ÆKVIVALENSKLASSE: DEFINITION, EGENSKABER OG EKSEMPLER

Ækvivalensklasse er gruppen af elementer i et sæt baseret på et specifikt begreb om ækvivalens defineret af en ækvivalensrelation. En ækvivalensrelation er en relation, der opfylder tre egenskaber: refleksivitet, symmetri og transitivitet. Ækvivalensklasser opdeler sættet S i usammenhængende delmængder. Hver delmængde består af elementer, der er relateret til hinanden under den givne ækvivalensrelation.

I denne artikel vil vi diskutere begrebet ækvivalensklasse tilstrækkeligt detaljeret, herunder dets definition, eksempel, egenskaber samt løste eksempler.

Indholdsfortegnelse

Hvad er ækvivalensklasser?
Eksempler på ækvivalensklasse
Egenskaber for ækvivalensklasser
Ækvivalensklasser og partition

Hvad er ækvivalensklasser?

En ækvivalensklasse er det navn, vi giver til delmængden af S, som omfatter alle elementer, der er ækvivalente med hinanden. Ækvivalent er afhængig af en specificeret sammenhæng, kaldet en ækvivalensrelation. Hvis der er et ækvivalensforhold mellem to elementer, kaldes de ækvivalente.

Ækvivalensklassedefinition

Givet en ækvivalensrelation på et sæt S, er en ækvivalensklasse med hensyn til et element a i S mængden af alle elementer i S, der er relateret til a, dvs.

[a] ELLER x er relateret til a

Overvej for eksempel sættet af heltal ℤ og ækvivalensrelationen defineret af kongruens modulo n. To heltal a og b betragtes som ækvivalente (betegnet som (a ≡ b mod(n), hvis de har den samme rest, når de divideres med n. I dette tilfælde er ækvivalensklassen for et heltal a mængden af alle heltal, der har samme rest som a når divideret med n.

react js tutorial

Hvad er ækvivalensforhold?

Enhver relation R siges at være Equivalence Realtion, hvis og kun hvis den opfylder følgende tre betingelser:

Refleksivitet: For ethvert element a er a relateret til sig selv.
Symmetri: Hvis a er relateret til b, så er b relateret til a.
Transitivitet: Hvis a er relateret til b, og b er relateret til c, så er a relateret til c.

Læs mere om Ækvivalensforhold .

Nogle eksempler på ækvivalensforhold er:

Ligestilling på et sæt: Lad X være en hvilken som helst mængde, og definer en relation R på X, således at a R b hvis og kun hvis a = b for a, b ϵ X.

Refleksivitet: For hver a ϵ X, a = a (trivielt sandt).
Symmetri: Hvis a = b, så er b = a (trivielt sandt).
Transitivitet: Hvis a = b og b = c, så er a = c (trivielt sandt).

Kongruens modulo n: Lad n være et positivt heltal, og definer en relation R på de heltal ℤ således, at a R b hvis og kun hvis a – b er delelig med n.

Refleksivitet: For hver a ϵ ℤ, a – a = 0 er deleligt med n.
Symmetri: Hvis a – b er delelig med n, så er -(a – b) = b – a også delelig med n.
Transitivitet: Hvis a – b er deleligt med n og b – c er deleligt med n, så er a – c også deleligt med n.

Eksempler på ækvivalensklasse

Det velkendte eksempel på en ækvivalensrelation er lig med (=) relationen. Med andre ord er to elementer i det givne sæt ækvivalente med hinanden, hvis de tilhører samme ækvivalensklasse. Ækvivalensrelationerne kan forklares ud fra følgende eksempler:

Ækvivalensforhold på heltal

Ækvivalensforhold: Kongruens modulo 5 (a ≡ b [mod(5)] )

