Akut, stump, ligebenet, ligesidet... Når det kommer til trekanter, er der mange forskellige varianter, men kun nogle få udvalg, der er 'specielle'. Disse specielle trekanter har sider og vinkler, som er konsistente og forudsigelige og kan bruges til at genveje dine geometri- eller trigonometriproblemer. Og en 30-60-90 trekant - udtales 'trediveogtres og halvfems' - er tilfældigvis en meget speciel type trekant.
I denne guide vil vi lede dig igennem, hvad en 30-60-90 trekant er, hvorfor den virker, og hvornår (og hvordan) du skal bruge din viden om den. Så lad os komme til det!
Hvad er en 30-60-90 trekant?
En 30-60-90 trekant er en speciel retvinklet trekant (en retvinklet trekant er enhver trekant, der indeholder en 90 graders vinkel), som altid har graders vinkler på 30 grader, 60 grader og 90 grader. Fordi det er en speciel trekant, har den også sidelængdeværdier, som altid er i et konsistent forhold til hinanden.
Det grundlæggende 30-60-90 trekantforhold er:
Side modsat 30°-vinklen: $x$
Side modsat 60°-vinklen: $x * √3$
Side modsat 90°-vinklen: x$
For eksempel kan en 30-60-90 graders trekant have sidelængder på:
2, 2√3, 4
7, 7√3, 14
√3, 3, 2√3
java boolesk streng
(Hvorfor er det længere ben 3? I denne trekant er det korteste ben ($x$) $√3$, så for det længere ben er $x√3 = √3 * √3 = √9 = 3$. Og hypotenusen er 2 gange det korteste ben eller √3$)
Og så videre.
Siden modsat 30°-vinklen er altid den mindste , fordi 30 grader er den mindste vinkel. Siden modsat 60°-vinklen vil være den midterste længde , fordi 60 grader er den mellemstore gradvinkel i denne trekant. Og endelig vil siden modsat 90°-vinklen altid være den største side (hypotenusen) fordi 90 grader er den største vinkel.
Selvom det kan ligne andre typer retvinklede trekanter, er grunden til, at en 30-60-90 trekant er så speciel, at du kun behøver tre oplysninger for at finde hver anden måling. Så længe du kender værdien af to vinkelmål og en sidelængde (det er ligegyldigt hvilken side), ved du alt, hvad du behøver at vide om din trekant.
For eksempel kan vi bruge trekantformlen 30-60-90 til at udfylde alle de resterende informationsblanketter i trekanterne nedenfor.
Eksempel 1
Vi kan se, at dette er en retvinklet trekant, hvor hypotenusen er dobbelt så lang som et af benene. Dette betyder, at dette skal være en 30-60-90 trekant, og den mindre givne side er modsat 30°.
Det længere ben skal derfor være modsat 60°-vinklen og måle * √3$ eller √3$.
Eksempel 2
virtuel hukommelse
Vi kan se, at dette skal være en 30-60-90 trekant, fordi vi kan se, at dette er en retvinklet trekant med en given måling, 30°. Den umarkerede vinkel skal så være 60°.
Da 18 er målet modsat 60°-vinklen, skal det være lig med $x√3$. Det korteste ben skal så måle /√3$.
(Bemærk, at benlængden faktisk vil være /{√3} * {√3}/{√3} = {18√3}/3 = 6√3$, fordi en nævner ikke kan indeholde en radikal/kvadratrod).
Og hypotenusen vil være (18/√3)$
(Bemærk, at du igen ikke kan have en radikal i nævneren, så det endelige svar vil virkelig være 2 gange benlængden på √3$ => √3$).
Eksempel 3
Igen får vi to vinkelmål (90° og 60°), så det tredje mål bliver 30°. Fordi dette er en 30-60-90 trekant, og hypotenusen er 30, vil det korteste ben være lig med 15 og det længere ben vil være lig med 15√3.
Ingen grund til at konsultere den magiske otte-bold - disse regler virker altid.
Hvorfor det virker: 30-60-90 Triangle Theorem Proof
Men hvorfor fungerer denne specielle trekant, som den gør? Hvordan ved vi, at disse regler er lovlige? Lad os gennemgå præcis, hvordan 30-60-90 trekantsætningen fungerer og bevise, hvorfor disse sidelængder altid vil være konsistente.
Lad os først glemme alt om retvinklede trekanter et sekund og se på en ligesidet trekant.
