af keglestub = πl (r + r') + π (r'²+ r²).

Spørgsmål 3: Hvad er CSA for en frustum?

Svar:

Det buede overfladeareal af en keglestub beregnes ved hjælp af formlen,

CSA = πl (r + r')

hvor,
r' er radius af den øvre cirkel af frustum
r er radiusbasen
l er skråhøjden

int til streng c++

Spørgsmål 4: Hvad er overfladearealet af Frustum of Cone?

Svar:

Overfladearealet af en keglestub beregnes ved hjælp af formlen,

• CSA af keglestykke = πl [ (r²– r’²) / r' ]
• TSA af keglestub = π (r²+ r'²) + πl [ (r²– r’²) / r']

Spørgsmål 5: Hvad er volumen af ​​keglefrugten?

Svar:

Rumfanget af en kegles keglestub beregnes ved hjælp af formlen,

• V = 1/3πh[ (r³– r’³) / r']
• V = 1/3 πH(r²+rr’ +r’²)