Ækvivalensklasse på 0: [0] = {. . ., -10, -5, 0, 5, 10, . . .}
Ækvivalensklasse 1: [1] = {. . ., -9, -4, 1, 6, 11, . . .}
Ækvivalensklasse på 2: [2] = {. . ., -8, -3, 2, 7, 12, . . .}
Ækvivalensklasse på 3: [3] = {. . ., -7, -2, 3, 8, 13, . . .}
Ækvivalensklasse på 4: [4] = {. . ., -6, -1, 4, 9, 14, . . .}

Ækvivalensforhold på reelle tal

Ækvivalensforhold: Absolut forskel (a ~ b hvis |a – b| <1)

Ækvivalensklasse på 0: [0] = (-0,5, 0,5)
Ækvivalensklasse 1: [1] = (0,5, 1,5)
Ækvivalensklasse på 2: [2] = (1,5, 2,5)
Ækvivalensklasse på 3: [3] = (2,5, 3,5)

Læs mere,

Reelle tal
Heltal
Rationelle tal

Egenskaber for ækvivalensklasser

Egenskaberne for ækvivalensklasser er:

Hvert element tilhører præcis én ækvivalensklasse.
Ækvivalensklasser er usammenhængende, dvs. skæringspunktet mellem to ækvivalensklasser er nullsat.
Foreningen af alle ækvivalensklasser er det originale sæt.
To elementer er ækvivalente, hvis og kun hvis deres ækvivalensklasser er ens.

Læs mere,

Sammenslutning af sæt
Skæring af sæt
Usammenhængende sæt

Ækvivalensklasser og partition

Grupper af elementer i et sæt relateret af en ækvivalensrelation, hvorimod en samling af disse ækvivalensklasser, der dækker hele sættet uden overlap, kaldes partition.

Forskellen mellem ækvivalensklasser og partition

Den vigtigste forskel mellem ækvivalensklasser og partition er angivet i følgende tabel:

Feature	Ækvivalensklasser	Skillevægge
Definition	Sæt af elementer, der betragtes som ækvivalente under en relation.	En samling af ikke-tomme, parvis adskilte delmængder, således at deres forening er hele sættet.
Notation	Hvis EN er en ækvivalensklasse, betegnes den ofte som [ -en ] eller [a] R , hvor -en er et repræsentativt element og R er ækvivalensforholdet.	En partition af et sæt x er angivet som { B ₁, B ₂,…, B _n }, hvor B _jeg er de usammenhængende undersæt i partitionen.
Forhold	Ækvivalensklasser danner en opdeling af det underliggende sæt.	En opdeling kan eller kan ikke opstå fra en ækvivalensrelation.
Kardinalitet	Ækvivalensklasser kan have forskellige kardinaliteter.	Alle undersæt i partitionen har samme kardinalitet.
Eksempel	Overvej, at sættet af heltal og ækvivalensrelationen har den samme rest, når de divideres med 5. Ækvivalensklasser er {...,−5,0,5,...}, {...,−5,0,5,...}, {...,−4,1,6,...} og {...,−4,1 ,6,...} osv.	Overvej sættet af heltal opdelt i lige og ulige tal: {...,−4,−2,0,2,4,...} og {...,−3,−1,1,3,5,...}.
Skæring af klasser	Ækvivalensklasser er enten usammenhængende eller identiske.	Skillevægge består af usammenhængende delmængder.

Løste eksempler på ækvivalensklasse

Eksempel 1: Bevis at relationen R er en ækvivalenstype i mængden P= { 3, 4, 5,6 } givet ved relationen R = (p, q):.

Løsning:

Givet: R = (p, q):. Hvor p, q hører til P.

refleksiv ejendom

Fra den angivne relation |p – p| = | 0 |=0.

Og 0 er altid lige.

Derfor |p – p| er lige.

Derfor relaterer (p, p) til R

Så R er refleksiv.

Symmetrisk egenskab

Fra den givne relation |p – q| = |q – p|.

Vi ved, at |p – q| = |-(q – p)|= |q – p|

Derfor |p – q| er lige.

Næste |q – p| er også lige.