En ligesidet trekant er en trekant, der har alle lige sider og alle lige vinkler. Fordi en trekants indre vinkler altid summeres til 180° og 0/3 = 60$, en ligesidet trekant vil altid have tre 60° vinkler.
Lad os nu sænke en højde fra den øverste vinkel til trekantens base.
Det har vi nu skabte to rette vinkler og to kongruente (lige) trekanter.
Hvordan ved vi, at de er lige store trekanter? Fordi vi faldt en højde fra en ligesidet trekant, har vi delt basen nøjagtigt i to. De nye trekanter deler også en sidelængde (højden), og de har hver samme hypotenuselængde. Fordi de deler tre sidelængder til fælles (SSS), betyder det trekanterne er kongruente.
Bemærk: ikke kun er de to trekanter kongruente baseret på principperne for side-side-side-længder eller SSS, men også baseret på side-vinkel-sidemål (SAS), vinkel-vinkel-side (AAS) og vinkel- sidevinkel (ASA). I bund og grund? De er absolut kongruente.
Nu hvor vi har bevist kongruenserne af de to nye trekanter, kan vi se, at de øverste vinkler hver skal være lig med 30 grader (fordi hver trekant allerede har vinkler på 90° og 60° og skal summere op til 180°). Det betyder vi har lavet to 30-60-90 trekanter.
Og fordi vi ved, at vi skærer bunden af den ligesidede trekant i halve, kan vi se, at siden modsat 30°-vinklen (den korteste side) af hver af vores 30-60-90 trekanter er nøjagtigt halvdelen af længden af hypotenusen .
Så lad os kalde vores oprindelige sidelængde $x$ og vores halverede længde $x/2$.
array streng i c
Nu mangler vi bare at finde vores midtersidelængde, som de to trekanter deler. For at gøre dette kan vi blot bruge Pythagoras sætning.
$a^2 + b^2 = c^2$
$(x/2)^2 + b^2 = x^2$
$b^2 = x^2 - ({x^2}/4)$
$b^2 = {4x^2}/4 - {x^2}/4$
$b^2 = {3x^2}/4$
$b = {√3x}/2$
Så vi står tilbage med: $x/2, {x√3}/2, x$
Lad os nu gange hver takt med 2, bare for at gøre livet lettere og undgå alle brøkerne. På den måde står vi tilbage med:
$x$, $x√3$, x$
Vi kan derfor se, at en 30-60-90 trekant vil altid have ensartede sidelængder på $x$, $x√3$ og x$ (eller $x/2$, ${√3x}/2$ og $x$).
Heldigvis for os kan vi bevise, at 30-60-90 trekantregler er sande uden alt... dette.
Hvornår skal man bruge 30-60-90 trekantregler
At kende 30-60-90 trekantreglerne vil kunne spare dig tid og energi på en lang række forskellige matematiske problemer, nemlig en lang række geometri- og trigonometriproblemer.
Geometri
Korrekt forståelse af 30-60-90 trekanter vil give dig mulighed for at løse geometrispørgsmål, som enten ville være umulige at løse uden at kende disse forholdsregler, eller i det mindste ville tage betydelig tid og kræfter at løse den 'lange vej'.
Med de specielle trekantsforhold kan du finde ud af manglende trekanthøjder eller benlængder (uden at skulle bruge Pythagoras sætning), finde arealet af en trekant ved at bruge manglende højde- eller grundlængdeoplysninger og hurtigt beregne omkredse.
Hver gang du har brug for hurtighed til at besvare et spørgsmål, vil det være praktisk at huske genveje som dine 30-60-90-regler.
Trigonometri
At huske og forstå trekantforholdet 30-60-90 vil også give dig mulighed for at løse mange trigonometriske problemer uden hverken behov for en lommeregner eller behov for at tilnærme dine svar i decimalform.
En 30-60-90 trekant har ret simple sinus, cosinus og tangenter for hver vinkel (og disse målinger vil altid være konsistente).
Sinus på 30° vil altid være /2$.
Cosinus på 60° vil altid være /2$.
java afgrænser
Selvom de andre sinus, cosinus og tangenter er ret enkle, er det de to, der er nemmest at huske og sandsynligvis vil dukke op i tests. Så at kende disse regler vil give dig mulighed for at finde disse trigonometrimålinger så hurtigt som muligt.
Tips til at huske 30-60-90-reglerne
Du ved, at disse 30-60-90-forholdsregler er nyttige, men hvordan holder du informationen i dit hoved? At huske 30-60-90 trekantreglerne er et spørgsmål om at huske forholdet 1: √3 : 2 og vide, at den korteste sidelængde altid er modsat den korteste vinkel (30°) og den længste sidelængde altid er modsat største vinkel (90°).