Følgelig, hvis (p, q) ∈ R, så hører (q, p) også til R.

Derfor er R symmetrisk.

Transitiv ejendom

Hvis |p – q| er lige, så er (p-q) lige.

På samme måde, hvis |q-r| er lige, så er (q-r) også lige.

Summeringen af lige tal er for lige.

Så vi kan adressere det som p – q+ q-r er lige.

Dernæst er p – r længere lige.

Derfor,

|p – q| og |q-r| er lige, så |p – r| er lige.

Følgelig, hvis (p, q) ∈ R og (q, r) ∈ R, så refererer (p, r) også til R.

Derfor er R transitiv.

Eksempel 2: Betragt A = {2, 3, 4, 5} og R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), ( 3, 3), (4, 2), (4, 4)}.

tostring java

Løsning:

Givet: A = {2, 3, 4, 5} og

Relation R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3), (4, 2), (4, 4) )}.

For at R skal være ækvivalensrelation, skal R opfylde tre egenskaber, dvs. refleksiv, symmetrisk og transitiv.

Refleksiv : Relation R er refleksiv, fordi (5, 5), (2, 2), (3, 3) og (4, 4) ∈ R.

Symmetrisk : Relation R er symmetrisk, som når (a, b) ∈ R, (b, a) også relaterer til R, dvs. (3, 5) ∈ R ⟹ (5, 3) ∈ R.
int til char java

Transitiv : Relation R er transitiv, som når (a, b) og (b, c) relaterer til R, (a, c) også relaterer til R, dvs. (3, 5) ∈ R og (5, 3) ∈ R ⟹ ( 3, 3) ∈ R.

Følgelig er R refleksiv, symmetrisk og transitiv.

Så R er et ækvivalensforhold.

Øv problemer på ækvivalensklasse

Opgave 1: aRb hvis a+b er lige. Bestem, om det er en ækvivalensrelation og dens egenskaber.

Opgave 2: xSy hvis x og y har samme fødselsmåned. Analyser om det er en ækvivalensrelation.

Opgave 3: Betragt A = {2, 3, 4, 5} og R = {(5, 5), (5, 3), (2, 2), (2, 4), (3, 5), (3, 3) ), (4, 2), (4, 4)}. Bekræft, at R er en ækvivalenstype af relation.

Opgave 4: Bevis at relationen R er en ækvivalenstype i mængden P= { 3, 4, 5,6 } givet ved relationen R = er lige .

Ækvivalensklasse: Ofte stillede spørgsmål

1. Hvad er ækvivalensklassen?

En ækvivalensklasse er en delmængde inden for et sæt, dannet ved at gruppere alle elementer, der er ækvivalente med hinanden under en given ækvivalensrelation. Det repræsenterer alle medlemmer, der anses for ligeværdige i denne relation.

2. Hvad er symbolet for ækvivalensklasse?

Symbolet for en ækvivalensklasse skrives typisk som [a], hvor a er et repræsentativt element i klassen. Denne notation angiver mængden af alle elementer, der svarer til en under en specifik ækvivalensrelation.

3. Hvordan finder du ækvivalensklassen for et sæt?

Følg disse trin for at finde ækvivalensklassen for et sæt:

Trin 1: Definer et ækvivalensforhold.

Trin 2: Vælg et element fra sæt.

Trin 3: Identificer ækvivalente elementer til de valgte elementer.

Trin 4: Form ækvivalensklassen, der indeholder alle de elementer, der svarer til det valgte element.

4. Hvad er forskellen mellem ækvivalensklasse og partition?

Ækvivalensklasser er delmængder dannet af en ækvivalensrelation, mens partitioner er ikke-overlappende delmængder, der dækker hele sættet. Hver ækvivalensklasse er en delmængde i en partition, men ikke hver partition opstår fra en ækvivalensrelation.

5. Hvad er et ækvivalensforhold?

En relation, der er refleksiv, symmetrisk og transitiv, der deler en mængde i usammenhængende delmængder.