Nogle mennesker husker forholdet ved at tænke, ' $i x$, $o 2 i x$, $i x o √ o3$, ' fordi rækkefølgen '1, 2, 3' typisk er let at huske. Den eneste forholdsregel ved at bruge denne teknik er at huske, at den længste side faktisk er x$, ikke $x$ gange $√3$.
En anden måde at huske dine forhold på er at brug et mnemonisk ordspil på forholdet 1: rod 3: 2 i deres rigtige rækkefølge. For eksempel, 'Jackie Mitchell slog Lou Gehrig ud og 'vandt også Ruthy'': en, rod tre, to. (Og det er en sand baseball-historie at starte!)
Spil med dine egne mnemoniske enheder, hvis disse ikke appellerer til dig - syng forholdet til en sang, find dine egne 'en, rod tre, to'-sætninger, eller kom med et ratio-digt. Du kan endda bare huske, at en 30-60-90 trekant er en halv ligesidet og finde ud af målingerne derfra, hvis du ikke kan lide at huske dem.
Men det giver mening for dig at huske disse 30-60-90 regler, hold disse forhold dit hoved for dine fremtidige geometri- og trigonometrispørgsmål.
java print
At huske er din ven, men du kan få det til at ske.
Eksempel 30-60-90 Spørgsmål
Nu hvor vi har set på hvordan og hvorfor for 30-60-90 trekanter, lad os arbejde igennem nogle øvelsesproblemer.
Geometri
En bygningsarbejder læner en 40 fods stige op mod siden af en bygning i en vinkel på 30 grader fra jorden. Jorden er plan, og siden af bygningen er vinkelret på jorden. Hvor langt op i bygningen når stigen, til nærmeste fod?
Uden at kende vores 30-60-90 specielle trekantregler, skulle vi bruge trigonometri og en lommeregner for at finde løsningen på dette problem, da vi kun har én sidemål af en trekant. Men fordi vi ved, at dette er en særlig trekant, kan vi finde svaret på få sekunder.
Hvis bygningen og jorden er vinkelrette på hinanden, må det betyde, at bygningen og jorden danner en ret (90°) vinkel. Det er også givet, at stigen møder jorden i en vinkel på 30°. Vi kan derfor se, at den resterende vinkel skal være 60°, hvilket gør dette til en 30-60-90 trekant.
Nu ved vi, at hypotenusen (længste side) af denne 30-60-90 er 40 fod, hvilket betyder, at den korteste side vil være halvdelen af den længde. (Husk, at den længste side altid er to gange—x$—så lang som den korteste side.) Fordi den korteste side er modsat 30°-vinklen, og den vinkel er gradmålet for stigen fra jorden, betyder det, at toppen af stigen rammer bygningen 20 fod fra jorden.
Vores endelige svar er 20 fod.
Trigonometri
Hvis, i en retvinklet trekant, sin Θ = /2$ og den korteste benlængde er 8. Hvad er længden af den manglende side, der IKKE er hypotenusen?
Fordi du kender dine 30-60-90 regler, kan du løse dette problem uden behov for hverken pythagoras sætning eller en lommeregner.
Vi fik at vide, at dette er en retvinklet trekant, og vi ved fra vores specielle retvinklede trekantregler, at sinus 30° = /2$. Den manglende vinkel skal derfor være 60 grader, hvilket gør dette til en 30-60-90 trekant.
Og fordi dette er en 30-60-90 trekant, og vi fik at vide, at den korteste side er 8, skal hypotenusen være 16, og den manglende side skal være * √3$, eller √3$.
Vores endelige svar er 8√3.
Take-Aways
At huske på regler for 30-60-90 trekanter hjælper dig med at genveje en række matematiske problemer . Men husk på, at selvom at kende disse regler er et praktisk værktøj at holde i bæltet, kan du stadig løse de fleste problemer uden dem.
Hold styr på reglerne for $x$, $x√3$, x$ og 30-60-90 på den måde, der giver mening for dig, og prøv at holde dem ved lige, hvis du kan, men gå ikke i panik, hvis dit sind går ud, når det er knas tid. Uanset hvad, så har du det her.
Og hvis du har brug for mere øvelse, så gå videre og tjek dette 30-60-90 trekant-quiz . God fornøjelse med prøvetagningen!